河南省洛阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

（北京）股份有限公司 2022〜2023 学年高一年级教学诊断性考试 数学（人教版） 全卷满分150 分，考试时间120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，拥橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 ―、选择题:本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．已知全集1＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4，6，8}，则∁1 (M∪ N）＝（ ） A．{1，2，3，4，5，6，8} B．{7，9} C．{2，4} D． {1，3，5，6，7，8，9} 2．使“ 1 2 x ＞1”成立的一个充分不必要条件是 （ ） A．x＞0 B．x＜1 2 C．0＜x＜1 2 D．0＜x＜1 4 3．已知命题p:∃x∈(0，4)，x＜1 或x＞3，则命题的否定是（ ） A．∃x∈(0，4)，x ≥1 或x ≤3 B． ∃x∈(0，4)，1≤x ≤3 C． ∀x∈(0，4)，x ≥1 或x ≤3 D． ∀x∈(0，4)，1≤x ≤3 4．已知a＝❑ √3，b＝log32，c ＝ 2，则a，b，c 的大小关系是（ ） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a 5．若函数f ( x)＝❑ √x−❑ √3−x的定义域为集合M，值域为集合N，则M∩N ＝（ ） A．[0，❑ √3] B．[❑ √3 ，3] C．(0，❑ √3] D．[－❑ √3，❑ √3] 6．若函数f ( x)＝log2 x＋x，则f ( x)的零点所在区间是（ ） A．(0，1 4 ) B．(1 4 ，1 2 ) C．(1 2 ．3 4 ) D．(3 4 ，1) 7．已知 a＞0，b＞0，c＞0，（a＋b＋c) (a ＋b－ c) ＝ 10，则 3a＋ 3b－ c 的最小值为（ ） A． 8 B．10 C．4❑ √5 D．2❑ √10 8．已知函数f ( x)＝lg(❑ √x 2＋10＋x )，则f [lg(lg 2)]＋f [log25＋1)] ＝（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、选择题:本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。 9．已知函数f ( x)＝x α(α是常数），f (4) ＝ 2，则以下结论错误的是（ ） （北京）股份有限公司 A．α＝ 1 2 ` B．f ( x)在区间（0，＋∞)上单调递增 C．f ( x)的定义域为(0，＋∞) D．在区间（0，1)上，f ( x)＞l 10．已知a＞1＞b＞1 a ，则以下不等式成立的是（ ） A．ab＞1 B．a＋b＞2 C．logba＞l D．a b＞b a 11．若不等式a x 2＋2bx＋a＋4＞0(a＞－4)的解集为(a，a＋4)，则（ ） A．a＝1 B．b＝1 C．a＜0 D．b＜0 12．已知函数f ( x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈(0，2π )的部分图象如图所示，有以下变换：①向左平移π 2 个单位长度；②向左平移5 π 6 个单位长度；③各点的横坐标变为原来的1 2 倍；④各点的横坐标变为原来的3 5 倍， 则使函数y＝2sinx 的图象变为函的图象的变换次序可以是（ ） A．③① B．④① C．①③ D．②④ 三、填空题:本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13．已知角α ∈(0，2π)，角α终边上有一点M(cos 2，cos 2)，则α ＝______． 14．已知函数f (x )＝a x 2＋bx＋a(a＞0)，f (1)＝1 则f ( 1 a )的最小值为______．． 15．已知α ，β ∈(0，π 2 )，sin(α ＋β )＝7 6 ，tan α ＝ 2tanβ则 sin(α −β) ＝______． 16．若函数f ( x)＝e x＋e −x则f ( x＋1)＞f (2 x — 3)的解集为______． 四、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17． (10 分） 已知函数f (x )＝ cos x sin(x＋π 3)− ❑ √3 4 ． (1) 求f (x )的最小正周期及单调递增区间； (2) 求f (x )＝0在区间(0，π 2 )上的根． 18． (12 分） 已知b＞a＞1，logab＝2，a＋b＝6． （北京）股份有限公司 (1) 求a，b的值； (2) 解不等式:b x — 6a x＋8＜0． 