2019年高考数学试卷（理）（天津）（空白卷）

1/5 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟。第Ⅰ卷 1 至2 页，第Ⅱ卷3 至5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时， 考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号。 2．本卷共8 小题，每小题5 分，共40 分。 参考公式： ·如果事件 、 互斥，那么 ． ·如果事件 、 相互独立，那么 ． ·圆柱的体积公式 ，其中 表示圆柱的底面面积， 表示圆柱的高． ·棱锥的体积公式 ，其中 表示棱锥的底面面积， 表示棱锥的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合 ，则 A． B． C． D． 2．设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为 A．2 B．3 C．5 D．6 1/5 3．设 “ ，则 ” “ 是 ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 2/5 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为 A．5 B．8 C．24 D．29 5．已知抛物线 的焦点为 ，准线为，若与双曲线 的两条渐近线分 别交于点 和点 ，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 6．已知 ， ， ，则 的大小关系为 A． B． C． D． 7．已知函数 是奇函数，将 的图象上所有点的横坐标 伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 ．若 的最小正周期为 ，且 2/5 ，则 A． B． C． D． 8．已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为 3/5 A． B． C． D． 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共12 小题，共110 分。 二．填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分． 9．是虚数单位，则 的值为_____________． 10． 的展开式中的常数项为_____________． 11．已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 ．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四 条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________． 12．设 ，直线 和圆 （ 为参数）相切，则 的值为_____________． 13．设 ，则 的最小值为_____________． 14．在四边形 中， ，点 在线段 的延长线上， 且 ，则 _____________． 三．解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13 分） 在 中，内角 所对的边分别为 ．已知 ， ．（Ⅰ）求 3/5 的值； （Ⅱ）求 的值． 16．（本小题满分13 分） 4/5 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30 之前到校的概率均为 ．假定甲、乙两位同学到校情况互不 影响，且任一同学每天到校情况相互独立． （Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30 之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期 望； （Ⅱ）设 “ 为事件上学期间的三天中，甲同学在7：30 之前到校的天数比乙同学在7：30 之前到校 的天数恰好多2”，求事件 发生的概率． 17．（本小题满分13 分） 如图， 平面 ， ， ． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长． 18．（本小题满分13 分） 设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半 轴上．若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率．19．（本小题满分14 分） 4/5 设 是等差数列， 是等比数列．已知 ． （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）设数列 满足 其中 ． 5/5 （i）求数列 的通项公式； （ii）求 ． 20．（本小题满分14 分） 设函数 为 的导函数． （Ⅰ）求 的单调区间； （Ⅱ）当 时，证明 ； （Ⅲ）设 为函数 在区间 内的零点，其中 ，证明 ．