浙江省台州山海协作体2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题

绝密★考试结束前 2022 学年第一学期台州山海协作体期中联考 高二年级数学学科试题 命题：黄岩第二高级中学 天台平桥中学 考生须知： 1．本卷共5 页满分150 分，考试时间120 分钟。 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。 4．考试结束后，只需上交答题纸。 选择题部分 一、选择题：（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 1．在直角坐标系中，直线 的倾斜角为（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．圆 的圆心坐标和半径分别是（ ） A． ，3 B． ，3 C． ， D． ， 3．从0，1，2，3，4 这5 个数字中，任取两个不同的数字组成一个两位数，则组成的数是奇数的概率为（ ） A． B． C． D． 4．已知实数m，则“ ”是“曲线 表示椭圆”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在正方体 中，P 为 的中点，则直线PC 与 所成的角余弦值为（ ） A． B． C． D． 6．已知 ， ，圆C： ，若圆C 上存在点M，使 ，则 圆C 的半径R 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知点P 是棱长为1 的正方体 的底面 上一点（包括边界），则 的最 大值为（ ） A． B． C．1 D． 8．已知O 为坐标原点，P 是椭圆E： 上位于第一象限内的点，F 为右焦点．延长 PO，PF 交椭圆E 于Q，R 两点， ， ，则椭圆E 的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分） 9．已知直线l 经过点 和 ，则下列说法正确的是（ ） A．直线l 在两坐标轴上的截距相等 B．直线l 的斜率为1 C．原点到直线l 的距离为 D．直线l 的一个方向向量为 10．设A，B 为两个随机事件，若 ， 下列命题中，正确的是（ ） A．若A，B 为互斥事件， B． C．若 ，则A，B 为相互独立事件 D．若A，B 为相互独立事件，则 11．设椭圆 的右焦点为F，直线l： 与椭圆交于A，B 两点，则下列说法正确的 是（ ） A． 为定值 B．△ABF 的周长的取值范围是 C．当 时，△ABF 为直角三角形 D．当 时，则椭圆上到直线l 的距离等于 的点有三个 12．如图，若正方体的棱长为1，点M 是正方体 的侧面 上的一个动点（含边界）， P 是棱 的中点，则下列结论正确的是（ ） A．沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为 B．若保持 ，则点M 在侧面 内运动路径的长度为 C．三棱锥 的体积最大值为 D．若点M 在 上运动，则 到直线PM 的距离的最小值为 非选择题部分 三、填空题：（本大题共4 小题，每题5 分，共20 分） 13．设空间向量 ， ，若 ，则 ________． 14．已知点 ，圆C： ，若过点M 的直线l 与圆C 相切，则直线l 的方程为__ ______． 15 ．如图所示，在四棱锥 中，底面ABCD 是边长为2 的正方形，侧棱 ，且 ，N 是CM 的三等分点（靠近M 点），则BN 的长为________． 16．已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 、 ，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E： 上任意一点，则 的取值范围为________． 四、解答题：（本大题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．已知直线 ： 与 ： 相交于点P． （1）若直线l 过点P 并且与直线 ： 垂直，求直线l 方程； （2）若直线l 过点P 并且与直线 ： 平行，求直线l 方程． 18．如图，在边长为2 的正方体 中，E 为 的中点． （I）求证： 平面 ； （II）求直线 与平面 所成角的正弦值． 19．甲、乙两人组成“星队”参加猜谜游戏，每轮活动由甲乙各猜一次，已知甲猜对的概率为 ，乙猜对的 概率为 ，甲乙猜对与否互不影响，每轮结果也互不影响． （1）求“星队”第一轮活动中只有1 人猜对的概率； （2）求“星队”在两轮活动中恰好猜对3 人次的概率． 20．已知直线l： 与圆C： 交于A、B 两点． （1）若 时，求弦AB 的长度； （2）设圆C 在点A 处的切线为 ，在点B 处的切线为 ， 与 的交点为Q．试探究：当m 变化时，点Q 是 否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由． 21 ．如图，在四棱台 中，底面ABCD 是正方形，若 ， ， ． （1）证明： 平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值． 22．已知椭圆C： 离心率为 ，焦距为 ． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）设不过原点O 的直线与椭圆C 交于A，B 两点，且 ，求△OAB 面积的取值范围． 2022 学年第一学期台州山海协作体高一期中联考 高二年级数学学科参考答案 选择题部分 一、选择题：（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 B D B A D A C B 二、选择题：（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分） 9 10 11 12 BCD AC ABD ABC 非选择题部分 三、填空题：（本大题共4 小题，每题5 分，共20 分） 13．5 14． 或 15． 16． 四、解答题：（本大题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．解方程组 得 （1）因为 ，直线l 与 垂直，所以 ，l 的方程为 （2）因为 ，直线l 与 平行，所以 ，l 的方程为 18．【详解】（1）方法一：几何法 如下图所示： 在正方体 中， 且 ， 且 ， ∴ 且 ，所以，四边形 为平行四边形，则 ， ∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ； （2）以点A 为坐标原点，AD、AB、 所在直线分别为x、y、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ， 设正方体 的棱长为2 ，则 、 、 、 ， ， ， 设平面 的法向量为 ，由 ，得 ， 令 ，则 ， ， 求得平面平面 的法向量 ， 又∵ ，∴ ， ∴直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 19．设甲猜对为事件A，乙猜对为事件B， （1）事件 ，则 ∴ （2） 20．【解析】（I）点C 到直线的距离 ∴ （2）设点 ，由题意得：Q、A、B、C 四点共圆， 且圆的方程为： ， 与圆C 的方程C： 联立， 消去二次项得： ， 即为直线l 的方程，因为直线l： 过定点 ， 所以 ，解得： ， 所以当m 变化时，点Q 恒在直线 上． 21．【解析】（I）在梯形 中，过点B 作 于M，过点 作 于N 设 ，则 ，由 得 ， 解得 ，∴ ，即 ∵ ， ∴ 平面 （2）由底面ABCD 是正方形，则 ， 由（1）知：面 面ABCD，面 面 ，而 面ABCD， 所以 面 ，过D 作 于G，连接AG，则 面ADG， 故面 面 ，面 面 ， 面 ， 所以 面ADG，又 面ADG，则 ， 因此∠AGD 为二面角 的一个平面角， 在直角△ADG 中， ， ， 则 ， 所以 ，即平面 与平面 夹角的余弦值， ． 方法二：建系写出相应坐标 平面 的法向量为 ， 平面 的法向量为 ， 22．【答案】 （1）∵ ， ，∴ ∴ ，∴椭圆方程为： （2）由题意得，设直线方程为 （ ， ）， ， ，消y 得 则 ， ， ∵ ，∴ ∴ ，∵ ，∴ 又∵ ∴ 且 设原点到直线的距离为 ∴