广东省汕尾市2021-2022学年高二上学期期末考试 数学

汕尾市2021-2022 学年度第一学期全市高中二年级教学质量监 测 数 学 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．中心在原点的双曲线C 的右焦点为 ，实轴长为2，则双曲线C 的方程为（ ） A． B． C． D． 3．圆 与圆 的位置关系是（ ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 4．设 为等差数列 的前n 项和， ， ，则 （ ） A． B．﹣4 C．﹣2 D．2 5．下列函数中，以 为最小正周期，且在 上单调递减的为（ ） A． B． C． D． 6．函数 ，若实数 是函数 的零点，且 ，则（ ） A． B． C． D． 无法确定 7 ．在递增等比数列 中， 为其前n 项和．已知 ， ，且 ，则数列 的公比为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知F 是双曲线 的左焦点，A 为顶点，P 是双曲线C 上的 点， 轴，若 ，则双曲线C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符得 5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。 9．已知直线 ，则下述正确的是（ ） A．直线l 可能过点（2，1） B．直线l 的斜率有可能不存在 C．直线l 的斜率可以等于0 D．若直线l 在x 轴和y 轴截距相等，则 10．已知曲线C 的方程为 （ ，且 ， ），则下列结论正 确的是（ ） A．当 时，曲线C 为圆 B．若曲线C 为椭圆，且焦距为 ，则 C．当 或 时，曲线C 为双曲线 D．当曲线C 为双曲线时，焦距等于4 11．已知数列 的前n 项和为 ， 与 是方程 的两根，则下列说法 正确的是（ ） A．若 是等差数列，则 B．若 是等比数列，则 C．若 是递减等差数列，则当 取得最大值时， 或8 D．若 是递增等差数列， 对 恒成立，则 12 ．如图，棱长均为2 的平行六面体 中， 平面ABCD ， ，E ，F 分别是线段BD 和线段 上的动点，且满足 ， ，则（ ） A．当 时， B．当 时，直线EF 与直线 所成角的大小为 C．当 时，若 ，则 D．当 时，三棱锥 体积的最大值为 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．复数 （其中i 为虚数单位）的共轭复数 ______． 14．在空间直角坐标系 中，向量 为平面ABC 的一个法向量，其中 ， ，则向量 的坐标为______． 15．瑞士数学家欧拉（Euler）1765 年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角 形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知 的顶点 ， ， ，则 欧拉线的方程为______． 16．已知抛物线 的焦点为F，A 为抛物线C 上一点．以F 为圆心，FA 为半径的圆交抛物线C 的准线于B，D 两点，A，F，B 三点共线，且 ，则 ___ ___． 四、解答题：本题共16 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10 分） 给出以下三个条件：① ；② ， ， 成等比数列；③ ．请从这三个条 件中任选一个，补充到下面问题中，并完成作答．若选择多个条件分别作答，以第一个作 答计分． 已知公差不为0 的等差数列 的前n 项和为 ， ，______． （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，令 ，求数列 的前n 项和 ． 18．（12 分） 某初中学校响应“双减政策”，积极探索减负增质举措，优化作业布置，减少家庭作业时 间．现为调查学生的家庭作业时间，随机抽取了100 名学生，记录他们每天完成家庭作业 的时间（单位：分钟），将其分为 ， ， ， ， ， 六组，其频率分布直方图如下图： （1）求a 的值，并估计这100 名学生完成家庭作业时间的中位数（中位数结果保留一位小 数）； （2）现用分层抽样的方法从第三组 和第五组 中随机抽取6 名学生进行 “双减政策”情况访谈，再从访谈的学生中选取2 名学生进行成绩跟踪，求被选作成绩跟 踪的2 名学生中，第三组和第五组各有1 名的概率． 19．（12 分） 已知圆C 过两点 ， ，且圆心C 在直线 上． （1）求圆C 的方程； （2）过点 作圆C 的切线，求切线方程． 20．（12 分） 如图，在棱长为2 的正方体 中，E 为AD 中点． （1）求二面角 的大小； （2）探究线段 上是否存在点F，使得 平面 ？若存在，确定点F 的位置； 若不存在，说明理由． 21．（12 分） 如图，五边形ABCDE 为东京奥运会公路自行车比赛赛道平面设计图，根据比赛需要，在 赛道设计时需预留出AC，AD 两条服务通道（不考虑宽度），DC，CB，BA，AE，ED 为 赛道．现已知， ， ， 千米， 千米． （1）求服务通道AD 的长． （2）在上述条件下，如何设计才能使折线赛道AED（即 ）的长度最大，并求最 大值． 