长郡中学2021-2022学年高一下学期寒假作业检测（入学考试）数学试卷（word原卷）

2022 年高一年级寒假作业检测（入学考试） 数 学 得分： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8 页。时量120 分钟。 满分100 分。 第 Ⅰ 卷 一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．已知集合 ， ，则 （ ） A．（ ，2） B．（1，3） C．（1，2） D．（ ，3） 2 ★．若p： ，q： ，则p 是q 的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 3 ★．已知函数 是奇函数，则实数a=（ ） A．2 B．1 C． D． 4．已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 5 ★．角 的始边在x 轴非负半轴，终边在第二象限，与单位圆交点纵坐标为 ，将其终边 逆时针旋转30 度后与单位圆交点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 6 ★．已知 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 7．已知函数 ，恰有2 个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达 身份、感情、风度以及语言交流的作用．不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意． 如图1 所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知 AB=CD=4，BC=3，AD=7，则该玉佩的面积为（ ） A． B． C． D． 二、选择题（本题共4 小题，每小题3 分，共12 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得3 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分） 9 ★．已知 ，则 的值可能是（ ） A． B． C． D． 10．已知 ， 是一锐角三角形的内角，则下列不等关系一定正确的是（ ） A． B． C． D． 11 ★ ．德国数学家狄里克雷（Dirichlet，PeterGustavLejeune，1805-1859）在1837 年时提出： “如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个 定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个 确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄 里克雷函数D（x），即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数 值为0．下列关于狄里克雷函数D（x）的性质表述正确的是（ ） A． B． 的值域为 C． 是偶函数 D． 的图象关于直线 对称 12．已知 （ ），下面结论正确的是（ ） A．若 ， ，且 的最小值为 ，则 B．存在 ，使得 的图象向右平移 个单位长度后得到的图象关于y 轴对称 C．若 在 上恰有7 个零点，则 的取值范围是 D．若 在 上单调递增，则 的取值范围是 第 Ⅱ 卷 三、填空题（本题共5 小题，每小题3 分，共15 分） 13．已知幂函数 的图象如图所示，则 ________．（写出一个正确结果即可） 14．函数 的定义域为________． 15．已知 ， ， ，则 的最小值为________． 16．1881 年英国数学家约翰·维恩发明了Venn 图，用来直观表示集合之间的关系．全集 U=R，集合 ， 的关系如图所示，其中区域 I，Ⅱ构成M，区域Ⅱ，Ⅲ构成N．若区域I，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则实数a 的 取值范围是________． 17．设函数 ，若关于x 的方程 有三个不相等的实数 解，则实数t 的取值范围是________． 四、解答题（本题共5 小题，18 题9 分，其余每小题10 分，共49 分．解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤．） 18．（9 分）已知函数 ． （1）求证： ； （2）已知 ，且 ， ，求 ， 的值． ★19．（10 分）（1）已知 ，求 的值； （2）求 的值． 20．（10 分）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数 量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单 位：百万个）与培养时间x（单位：小时）的关系为： x 2 3 4 5 6 8 y 3.5 3.8 4 4.16 4.3 4.5 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第2 小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择： ① ，② ，③ ． （1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； （2）利用（4，4）和（8，4.5）这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第 2 小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到5 百万个． 21 ．（10 分）如图，点P （ ，0 ），Q （ ，0 ），R （0 ， ）在函数 （ ， ， ）的图象上． （1）求函数 的解析式； （2）若函数 图象上的两点M（ ， ），N（ ， ）满足 ， ，求四边形OMQN 面积的最大值． 22．（10 分）已知函数 ， ． （1）若 ，解不等式 ； （2）若函数 恰有三个零点 ， ， ，求 的取值范围．