浙江省丽水市高中发展共同体2021-2022学年高二下学期2月返校考试数学试题

2022 年2 月高中发展共同体高二数学科目试卷 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共6 页，满分150 分，考试时间120 分钟。 选择题部分（共60 分） 一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求） 1．已知直线的一个方向向量为 ，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．已知向量 ， ，若 与 夹角为 ，则 的值为（ ） A． B． C．－1 D．1 3．两圆 ， 的公切线共有（ ） A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 4．若函数 ，则（ ） A． B． C． D． 5．已知点P 在圆M： 上，点 ， ，则 最小和最大时分别 为（ ） A．0°和60° B．15°和75° C．30°和90° D．45°和135° 6．函数 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 7．已知双曲线 ： （ ， ）的左右焦点分别为 、 、A 为双曲线的左顶 点，以 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于 、 两点，且 ，则该双曲线的离 心率为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数 ，数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，若 ，使得 恒成立，则 的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多项选择题（本大题共4 小题，每小题5 分，共计20 分．在每小题给出的四个选项中，至少 有两个是符合题目要求的，全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分） 9．已知等差数列 的前n 项和为 ，若 ，则（ ） A． B． C． D． 10．已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 ， 在 上，则下列说法正确的是 （ ） A．若点 ，则 的周长的最小值为 B．若点 是 上的一点，且 ，则 ， ， 成等差数列 C．若 ， ， 三点共线，则 D．若 ，则 的中点到 轴距离的最小值为3 11．已知 ，下列说法正确的是（ ） A． 在 处的切线方程为 B． 的单调递减区间为 C． 的极大值为 D．方程 有两个不同的解 12．在如图所示的棱长为1 的正方体 中，点P 在侧面 所在的平面上运动， 则下列命题中正确的为（ ） A．若点P 总满足 ，则动点P 的轨迹是一条直线 B．若点P 到点A 的距离为 ，则动点P 的轨迹是一个周长为 的圆 C．若点P 到直线 的距离与到点C 的距离之和为1，则动点P 的轨迹是椭圆 D．若点P 到直线 与直线 的距离相等，则动点P 的轨迹是双曲线 非选择题部分（共90 分） 三、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分） 13．椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则a 的值是 ▲ . 14．曲线 在点 处的切线方程为 ▲ . 15．记Sn为数列{an}的前n 项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝ ▲ . 16．在四面体 中， 、 分别是 、 的中点，若 ，则 ▲ . 17．天干地支纪年法源于中国，可对历史时间上推下推、顺推逆推，以致无穷．中国自古便有 十天干与十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸十二地支：子、丑、 寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支 相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为 “甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回 到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…， 以此类推．已知2020 年为庚子年，那么到建国100 年时，即2049 年以天干地支纪年法为 ▲ . 18．已知函数 在区间 上有3 个不同的极值点，则 实数a 的取值范围是 ▲ . 四、解答题（本大题共5 小题，每小题12 分，共60 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤） 19．已知圆 . （1）若不过原点的直线 与圆 相切，且直线 在两坐标轴上的截距相等，求直线 的方程； （2）若圆F 与圆 和直线 都相切,求圆F 半径最小时所对应的圆方程. 20．如图，四棱锥 的底面是矩形，平面 平面 ，点 在线段 上， ， ． （1）当 为线段 的中点时，求证：平面 平面 ； （2）当 时，求锐二面角 的余弦值． 21．已知数列 的前 项和为 ，满足 ． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求 前 项和 ． 22．已知函数 的图象在 （为自然对数的底数）处取得极值. （1）求实数 的值； （2）若不等式 恒成立，求 的取值范围. 23．已知椭圆 ： 的长轴长为6，离心率为 ，长轴的左，右顶点分别为 A，B． （1）求椭圆 的方程； （2）已知过点 的直线交椭圆 于M、N 两个不同的点，直线AM，AN 分别交 轴于点 S、T，记 ， （ 为坐标原点），当直线的倾斜角 为锐角时，求 的 取值范围． 2022 年2 月高中发展共同体高二数学科目答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 D A C A B D C A ABC ABD BC ABD 二．填空题 13. 1 14. 15. -63 16. 1 17. 已巳 18. 三．解答题 19． （1） 或 ； （2） . （1）因为直线 不过原点，设直线 的方程为 ， 圆 的标准方程为 ， 若直线 与圆 相切，则 ，即 ，解得 或者3， 所以直线 的方程为 或者 ； （2）因为 ，所以直线 与圆 相离， 所以所求最小圆的圆心一定在圆 的圆心 到直线 的垂线段上， 即最小圆的圆心在直线 上，且最小圆的半径为 ， 设最小圆的圆心为 ，则圆心 到直线 的距离为 ， 所以 ，即 ， 解得 (舍)或 ， 所以最小的圆的方程为 . 20．（1）证明见解析；（2） . 【详解】 （1）∵四棱锥 的底面是矩形，∴ ， 又∵平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ，又 平面 ，∴ ， ∵ ，∴ ，又 为线段 的中点，∴ ， 又 ，∴ 平面 ， ∵ 平面 ，∴平面 平面 ． （2）如图，连接 ，在平面 内作 的垂线，建立空间直角坐标系 设 ， ， ∴ ， ， ， ， ， ，则 ， ， 设平面 的法向量为 ， ∴ 即 令 ，则 ， ， ∴ 是平面CAE 的一个法向量， 设平面 的法向量为 ， ∴ 即 得 ∴ ， ∴锐二面角 的余弦值为 21 （1） ； （2） ． （1） ①，当 时， ② ，①减去②得 ， ， .可得数列 是首项为1，公比为2 的 等比数列. . （2） ， ①， ② ①减去②得 . ． 22． （1） （2） （1）因为 ，所以 ， 因为函数 的图像在点 处取得极值， 所以 ， ， 经检验，符合题意，所以 ； （2）由（1）知， ， 所以 在 恒成立，即 在 恒成立. 令 ，则 . 设 ，易得 是增函数， 又因为 ， 所以 所以 ，所以 . 23 （1） （2） （1） 由题意可得： 解得： ，所以椭圆 的方程： （2） 当直线l 的倾斜角 为锐角时，设 ， 设直线 ， 由 得 ， 从而 ，又 ，得 ， 所以 ， 又直线 的方程是： ，令 ， 解得 ，所以点S 为 ； 直线 的方程是： ，同理点T 为 · 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ． ∵ ，∴ ， 综上，所以 的范围是 ．