22．（12 分） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，过左焦 点 的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点， 的周长为8． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）如图， ， 是椭圆C 的短轴端点，P 是椭圆C 上异于点 ， 的动点，点Q 满 足 ， ，求证 与 的面积之比为定值． 汕尾市2021—2022 学年度第一学期全市高中二年级教学质量监 测 参考答案及评分标准数学 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D B A B A B C 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。（全部选对的得5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得0 分。 9 10 11 12 BD AC BC ABD 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13． 14． 15． 16．2 15 题，直线方程形式要求为一般式或斜截式 四、解答题：本题共6 小题，共70 分． 17．（10 分） 解：（1）设数列 的公差为d 选择①，由 ，又 ，则 ，所以 选择②，由 ， ， 成等比数列，得 ，即 ， 解得 ，或 （舍去）．所以 ． 选择③，由 ，得 ，解得 ，所以 ． （2）由题意知， ∴ ① ② ①－②得 ∴ ，即 18．（12 分） 解：（1）根据频率分布直方图可得： ， 解得 ．设中位数为x，由题意得 ，解得 所以这100 名学生完成家庭作业时间的中位数约为31.1 分钟． （2）有频率分布直方图知，第三组和第五组的人数之比为2:1 所以分层抽样抽出的6 人中，第三组和第五组的人数分别为4 人和2 人 第三组的4 名学生记为A，B，C，D，第五组的2 名学生记为a，b 从6 名学生中抽取两名的样本空间 ，共15 个样本 点． 记事件 “2 名中学生，第三组和第五组个1 名” 则 ，共有8 个样本点 ∴这2 名学生中，两组各有1 名的概率 ． 19．（12 分） 解：（1）因为圆C 过两点 ， ， 设AB 的中点为M，则 ， 因为 ，所以AB 的中垂线方程为 ，即 又因为圆心在直线 上，联立 解得 ，圆心 ，半径 故圆的方程为 ．（或标准形式 ） （2）当过点P 的切线的斜率不存在时，此时直线 与圆C 相切 当过点P 的切线斜率k 存在时 切线方程为 即 （*） 由圆心C 到切线的距离 ，可得 将 代入（*），得切线方程为 综上，所求切线方程为 或 20．（12 分） 解：如图，以D 为原点，DA，DC， 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐 标系， 则 ， ， ， ， ， ， ． （1） ， 设平面 的法向量 ∴ ，即 令 ，则 ， ∴ 连接AC，∵ ， ， ∴ 平面 ∴ 为平面 的一个法向量． ∴ ∵二面角 为锐二面角 ∴二面角 的大小为 ． （2）假设在线段 上存在点F，使得 平面 ． 设 ， ∵ 平面 ∴ ，即 ∴ ，即 解得 ∴在线段 上存在点F，使得 平面 ，此时点F 为线段 上靠近点C 的三 等分点． （备注：学生用其他方法建立空间直角坐标系解题，参照评分标准酌情给分） 第一问 解法二 取 中点G，连接EG， 易知， ， ∴ 过E 作 ，垂足为O，连接OG， 又∵ ， ∴ 平面 ∴ 又∵ ∴ 平面EOG ∴ ∴ 为二面角 的平面角 在等腰直角 中， 在 中， 在 中， 又∵ 为锐角，∴ 所以二面角 的大小为 ． 21．（12 分） 解：（1）在 中，由正弦定理得： 在 中，由余弦定理 得 即 解得 （负值舍去） 所以服务通道AD 的长为8 千米． （2）方法一： 在 中，由余弦定理得： ， 即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （当且仅当 时取等号） ∴ 时，折线赛道 的长度最大，最大值为 千米． 方法二： 在 中，设 ， ， ∴ ，∴ ， ∴ ∵ ∴ ∴当 ，即 时， 取得最大值1，此时 ∴ 时，折线赛道 的长度最大，最大值为 千米． 22．（12 分） 解：（1）∵ 的周长为8∴ ，即 ∵离心率 ∴ ， ，∴椭圆C 的标准方程为 ． （2）方法一：设 ， 则直线 斜率 ∵ ∴直线 斜率 ，∴直线 的方程为： 同理直线 的方程为： 联立上面两直线方程，消去y，得 ∵ 在椭圆 上，∴ ，即 ∴ ∴ 所以 与 的面积之比为定值4． 方法二：设直线 ， 的斜率分别为k， ，点 ， ， 则直线 的方程为 ∵ ，∴直线 的方程为 将 代入 ，得 ∵P 是椭圆上异于点 ， 的点∴ ，又∵ ，即 ∴ ，即 由 ，得直线 的方程为 联立 得 ，∴ 所以 与 的面积之比为定值4． 高二19 题（1） 另解1：设圆的方程为 ，圆心坐标为 ∵该圆圆心在直线 上∴ ① 又∵ ， 在圆上∴ ② ③联立①②③可得， ， ， ∴圆的方程为 另解2：设圆的方程为 ，圆心坐标为 ∵该圆圆心在直线 上∴ ① 又∵ ， 在圆上∴ ② ③联立①②③可得， ， ， ∴圆的方程为