2025 年山西省晋中市榆社县西马乡中心小学人教版小学四年级英语 上学期期中考试卷带答案 一、单项选择题（共10 题，每题2 分） 1. — What's your name? — My name is ______. A. Tom B. ten C. red D. book 2. This is ______ apple. A. a B. an

2025 年山西省晋中市榆社县西马乡第七小学人教版小学四年级英语 上学期期中考试卷带答案 一、单项选择题（共10 题，每题2 分） 1. — What's your name? — ________ A. I'm fine. B. My name is Lily. C. Thank you. 2. How old are you? A. I'm ten

2025 年山西省晋中市榆社县西马乡第二小学人教版小学四年级英语 上学期期中考试卷带答案 一、单项选择题（共10 题，每题2 分） 1. — What's your name? — __________ A. I'm fine. B. My name is Tom. C. Thank you. 2. How old are you? A. I'm ten

2025 年山西省晋中市榆社县西马乡第五小学人教版小学四年级英语 上学期期中考试卷带答案 一、单项选择题（共10 题，每题2 分） 1. What's your name? ______ name is Lily. A. My B. Your C. His 2. I have ______ apple. A. a B. an C. the 3. She ______ to

2025 年山西省晋中市榆社县西马乡第三小学人教版小学四年级英语 上学期期中考试卷带答案 一、单项选择题（共10 题，每题2 分） 1. — Hello, how are you? — I'm ______, thank you. A. fine B. good C. well D. happy 2. What ______ your father do?

2025 年山西省晋中市榆社县西马乡第六小学人教版小学四年级英语 上学期期中考试卷带答案 一、单项选择题（共10 题，每题2 分） 1. — What's your name? — ______ A. I'm fine. B. My name is Tom. C. Thank you. 2. How old are you? A. I'm ten years old

2025 年山西省晋中市榆社县西马乡第八小学人教版小学四年级英语 上学期期中考试卷带答案 一、单项选择题（共10 题，每题2 分） 1. —What’s this? —It’s ______ apple. A. a B. an C. the 2. My father ______ reading books every evening. A. like B. likes C.

费马点求最小值 内容导航 方法点拨 P Q E A B C Q P A B C E △P≌△QE，且△PQ 为等边三角形， ∴P=QE，P=PQ ∴P+BP+P=BP+PQ+QE 当B、P、Q、E 共线时，P+BP+P 和最小 例题演练 题组 1 ：费马点在三角形中运用 例1．如图，在△B 中，P ∵R∥′T∥M，′＝R′， ∴TM＝T， ∴′T＝ ＝ ， ∴BT＝ ＝3， ∴′＝ ＝ ， ∴′﹣E′＝ ﹣ ＝ ． ∴QP+QB+Q 的最小值为 ． 题组 2 ：费马点在四边形中运用 例2．如图，P 为正方形BD 内的动点，若B＝2，则P+PB+P 的最小值为 ． 【解答】解：将△BP 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BP''， 连接′、BB′、E，它们的交点即为m 最小时，P 点的位置（即费马点）； ∵＝B′，∠B′B＝∠E＝150°，B＝E， ∴△E≌△B′B； ∴∠B′B＝∠E； ∵∠BP＝∠EP′，而∠BE＝60°， ∴∠PP'＝60°， ∴△PP′为等边三角形， ∴P＝PP′， ∴P+PB+P＝P+P′+P′E＝E； 即m 最小＝E＝ ； 如图；作正△BE 的外接圆⊙Q， 根据费马点的性质知∠BP＝120°，则∠PB+

对于费马点问题，大家已经见得比较多了，相信都能熟练解决，如果所求最值中三条线 段 的系数有不为1 的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，费马点问题属于权为1 的特 殊 情况 加权费马点问题解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择 不 同的旋转或放缩方法 【类型一 单系数类】 当只有一条线段带有不为1 的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，一种是旋转特 特 殊 角度，一种是旋转放缩 【类型二 多系数类】 其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的 经过尝试，我们会发现，以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的， 对 于给定的系数，我们该如何选取旋转中心呢？ 我们总结了以下方法： 1 将最小系数提到括号外； 2 中间大小的系数确定放缩比例； 模型介绍 3 最大系数确定旋转中心（例如最大系数在P 则对于点T（x，x），（0，1）， ， ， ， ， 可知y＝T+TB+T．容易验证△B 是中心为（0，0）、边长为 的等边三角形． 根据费马点原理，当T 在点处时、T+TB+T 有最小值，ym＝3． 3．已知：等腰Rt△B 中，∠B＝90°，＝B＝1，D 是△B 的费马点（∠D＝∠BD＝∠DB＝120°），求D+BD+D 的值． 解：如图 以B 为边作等边△BE，连接DE， ∴E＝B，∠EB＝∠BE＝BE＝60°，

旋转 模型（三十四）——费马点模型 费马点：到一个三角形三个顶点距离之和最小的点，称为三角形的费马点 当P+PB+P 取最小值时，点P 叫三角形的费马点 ◎结论：如图,△B 的三个内角均不大于120°，点P 在形内， 当∠BP＝∠P＝∠P＝120 时，P+PB+P 的值最小 【证明】如图，将△BP 绕点B 逆时针旋转 60°，得到△1BP1， 连接 ＝120º， ∠PB ∵ ＝∠1P1B，∠BP1P＝60º， ∠PB ∴ ＝180º－60º＝120º 则∠P＝360º－120º－120º＝120º， 故∠BP＝∠P＝∠P＝120º 费马点作法： 分别以、B、B 为边作等边△D、△BE、△BF,连接F,BD,E, 由手拉手可得△E △DB ≌ ，△BE △FB, ≌ E ∴＝BD，E＝F， E ∴＝BD＝F ∴当B、P、F、D 四点共线时， 的值最小，最小值为BD 的长； ∵ ，∠D= ， ∴∠ED= ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的值最小值为 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将△P 绕点顺时针旋转 得△DF，将三条线段的长转化到一条直 线上． 2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，四边形 是菱形， B=6，且∠B=60° ，M 是菱形内任一点，连接