19． (12 分） 某种植户要倚靠院墙建一个高3 m 的长方体温室用于育苗，至多有54 m2的材料可用于3 面墙壁和顶棚的搭建， 设温室中墙的边长分别为x，y，如图所示． (1) 写出：x，y满足的关系式； (2) 求温室体积的最大值． 20． (12 分） 如图，在正方形ABCD 中，M，N 分别为BC，CD 上的动点，其中∠MAB＝α＞0，∠MAN ＝β＞0，∠NAD ＝ γ＞0． (1) 若M 为BC 的中点，DN ＝1 3 DC，求β (2) 求证：tanαtanβ＋tan βtanγ ＋ tan γtanα ＝ l． 21．(12 分） 已知定义在R 上的函数f ( x)满足f ( x＋y)＝f ( x)f ( y)，f (0)≠0． (1) 求f (0)的值； (2) 若f (1) ＝ 3，n∈N ∗，求满足f (n)＜2023的n的最大值． 22．(12 分） 已知函数f ( x)＝x 2−2ax ，g( x)＝ax ＋3−a，a∈R． (1) 若对∀x∈R，f ( x)＋g( x)＞0，求a的取值范围； (2) 若对∀x∈R，f ( x)＞0 或g( x)＞0，求a的取值范围． （北京）股份有限公司 2022~2023 学年高一年级教学诊断性考试 数学（人教版）参考答案 1．B【解析】由题意得， ，故 ．故选B． 2．D【解析】由 得， ，即 ，得 ，故使“ ”成立的一个充 分不必要条件可以是“ ”．故选D． 3．D【解析】首先确定量词，排除选项A，B；其次“ 或 ”等价于“ ”，它的 否定形式为“ ”，解得 ，故命题p 的否定为“ ， ”．故选 D． 4．C【解析】∵ ，∴ ；又 ，∴ ，∴ ．故选C． 5．A【解析】由 得， ，对任意 ，有 ， ， 则 ，则 ，∴ ，即 ，∴ 在 上为增函数，∴ ，∴ ．故选A． 6．C【解析】易知函数 的图象在 上是连续的，且对任意 ，有 ，则 ，即 ，故 在 上为增函数． ，∵ ，∴ ，∴ ，即 ，又 ，∴根据函数零点存在定理，得 的零点在区间 上．故选C． （北京）股份有限公司 7．C【解析】因为 ，所以 ，当且仅当 即 时取等号．故选C． 8．B【解析】易知 的定义域为 ，设 ，则 ，则 ．故选B． 9．CD【解析】由 得， ，故选项A，B 正确； 的定义域为 ，选项C 错误； 在区间 上， ，选项D 错误．故选CD． 10．ABD【解析】由题意知 ，故 ，故选项A 正确； ，故选项B 正确； ，故 为 上的减函数，故 ，故选项C 错误； ，故选项D 正确．故选ABD． 11．BC【解析】由一元二次不等式的性质知， ， 是方程 的两根，故 ，又 ，则 ．由不等式的解集形式可知 ，故 ．又 ，则 ，则 ．故选BC． （北京）股份有限公司 12．BD【解析】由题意得， ，故 ，又 ，故 或 ，由图象可 知 ，故 ，将 的图象先向左平移 个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来 的 倍，得到 的图象，故 ，解得 ，故 ． 按 的变换次序，则B 正确； 按 的变换次序，则D 正确．故选BD． 13． 【解析】因为 ，故点M 在第三象限，又 ，故 ． 14． 【解析】由题意得， ，故 ，当且仅当 ，即 时取 等号． 15． 【解析】由 得， ，则 ①，由 得， ②，联立①②解得 ∴ ． 16． 【解析】易知函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，且 （北京）股份有限公司 ，则 为偶函数．设 ，则 ，∴ 在区间 上单调递增， 根据偶函数的性质，易知 等价于 ，∴ ，解得 ． 17．解：（1） ，故 的最小正周期 ；由 ， 得， ， ，故 的 单调递增区间为 ， ．（开区间、半开半闭区间也对） （2） ，即 ．则 ， ，由 ，得 ， 则 ，解得 ，故 在区间 上的根为 ． 18．解：（1）由 得， ，代入 得， ，又 ，故 ， ． （2）因为由（1）得 ， ，所以不等式 即为 ，则 ，则 ，解得 ，故不等式的解集为 ． 19．解：（1）由题意得，顶棚所用材料的面积为xy，3 面墙壁所用材料的面积为 ，∴ （北京）股份有限公司 ． （2）∵ ，当且仅当 时取等号，∴ ， 令 ，则 ，解得 ，∴ ，当且仅当 ， 时取等号， ∴温室体积 ，则温室体积的最大值为 ． 20．解：（1）由题意得 ， ，故 ，故 ，故 ． （2）证明： ，即 ，则 ，故 ． 21．解：（1）令 ，则 ，∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ． （2）令 ，则 ，∴ ， ，…， ， ，∴满足 的n 的最大值为6． 22．解：（1） 恒成立，则 ，即 ， 故 ，即a 的取值范围是 ． （2）当 时， ， ，符合题意； 当 时，由 ，解得 或 ， 故当 时， 恒成立，而 在 上为减函数，故只需 ，而 （北京）股份有限公司 由 ，得 ，故 符合题意； 当 时，由 ，解得 或 ， 故当 时， 恒成立，而 在 上为增函数，故只需 ，故 ． 综上，a 的取值范围是 ． （北京）股份有限公司