题型19 10 类球体的外接及内切解题技巧 （特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、 二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定） 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 知识迁移 球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3 底面外接圆的半径r 的求法 （1）正弦定理 （2）直角三角形：半径等于斜边的一半 （3）等边三角形：半径等于三分之二高 对棱相等问题的应用及解题技巧 技法04 侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧 技法05 侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧 技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧 技法07 数学文化与球体综合的应用及解题技巧 技法08 最值与球体综合的应用及解题技巧 技法09 内切球综合的应用及解题技巧 技法10 球心不确定类型的应用及解题技巧 对于长方体、正方体、 C． D． 3．（2023·河南郑州·校联考二模）如图，在三棱锥 中， ， ，平 面 平面ABC，则三棱锥 外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧 本文梳理以二面角为背景的外接球问题，这类问题难度较大，对空间想象能力要求较高，基于此本文先给 出一般结论，再对其展开详细应用，大家需重点强化复习. 知识迁移 基本原理

题型19 10 类球体的外接及内切解题技巧 （特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、 二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定） 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 知识迁移 球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3 底面外接圆的半径r 的求法 （1）正弦定理 （2）直角三角形：半径等于斜边的一半 （3）等边三角形：半径等于三分之二高 对棱相等问题的应用及解题技巧 技法04 侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧 技法05 侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧 技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧 技法07 数学文化与球体综合的应用及解题技巧 技法08 最值与球体综合的应用及解题技巧 技法09 内切球综合的应用及解题技巧 技法10 球心不确定类型的应用及解题技巧 对于长方体、正方体、 正六棱柱的上下底面中心分别为 ,则球心O 是 的中点. 正六棱柱底面边长为 ,侧棱长为 中, ,可得 因此,该球的体积为 故答案为 . 【点睛】本题给出一个正六棱柱,求它的外接球的体积,着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点, 属于基础题. 8．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）已知正四棱台的高为，下底面边长为 ，侧棱与底面所成的角 为 ，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ） A． B．

分，共10 题） 1. 下列物体中，形状是球体的是（）。 A. 课本B. 足球C. 冰箱D. 铅笔盒 2. 魔方的形状属于（）。 A. 圆柱体B. 正方体C. 长方体D. 球体 3. 一个立体图形有6 个面，每个面都是长方形，它可能是（）。 A. 球体B. 圆柱体C. 长方体D. 圆锥体D. 球体 5. 下列图形中，只有曲面没有平面的是（）。 A. 正方体B. 球体C. 三棱柱D. 长方体 6. 长方体有（）条边。 A. 6 B. 8 C. 12 D. 4 7. 从任何方向看都是圆形的立体图形是（）。 A. 正方体B. 圆柱体C. 球体D. 圆锥体 8 个圆形底面和1 个顶点，它是（）。 A. 圆柱体B. 球体C. 圆锥体D. 正方体 二、多项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 下列物体中，形状是长方体的有（）。 A. 书本B. 冰箱C. 骰子D. 牙膏盒 2. 关于球体，正确的描述有（）。 A. 可以滚动B. 有6 个面C.

2025 二年级数学下册立体图形的分类与计数试卷及答案 一、单项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 下列物品中，形状是球体的是？ A. 书本B. 篮球C. 冰箱D. 魔方 2. 一个正方体有几个面？ A. 4 个B. 5 个C. 6 个D. 8 个 3. 下列哪个图形是圆柱体？ A. 金字塔B. 可乐罐C 6. 魔方的形状属于？ A. 球体B. 圆柱体C. 正方体D. 圆锥体 7. 下列图形中，不能滚动的是？ A. 球B. 圆柱C. 圆锥D. 正方体 8. 一个圆柱体有几个圆形面？ A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 0 个 9. 下图中有几个球体？ （图示：1 篮球+2 乒乓球+1 方盒子） 长方体B. 圆柱体C. 正方体D. 三棱锥 二、多项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 下列哪些是立体图形？（） A. 正方形B. 球体C. 圆柱体D. 三角形 2. 正方体的特点包括（） A. 所有面都是正方形B. 有6 个面 C. 有8 个顶点D. 可以滚动 3. 下列物品属于圆柱体的有（）

正方形C. 有三个角的图形D. 长方形 2. 四条边都相等的图形是（）。 A. 长方形B. 正方形C. 三角形D. 圆形 3. 球体可以（）。 A. 滚动B. 叠起来C. 有尖尖的角D. 画出正方形 4. 下面哪个图形没有直直的边？ A. 正方形B. 三角形C. 正方形C. 三角形D. 球体 7. 下面图形中，有4 个顶点的是（）。 A. 圆柱B. 三角形C. 正方形D. 球体 8. 三角形有（）条边。 A. 3 B. 4 C. 1 D. 0 9. 下面哪个立体图形最容易滚动？ A. 正方体B. 长方体C. 球体D. 圆柱 10. 两个完全一样的三角形可以拼成一个（）。 球的特征包括（）。 A. 可以滚动B. 有6 个面C. 没有角D. 是立体图形 3. 下面哪些是立体图形？（） A. 圆柱B. 正方形C. 球体D. 三角形 4. 用哪个物体可以画出圆形？（） A. 硬币B. 魔方C. 乒乓球D. 牙膏盒 5. 两个正方形可以拼成（）。 A.

