天津市耀华中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题（解析版）

第1 页/共17 页 （北京）股份有限公司 天津市耀华中学2022-2023 学年度第一学期期末考试 高一年级数学学科 一､选择题：本大题共14 小题，每小题4 分，共56 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知点 在第一象限，则在 内 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由第一象限点的坐标的符号列出三角函数的不等式，根据三角函数的性质结合 ，求出 角 的取值范围． 【详解】由已知点 在第一象限得： ， ，即 ， ， 由 ， 可得 ，所以 ， 当 ， 可得 或 ． 所以 或 ． 故选：A． 第2 页/共17 页 （北京）股份有限公司 2. 函数 的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角公式和诱导公式化简函数解析式，再根据正弦函数的单调性结论即可求出答案. 【详解】 可化为 ， 令 ，可得 ， 所以函数 的 单调增区间为 . 故选：C. 3. 函数 的图象（ ） A. 关于原点对称 B. 关于 轴对称 C. 关于直线 对称 D. 关于直线 对称 【答案】D 【解析】 【分析】利用代入验证的方式，对比正弦函数的图象与性质可得结果. 第3 页/共17 页 （北京）股份有限公司 【详解】对于 ，当 时， ，所以原点不是函数的对称中心， 错误； 对于B，当 时， ，所以 轴不是函数的对称轴，B 错误； 对于 ，当 时， ，所以 不是函数的对称轴，C 错误； 对于D，当 时， ， 是函数的对称轴，D 正确. 故选：D. 4. 计算 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用角的变换将 转化为 ，再用两角差的正弦展开，化简后，逆用两角和 的正弦求解. 【详解】 故选：A 【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦的正用和逆用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力， 属于中档题.5. 函数 的最大值是（ ） A. B. C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 第4 页/共17 页 （北京）股份有限公司 【分析】化简函数解析式，结合正弦函数性质求其最大值. 【详解】 可化为 ， 所以 ， ， 设 ，则 ， 所以当 即 时，函数 取 最大值，最大值为7， 所以函数 的最大值为7， 故选：C. 6. 函数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明函数 为周期函数，再求其在一个周期的值域即可. 【详解】因为 ，所以 ， 所以函数 是周期函数，周期为 ， 第5 页/共17 页 （北京）股份有限公司 当 时， ，因为 ，所以 ，所以 ，即 ， 所以函数 的值域为 ， 故选：D. 7. 不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用绝对值的 几何意义即可求解. 【详解】由 得 ， 或 ， 解得 或 ， 所以不等式 的解集为 . 故选：B. 8. 若函数f(x)、g(x)分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有（ ） A. f（2）<f(3)<g(0) B. g(0)<f(3)<f（2） C. f（2）<g(0)<f(3) D. g(0)<f（2）<f(3) 【答案】D 【解析】 第6 页/共17 页 （北京）股份有限公司 【分析】根据函数奇偶性得 ，进而得 ，从而利用 函数的单调性及正负可比较大小. 【详解】函数 分别是 上的奇函数、偶函数, ， 由 ，得 ， ， ， 解方程组得 ， 易知 在 上单调递增，所以 ， 又 所以 . 故选：D 9. 在下列区间中，函数 的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数 在 上单调递增，由 ,利用零点存在定理可得结果. 第7 页/共17 页 （北京）股份有限公司 【详解】因为函数 在 上连续单调递增， 且 , 所以函数的零点在区间 内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1） 函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. 10. 函数 的值域为 .则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令 ，由题意知，函数 的值域包含 ，结合已知 列关于 的不等式，解不等式得 的取值范围. 【详解】令 ，由于函数 的值域为 ， 所以，函数 的值域包含 . 所以 ，解得 或 . 综上所述，实数 的取值范围是 . 故选：D. 11. 函数 的图象的大致形状为（ ） 第8 页/共17 页 （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数 的奇偶性以及在 上的函数值符号，可得出合适的选项. 