重庆市主城区七校2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题

1 （北京）股份有限公司 2022—2023 学年（上）期末考试 高2024 届数学试题 考试说明：1.考试时间：120 分钟 2.试题总分：150 分 3.试卷页数：4 页 一、单选题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1．已知等差数列 的前n 项和为 ，且 ， ，则 （ ）． A．90 B．80 C．60 D．30 2．若 ， ，则 等于（ ） A．5 B． C．7 D． 3．已知抛物线 的焦点为 , 则 为（ ） A． B． C． D． 4．已知点 在双曲线 上，若 两点关于原点对称， 过右焦 点 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．等比数列 为递减数列，若 ， ，则 （ ） A． B． C． D．6 6．已知各棱长均为1 的四面体ABCD 中， E 是AD 的中点，P∈直线CE，则|BP|＋| DP|的最小值为（ ） 2 （北京）股份有限公司 A．1＋ B． C． D． 7．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于 自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1 所示的分形规律，可得如图2 所示的一个树形图．若记图2 中第n 行黑圈的个数为an，则a7=（ ） A．110 B．128 C．144 D．89 2 （北京）股份有限公司 8．设椭圆的方程为 ，斜率为k 的直线不经过原点O，且与椭圆相交于A，B 两 点，M 为线段AB 的中点，下列结论正确的是（ ） A．直线与OM 一定不垂直； B．若直线方程为 ，则 . C．若直线方程为 ，则点M 坐标为 D．若点M 坐标为 ，则直线方程为 二、多选题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分） 9．已知动直线 与圆 ，则下列说法正确的是（ ） A．直线过定点 B．圆 的圆心坐标为 C．直线与圆 的相交弦的最小值为 D．直线与圆 的相交弦的最大值为4 10．已知椭圆 与双曲线 ，下列关于两曲线的说 法正确的是（ ） A． 的长轴长与 的实轴长相等 B． 的短轴长与 的虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率不相等 11．已知数列 的前 项和为 ， ， ，数列 的前 项和 为 ，那么下列选项正确的是（ ） A．数列 是等比数列 B．数列 的通项公式为 C． D． 12．已知 为正四棱柱，底面边长为2，高为4，E，F 分别为 的中点．则下列说法错误的是（ ） A．直线 与平面 所成角的正弦值为 B．平面 平面 3 （北京）股份有限公司 C．直线EF 被正四棱柱的外接球截得的弦长为 D．以D 为球心， 为半径的球与侧面 的交线长为 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13.以(1,3)为圆心，且与直线x+2 y+8=0相切的圆的标准方程是___________________. 14.线段AB,其中A(2,5),B(5,1)，过定点P(1,2)作直线l与线段相交，则直线l的斜率的 取值范围是___________. 15.数列{an}满足下列条件：a1=1,且∀n∈N ∗,恒有a2n=an+n−1,则a256=¿__________. 16.圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆 的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等 效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E（如右图）是由椭圆C1: x 2 8 + y 2 4 =1 和双曲线 C2: x 2 3 −y 2=1 3 （北京）股份有限公司 在y 轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆C1上一点P0出发，经过点F2，然后在曲线E 内多次反射，反射点依次为P1, P2, P3, P4,…若P0, P4重合，则光线从P0到P8所经过的路 程为 _________. 四、解答题（本题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10 分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=5，S6=0. （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最大值. 18.（12 分）已知点D(−2,2),直线l:ax−2 y+3=0圆C : x 2+ y 2−2 x−6 y+5=0. （1）若连接点D与圆心C的直线与直线l垂直，求实数a的值； （2）若点P为x轴上一动点，求|PC|+¿ PD∨¿的最小值，并写出取得最小值时点P的坐 标. 19. （12 分）在棱长为2 的正方体ABCD−A ' B' C ' D'中，M , N ,O , P分别为 BC ,C C ' ,C ' D ' , AA '的中点. （1）求证：MO∥平面BDD ' （2）求异面直线BN与P B'所成角的余弦值. 4 （北京）股份有限公司 20.（12 分）已知数列{an}的前n项和Sn满足条件2Sn+3=3an，其中n∈N ∗. （1）求{an}的通项公式 （2）设数列满足bn=logan3，又b1b3+b2b4+…+bnbn+2<M，对一切n∈N ∗恒成立，求 M的取值范围. 21. （12 分）已知四棱锥P−ABCD（如图），四边形ABCD为正方形，面 PAB⊥ ABCD 面 , PA=PB=AB=2,M为 AD 中点. （1）求证:PC ⊥BM; （2）求直线PC与平面PBM所成角的余弦值. 22.（12 分） 椭圆 的两焦点分别为 ， ，椭圆与 轴正 半轴交于点 ， . （1）求曲线 的方程； （2）过椭圆 上一动点 （不在x 轴上）作圆 的两条切线 ，切 点分别为 ，直线 与椭圆 交于 两点，求 的面积 的取值范围.