山东省德州市2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题

第1 页/共23 页 （北京）股份有限公司 高二数学试题 第Ⅰ卷（共60 分） 一、选择题（本大题共8 个小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合要求的） 1. 已知直线 ： ，直线 的倾斜角是直线 倾斜角的2 倍，则直线 的斜率是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线 与直线 垂直，则m，n 的 关系为（ ） A. B. C. D. 3. 已知 为双曲线 上点．则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知四棱锥 ，底面 为平行四边形，M，N 分别为棱BC，PD 上的点， ， ，设 ， ， ，则向量 用 为基底表示为（ ） 第2 页/共23 页 （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 5. 已知两圆 和 无公共点，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在正方形中ABCD， ，以AC 为折痕把 顺时针折起，折成一个大小 第2 页/共23 页 （北京）股份有限公司 为的二面角，若 ，则四面体 的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆C： ，椭圆C 的一顶点为A，两个焦点为 ， ， 的面积为 ，焦距为2，过 ，且垂直于 的直线与椭圆C 交于D，E 两点，则 的周长是（ ） A. B. 8 C. D. 16 8. 已知在三棱锥中， 中， ， ， ，二面角 的 大小为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的不得分） 第3 页/共23 页 （北京）股份有限公司 9. 已知曲线C 的方程为 （ 且 ），则（ ） A. 若曲线C 表示圆，则 B. 若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为 C. 若曲线C 表示焦点在 轴上的椭圆，则m 的取值范围为 第3 页/共23 页 （北京）股份有限公司 D. 若曲线C 表示焦点在 轴上的双曲线，则m 的取值范围为 10. 如图，在棱长为1 的正四面体ABCD 中，点M，N 分别为棱BC，AD 的中点．则（ ） A. B. C. 侧棱与底面所成角的余弦值为 D. 直线AM 与CN 所成角的余弦值为 11. 双曲线具有如下光学性质：如图 ， 是双曲线的左、右焦点，从右焦点 发出的光线m 交双曲线 右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n 的反向延长线过左焦点 ．若双曲线C 的方程为 ， 则（ ） A. 双曲线的 焦点 到渐近线的距离为 第4 页/共23 页 （北京）股份有限公司 B. 若 ，则 C. 当n 过点 时，光线由 所经过的 路程为8 D. 反射光线n 所在直线的斜率为k，则 12. 如图，已知正方体 的棱长为 ，点 分别为棱 的中点， 第4 页/共23 页 （北京）股份有限公司 ，则（ ） A. 无论 取何值，三棱锥 的体积始终为 B. 若 ，则 C. 点 到平面的 距离为 D. 若异面直线 与 所成的角的余弦值为 ．则 第Ⅱ卷（共90 分） 三、填空题（共4 个小题，每题5 分，共20 分） 13. 在空间直角坐标系中，已知 ， ， ，点 为线段 的中 点，则 ________． 14. 写出与圆 和圆 都相切的一条直线方程________．（写出一条即可） 15. “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在 同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C： 的 蒙日圆方程为 ，则椭圆C 的离心率为________． 16. 设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的离散曲率为： 第5 页/共23 页 （北京）股份有限公司 ，其中 为多面体M 的 所有与点P 相邻的顶点，且平面 ，平面 ， ，平面 和平面 遍历多面体M 的 所有以点P 为公共点的面，在长方体 中， ， ，点S 为底面 的中心，记三棱锥 在点A 处的离散曲率为 ，四棱锥 在点S 处的离散曲率 为n，则 ________． 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分，解答题应写出文字说明，推理证明或演算步骤） 第5 页/共23 页 （北京）股份有限公司 17. 已知圆C 与x 轴相切，圆心C 在直线 上，且与 轴正半轴相交所得弦长为 ． （1）求圆C 的方程； （2）过点 的直线交圆于C，于E，F 两点，且 ，求直线的方程． 18. 如图，圆柱轴截面ABCD 是正方形， ，点E 在底面圆周上， ，F 为垂足． （1）求证： ； （2）当直线DE 与平面ABE 所成角的正切值为 时，求三棱锥 的体积． 19. 已知圆M： ，点 ，P 是圆M 一动点，若线段PN 的垂直平分线与PM 交于点Q． （1）求点Q 的轨迹方程C； （2）若点A 是曲线C 上的动点，求 的最大值（其中O 为坐标原点）． 20. 已知双曲线C： 经过点 ，且双曲线C 的右顶点到一条渐近线的距离为 ． （1）求双曲线C 的方程； （2）过点P 分别作两条互相垂直的直线PA，PB 与双曲线C 交于A，B 两点（A，B 两点均与点P 不重合）， 设直线AB： ，试求 和 之间满足的关系式． 21. 如图，在三棱柱 中， 平面ABC， ， ， ，点D 是 第6 页/共23 页 （北京）股份有限公司 棱BC 的 中点． 第6 页/共23 页 （北京）股份有限公司 （1）求证： 平面 ； （2）在棱上AC 是否存在点M，其中 ，使得平面 与平面 所成角的大 小为60°，若存在，求出 ；若不存在，说明理由． 22. 已知椭圆C： 的右焦点为 ，点Q 为椭圆C 上任意一点，且 的最小 值为 ． （1）求椭圆的C 标准方程； （2）设椭圆 ： ，过点Q 作椭圆C 的切线交椭圆 于M，N 两点，求证： （O 为 原点）的面积为定值，并求出此定值． （注：在椭圆C： 上一点 的切线方程为 ） 第7 页/共23 页 （北京）股份有限公司 高二数学试题 第Ⅰ卷（共60 分） 一、选择题（本大题共8 个小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合要求的） 【1 题答案】 【答案】C 【2 题答案】 【答案】C 【3 题答案】 【答案】B 【4 题答案】 【答案】D 【5 题答案】 【答案】D 【6 题答案】 【答案】D 【7 题答案】 【答案】B 【8 题答案】 【答案】A 二、多选题（本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的不得分） 【9 题答案】 【答案】ACD 【10 题答案】 【答案】BC 第8 页/共23 页 （北京）股份有限公司 【11 题答案】 【答案】ABD 【12 题答案】 【答案】AB 第8 页/共23 页 （北京）股份有限公司 第Ⅱ卷（共90 分） 三、填空题（共4 个小题，每题5 分，共20 分） 【13 题答案】 【答案】 【14 题答案】 【答案】 （填 ， 都正确）. 【15 题答案】 【答案】 ## 【16 题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分，解答题应写出文字说明，推理证明或演算步骤） 【17 题答案】 【答案】（1） （2） 或 【18 题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【19 题答案】 【答案】（1） （2） 【20 题答案】 第9 页/共23 页 （北京）股份有限公司 【答案】（1） （2） 【21 题答案】 【答案】（1）见解析 （2）存在， 【22 题答案】 第9 页/共23 页 （北京）股份有限公司 【答案】（1） ； （2）证明见解析，定值为10.