影片时长：15 秒 人物： 男A，男B 场景：俩朋友在聊天 男A（挠着头，尴尬地说）：兄弟，我想买房，能不能借点钱！ 男B（一脸郑重，劝解到）不要买房，我听马云说了。以后房子就 跟白菜一个价！ 男A（脸色一变）这你也信？马云买什么不像白菜？

目标的万达集团创始人王健林，他也曾经做过中国首富的宝座，还有就是马云今年又蝉联 了首富，如果有人能被这两位在商界都是大佬级别的人物，看上，这个人肯定会很开心， 毕竟王健林和马云如果看上了一个人才，肯定会花很多钱请他！ 可是就有这样一个人拒绝了王健林和马云，那就是王欣，他是一个富二代，却不是纨绔子 弟，在美国上学的时候就开始创业了，而且还获得了不错的回报。亡人之间王健林和马云 都知道了它的存在，纷纷向他抛出橄榄枝。王健林想让王新进入自己的公司，还给他开出 健林想让王新进入自己的公司，还给他开出 了800 万的年薪被他拒绝，马云想让他进入阿里巴巴，他又拒绝了。这样的年薪要是普 通人肯定会动摇，不过王欣却不这么想，因为他的目标远远不止800 万。你肯定想不到 拒绝万达，拒绝阿里巴巴的他如今换成了这样。 在拒绝王健林和马云后，王鑫虽然有创业的想法，但是却有点无从下手，由于深受互联网 时代和互联网思维书籍的冲击，王欣决定打造一个生活类社交平台，由此美团诞生！

费马点求最小值 内容导航 方法点拨 P Q E A B C Q P A B C E △P≌△QE，且△PQ 为等边三角形， ∴P=QE，P=PQ ∴P+BP+P=BP+PQ+QE 当B、P、Q、E 共线时，P+BP+P 和最小 例题演练 题组 1 ：费马点在三角形中运用 例1．如图，在△B 中，P ∵R∥′T∥M，′＝R′， ∴TM＝T， ∴′T＝ ＝ ， ∴BT＝ ＝3， ∴′＝ ＝ ， ∴′﹣E′＝ ﹣ ＝ ． ∴QP+QB+Q 的最小值为 ． 题组 2 ：费马点在四边形中运用 例2．如图，P 为正方形BD 内的动点，若B＝2，则P+PB+P 的最小值为 ． 【解答】解：将△BP 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BP''， 连接′、BB′、E，它们的交点即为m 最小时，P 点的位置（即费马点）； ∵＝B′，∠B′B＝∠E＝150°，B＝E， ∴△E≌△B′B； ∴∠B′B＝∠E； ∵∠BP＝∠EP′，而∠BE＝60°， ∴∠PP'＝60°， ∴△PP′为等边三角形， ∴P＝PP′， ∴P+PB+P＝P+P′+P′E＝E； 即m 最小＝E＝ ； 如图；作正△BE 的外接圆⊙Q， 根据费马点的性质知∠BP＝120°，则∠PB+

对于费马点问题，大家已经见得比较多了，相信都能熟练解决，如果所求最值中三条线 段 的系数有不为1 的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，费马点问题属于权为1 的特 殊 情况 加权费马点问题解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择 不 同的旋转或放缩方法 【类型一 单系数类】 当只有一条线段带有不为1 的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，一种是旋转特 特 殊 角度，一种是旋转放缩 【类型二 多系数类】 其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的 经过尝试，我们会发现，以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的， 对 于给定的系数，我们该如何选取旋转中心呢？ 我们总结了以下方法： 1 将最小系数提到括号外； 2 中间大小的系数确定放缩比例； 模型介绍 3 最大系数确定旋转中心（例如最大系数在P 则对于点T（x，x），（0，1）， ， ， ， ， 可知y＝T+TB+T．容易验证△B 是中心为（0，0）、边长为 的等边三角形． 根据费马点原理，当T 在点处时、T+TB+T 有最小值，ym＝3． 3．已知：等腰Rt△B 中，∠B＝90°，＝B＝1，D 是△B 的费马点（∠D＝∠BD＝∠DB＝120°），求D+BD+D 的值． 解：如图 以B 为边作等边△BE，连接DE， ∴E＝B，∠EB＝∠BE＝BE＝60°，

旋转 模型（三十四）——费马点模型 费马点：到一个三角形三个顶点距离之和最小的点，称为三角形的费马点 当P+PB+P 取最小值时，点P 叫三角形的费马点 ◎结论：如图,△B 的三个内角均不大于120°，点P 在形内， 当∠BP＝∠P＝∠P＝120 时，P+PB+P 的值最小 【证明】如图，将△BP 绕点B 逆时针旋转 60°，得到△1BP1， 连接 ＝120º， ∠PB ∵ ＝∠1P1B，∠BP1P＝60º， ∠PB ∴ ＝180º－60º＝120º 则∠P＝360º－120º－120º＝120º， 故∠BP＝∠P＝∠P＝120º 费马点作法： 分别以、B、B 为边作等边△D、△BE、△BF,连接F,BD,E, 由手拉手可得△E △DB ≌ ，△BE △FB, ≌ E ∴＝BD，E＝F， E ∴＝BD＝F ∴当B、P、F、D 四点共线时， 的值最小，最小值为BD 的长； ∵ ，∠D= ， ∴∠ED= ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的值最小值为 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将△P 绕点顺时针旋转 得△DF，将三条线段的长转化到一条直 线上． 2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，四边形 是菱形， B=6，且∠B=60° ，M 是菱形内任一点，连接