小学数学立体图形认知训练2025 年测试卷及答案 一、单项选择题（共10 题，每题2 分） 1. 下列哪个是立方体？ A. 球体 B. 圆柱体 C. 正方体 D. 圆锥体 2. 一个长方体有（）个面。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 3. 球的表面是（）。 A. 平的 B. 曲的 C. 有棱角的 D. 方的 4. 圆柱体的侧面展开图是（）。 下列哪个立体图形没有顶点？ A. 立方体 B. 圆柱体 C. 圆锥体 D. 球体 10. 一个长方体的长、宽、高分别是5cm、3cm、2cm，它的体积是 （）。 A. 10cm³ B. 30cm³ C. 60cm³ D. 100cm³ 二、多项选择题（共10 题，每题2 分） 1. 下列哪些立体图形有曲面？（） A. 球体 B. 正方体 C. 圆柱体 D. 圆锥体 2. 下列哪些立体图形有圆形底面？（） A. 圆柱体 B. 圆锥体 C. 球体 D. 立方体 9. 正方体的每个面都是（）。 A. 长方形 B. 正方形 C. 四边形 D. 多边形 10. 计算长方体体积需要知道（）。 A. 长 B. 宽 C. 高 D. 棱长 三、判断题（共10 题，每题2 分） 1. 球体没有顶点。（） 2. 圆柱体有两个底面，都是圆形。（）

4 C. 5 7. 数一数，下图中有几个正方形？  A. 4 B. 5 C. 6 8. 下图中的球体有几个？  A. 1 B. 2 C. 3 9. 数一数，下图中有几个长方形？  A. 1 B 4. 下图中哪些是立体图形？（选项含球体、长方形、圆锥） A. 球体B. 长方形C. 圆锥 5. 数一数，下图中的正方形包含哪些部分？（选项描述小图形） A. 红色部分B. 蓝色部分C. 黄色部分 6. 哪些图形可以滚动？（选项含正方体、球体、圆柱） A. 正方体B. 球体C. 圆柱 7. 下图中重叠的图形有哪些？（选项描述重叠位置） A. 正方体B. 圆柱C. 球体 9. 哪些图形有直角？（选项含直角三角形、圆、正方形） A. 直角三角形B. 圆C. 正方形 10. 下图中哪些是平面图形？（选项含线段、长方体、角） A. 线段B. 长方体C. 角 三、判断题（每题2 分，共20 分） 1. 球体是平面图形。（） 2. 正方形有4

布的半径为R 的球体对球外质点P 的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r 的一部分球体，且 ， 则原球体剩余部分对质点P 的万有引力变为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设质点与原球体球心相距l，万有引力为F，则 在球体中央挖去半径为r 的一部分球体后，质点与原球体剩余部分之间的万有引力 故选C。 变式3.1 如图所示，一个质量均匀分布的半径为R 的球体对球外质点P 的球体对球外质点P 的万有引力为F。如果在球体中央 挖去半径为r 的一部分球体，且r= ，则原球体剩余部分对质点P 的万有引力大小变为（ ） A． B． C． D． F 【答案】C 【详解】设原球体的质量为M，质点P 的质量为m0，球心与质点P 的距离为L。根据 知，挖去部分的小球的质量 没挖去前，原球体对质点P 的引力 挖去的部分对质点P 的引力 则剩余部分对质点P 的引力 故选C。 变式3 变式3.2 有一质量为 、半径为 、密度均匀的球体，在距离球心 为 的地方有一质量为 的质点。 现将 中挖去半径为 的球体，如图所示，则剩余部分对m 的万有引力大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】挖去之前球体与质点之间的万有引力为 挖去部分的小球体与质点之间的万有引力为 由于球体密度均匀，则有 剩余部分与m 之间的万有引力大小为 解得 故选A。 【例4】2023

2025 一年级数学上册图形认知奇妙之旅试卷及答案 一、单项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 下列物品中，形状是球体的是？ A. 课本B. 足球C. 魔方D. 冰箱 2. 下图中有几个三角形？ [图示：包含3 个三角形的组合图形] A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 正方形的特征是？ A. 三条边一样长B 没有尖角D. 会滚动 4. 哪个图形是由曲线围成的？ A. 正方形B. 三角形C. 圆形D. 长方形 5. 下图积木中，属于圆柱体的是？ [图示：正方体、球体、圆柱体、圆锥体] A. B. C. D. ① ② ③ ④ 6. 用两个相同的三角形可以拼成什么图形？ A. 圆形B. 正方形C. 长方形D 下图窗户的玻璃是什么形状？ [图示：田字格窗户] A. 圆形B. 正方形C. 三角形D. 长方形 10. 硬币的正面形状最接近？ A. 圆柱体B. 球体C. 圆D. 正方形 二、多项选择题（每题2 分，共10 题） 11. 下列哪些物品的形状是长方体？（ ） A. 字典B. 牙膏盒C. 乒乓球D

二年级数学下册立体图形与平面图形关联试卷及答案 一、单项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 魔方属于哪种立体图形？ A. 圆柱体B. 长方体C. 正方体D. 球体 2. 下面哪个平面图形可以折成一个正方体？ A. B. C. D. 3. 长方体有（）个面。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 底面B. 侧面C. 高D. 顶点 9. 正方体的每个面都是（）。 A. 长方形B. 正方形C. 三角形D. 圆形 10. 下面哪个图形是球体的平面展开图？ A. B. C. D. 二、多项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 长方体的面可能是哪些图形？（） A. 长方形B. 正方形C 圆柱体由哪些平面图形组成？（） A. 1 个圆形B. 2 个圆形C. 1 个长方形D. 2 个长方形 3. 下面哪些立体图形有曲面？（） A. 球体B. 正方体C. 圆柱体D. 圆锥体 4. 正方体展开图可能包含哪些图形？（） A. 正方形B. 长方形C. 五边形D. 六边形 5.