浙江省宁波市镇海中学2019-2020学年高二上学期期末考试 数学

镇海中学2019 学年第一学期期末考试 高二年级数学试卷 第Ⅰ卷（选择题共40 分） 一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是（ ） A. 对于任意事件A 和B，都有 B. 若A，B 为互斥事件，则 C. 在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的 D. 在大量重复试验中，概率是频率的稳定值 【答案】D 2. 设 在 处可导，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 3. 从甲、乙等9 人中随机选出4 人，则甲、乙均被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 4. 设函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 5. 从1，2，3，4，5，6，7 中任取两个不同的数，则取出的两个数之和小于8 的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 6. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 7. 复数 （ ）在复平面上对应的点不可能位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 8. 已知定义在R 上的连续函数 是偶函数，其导函数为 .当 时，恒有 成立.设 ，则a，b，c 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 9. 将12 个相同的小球分给甲、乙、丙三个人，其中甲至少1 个，乙至少2 个，丙至少3 个，则 共有（ ）种不同的分法. A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 【答案】C 10. 已知函数 ， ，若 ，其中 ， 的最大值 为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 第Ⅱ卷（非选择题共110 分） 二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分. 11. 已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为______；如果 曲线 的某一切线与直线 垂直，则切点坐标为______. 【答案】 ①. ②. 或 12. 已知 是z 的共轭复数，若 ， （其中i 为虚数单位），则z 的虚部为__ ____， ______. 【答案】 ①. ②. 13. 若 ，则 ______， ______. 【答案】 ①. ②. 14. 某班4 名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，若规定每人限报一门，共有______种不 同的报名情况；若每人至少选报一门，且每门恰有2 名学生报名的不同情况有______种. 【答案】 ①. ②. 15. 被19 除所得的余数为______. 【答案】 16. 一个含有6 项的数列 满足 （ ），且 ， 则符合这样条件的数列 共有______个. 【答案】 17. 若关于x 的不等式 对任意实数 恒成立，则实数a 的最小值为____ __. 【答案】 三、解答题：本大题共5 小题，共74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 已知复数z 满足 ，且z 的实部为2. （1）求z； （2）已知复数w 满足 ，求w. 【答案】（1） （2） 19. 已知 （ ）的展开式中，它的二项式系数和与各项系数和之比是512. （l）求此展开式中的有理项？ （2）求此展开式中系数的绝对值最大的项. 【答案】（1）见解析（2）见解析 20. 已知函数 ，若 的最小值为 . （1）求实数m 的值： （2）若 ，讨论关于x 的方程 的解的个数. 【答案】（1）（2）见解析 21. 某电影院一排有10 个座位，现有4 名观众就座. （1）若4 名观众必须相邻，则不同的 坐法有多少种？ （2）若4 名观众中恰有两人相邻，则不同的坐法有多少种？ （3）若4 名观众两两不相邻，且要求每人左右两边至多只有2 个空位，则不同的坐法有多少种？ 【答案】（1）168（2）2520（3）432 22. 已知函数 . （1）求函数 的单调递减区间； （2）若关于x 的不等式可 对于任意 成立，求实数a 的取值范围； （3）证明： . 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，解不等式即可得到单调递减区间； （2）将导函数代入后参变分离，构造函数，利用导数研究单调性求得最值即可； （3）先证不等式 ，即得 ，则 ，即可得到 ，再证 ，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，得 ， 令 ，即 ，解得 ， 所以，函数 的单调递减区间为 . （2）由（1）得 ，则不等式 转化为 ，即 对任意 成立， 令 ， ，则 ， 当 时， ；当 时， ， 所以， 在 时取最大值，此时 ，即 故实数a 的取值范围为 . （3）先证： ，对任意 恒成立，令 ， ， 则 恒成立，即 在 上单调递减， 所以， ，又 ， 所以， ， 即 对任意 恒成立， 所以，对任意 ，总有 ， 则 ， 当 时， 成立 先证当 时 ，即证 ，即证 ， 又 ，则 ，即证 ， 而 ，而 显然成立， 即 成立， 所以，当 时， ， 即 . 综上：