【详解】 ，该函数的 定义域为 ， 因为 ，所以函数 为偶函数，所 以函数 的图象关于 轴对称，排除C，D， 当 时， ， ， ，此时 ，排除B， 因此，函数 图象的大致形状是A 选项中的函数图象. 故选：A. 12. 若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法，再结合对数函数 的单调性分别判断 和 的大小关系，即可判断出 第9 页/共17 页 （北京）股份有限公司 的大小关系. 【详解】 ， ；又 ， ，故 . 故选：C. 13. 若实数 满足 ，且 ，则 的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数运算化简条件得 ，再利用基本不等式求 的最小值， 【详解】因为 ，所以 ， 实数 、 满足 ， 所以 （当且仅当 ， 时等式成立）， 故选：B． 14. 已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】通过解法方程 来求得 的零点个数. 【详解】由 可得 . 第10 页/共17 页 （北京）股份有限公司 当 时， ，或 （舍去）， 当 时， 或 . 故 是 的零点， 是 的零点， 是 的零点. 综上所述， 共有 个零点. 故选：C 二､填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分. 15. 函数 的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【详解】由题知： ；解得：x≥3. 故答案为： 16. 已知函数 ，则 的最小正周期是_________． 【答案】 【解析】 【详解】 ，故函数的最小正周 第11 页/共17 页 （北京）股份有限公司 期 ． 17. 计算： ＝________． 【答案】1 【解析】 【分析】 根据对数的运算法则求解即可. 【详解】原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1． 故答案为：1. 【点睛】该题考查的是有关对数的运算，涉及到的知识点有对数的运算法则，属于简单题目. 18. 已知 则 ___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角正切公式，计算 ，再根据两角和的正切公式，计算 ， 由题意可知 ，求解即可. 【详解】 第12 页/共17 页 （北京）股份有限公司 ，即 ，即 则 故答案为： 【点睛】本题考查三角函数给值求角，属于中档题. 三､解答题：本大题共3 小题，共28 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 已知函数 （1）求 的值； （2）求函数 的最小正周期及其图像的对称轴方程； 【答案】（1） ； （2）函数 的最小正周期为 ，其图像的对称轴方程为 . 第13 页/共17 页 （北京）股份有限公司 【解析】 【分析】(1)根据特殊角三角函数求 的值； (2)化简函数 的解析式，结合正弦型函数的周期公式和正弦函数的对称性求解. 【小问1 详解】 因为 ，所以 ， 所以 ； 【小问2 详解】 由 可得 ， ， ， 所以 ， 函数 的最小正周期 ， 令 可得 ， 所以函数 的对称轴方程为 . 20. 已知 ， . 第14 页/共17 页 （北京）股份有限公司 （1）求 的值； （2）求 的值. 【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ） 【解析】 【分析】（I）由题意利用同角三角函数的基本关系求得 的值，可得 的值.（II） 先求得 的值,再利用二倍角公式结合齐次式计算求得 、 的值,再利用两角和的正弦公式 求得 的值. 【详解】解：（I）∵已知 ， ， ∴ ， ∴ . （II）∵ ，∴ ， ∴ ， . 第15 页/共17 页 （北京）股份有限公司 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，考查齐次式的计算，考查两角和 的正弦公式，属于中档题. 21. 已知函数 ，其中是自然对数的底数. （1）证明 是 上的偶函数； （2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析； （2） . 【解析】 【分析】（1）由函数奇偶性的定义即可得 是 上的偶函数； （2）利用参数分离法，将不等式 在 上恒成立，转化为 对任意 恒成立,利用函数的单调性求最值即可求实数 的取值范围. 【小问1 详解】 因为对任意 ,都有 ， 所以 是 上的偶函数. 【小问2 详解】 由条件知 在 上恒成立, 因为 ，所以 . 所以 在 上恒成立. 令 ， 第16 页/共17 页 （北京）股份有限公司 所以 对任意 成立, 由对勾函数的单调性知 , 所以 , 因此，实数 的取值范围是 . 【点睛】方法点睛： 不等式恒成立问题常见方法：①分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（ 即可）；②数形结合( 图象在 上方即可)；③讨论最值 或 恒成立；④讨论参数. 第17 页/共17 页 （北京）股份有限公司