湖北省武汉市江汉区2023-2024学年高二上学期新起点摸底考试数学试题

高二数学试卷 第１ 页( 共４页) 江汉区２ ０ ２ ２级高二新起点摸底考试 数学试卷 江汉区教研培训中心命制 ２ ０ ２ ３ ． ８ ． ２ ８ 本试卷共４页, ２ ２题.全卷满分１ ５ ０分.考试用时１ ２ ０分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项: １ ． 答题前, 先将自己的姓名、 准考证号填写在试卷和答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答 题卡上的指定位置. ２ ． 选择题的作答: 每小题选出答案后, 用２ B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在 试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. ３非选择题的作答: 用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、 草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效. ４ ． 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并上交. 一、 选择题( 本大题共８小题, 每小题５分, 共４ ０分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的, 请将正确答案填涂在答题卡上． ) １ ． 已知集合A＝{ x | ０ ≤ x≤ ３ } , B＝{ x | x ２－ x－ ２ ＜ ０ } , 则A∩B＝( ) A． [ ０ , １ ) B ． ( － １ , ３ ] C． ( ２ , ３ ] D． [ ０ , ２ ) ２ ． 若复数z 的虚部小于０ , 且z ２＝－ １ , 则z １ － z ( ) ＝( ) A． １ ＋ i B ． １ － i C． － １ ＋ i D． － １ － i ３ ． 某中学高三年级共有学生６ ０ ０人, 为了解他们的视力状况, 用分层抽样的方法从中抽取一个容 量为２ ０的样本, 若样本中共有女生１ １人, 则该校高三年级共有男生( ) 人 A． ２ ８ ５ B ． ２ ７ ０ C． ３ １ ５ D． ３ ３ ０ ４ ． 已知a＝ l o g ０ ． ３ ０ ． ７ , b＝ ０ ． ７ －０ ． ３, c＝ l o g ７ ３则( ) A． a＜ c＜ b B ． c＜ a＜ b C． c＜ b＜ a D． a＜ b＜ c ５ ． 已知向量a＝( ３, ３ ) , b＝( １ , ０ ) , 则向量a 在向量b 上的投影向量为( ) A． － ３ b B ． ３ b C．３ b D． －３ b ６ ． 著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家, 他曾言: 勤学如春起之苗, 不见其增, 日有所长; 辍学如 磨刀之石, 不见其损, 日有所亏． 今天, 我们可以用数学观点来对这句话重新诠释, 我们可以把“ 不 见其增” 量化为每天的“ 进步率” 都是１ ％, 一年后是 １ ． ０ １ ３ ６ ５; 而把“ 不见其损” 量化为每天的“ 落后 率” 都是１ ％, 一年后是 ０ ． ９ ９ ３ ６ ５． 可以计算得到, 一年后的“ 进步” 是“ 落后” 的１ ． ０ １ ３ ６ ５ ０ ． ９ ９ ３ ６ ５≈１ ４ ８ １倍． 那 么, 如果每天的“ 进步率” 和“ 落后率” 都是２ ０ ％, 要使“ 进步” 是“ 落后” 的１ ０ ０ ０倍, 大约需要经过 ( l g ２ ≈ ０ ． ３ ０ １ , l g ３ ≈ ０ ． ４ ７ ７ ) ( ) A． １ ７天 B ． １ ９天 C． ２ １天 D． ２ ３天 {#{QQABBYiAogAIQBBAABgCQQ2QCAAQkBECAAgOAAAAIAABiRFABAA=}#} 高二数学试卷 第２ 页( 共４页) ７ ． 若函数f( x) ＝ c o s ( ω x＋π ６) ( ω＞ ０ ) 在( ０ , π ６) 有最小值无最大值, 则ω 的取值范围是( ) A． [ ５ , １ １ ) B ． ( ２ , １ ４ ] C． [ ２ , １ ４ ) D． ( ５ , １ １ ] ８ ． 在三棱锥P－A B C 中, 底面A B C 为等腰三角形, ∠A B C＝ １ ２ ０ °, 且A C＝P A, 平面P A C⊥平面 A B C, P A⊥B C, 点Q 为三棱锥P－A B C 外接球O 上一动点, 且点Q 到平面P A C 的距离的最 大值为１ ＋ ７, 则球O 的表面积为( ) A． ７ π B ． １ ４ π C． ２ ８ π D． ３ ５ π 二、 选择题: 本题共４小题, 每小题５分, 共２ ０分． 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求． 全 部选对的得５分, 部分选对的得２分, 有选错的得０分． ９ ． 已知m、 n 是两条不同直线, α、 β 是两个不同平面, 则下列命题错误的是( ) A． 若α∥ β, m⊂ α, n⊂ β, 则m∥ n B ． 若m∥ n, n⊂ α, 则m∥ α． C． 若α⊥ β, m⊂ α, 则m⊥ β D． 若m∥ α, m⊥ β, 则α⊥ β． １ ０ ． 下列四个结论中正确的是( ) A． 命题“ ∀ x∈R, ３ x ２－ ２ x－ １ ＜ ０ ” 的否定是“ ∃ x ０∈R, ３ x ０ ２－ ２ x ０－ １ ＞ ０ ” B ． 设a, b∈R, 则“ a ２＞ b ２” 的充分不必要条件是“ a＞ b” C． 若“ ∃ x ０∈R, x ０ ２－ ２ x ０－ a＜ ０ ” 为假命题, 则a≤－ １ D． 若函数f( x) ＝ x ２－ ２ x＋ ４在区间０ , m [ ] 上的最大值为４ , 最小值为３ , 则实数m 的取值范 围是１ , ２ [ ] １ １ ． 在△A B C 中, A B＝ １ , B C＝ ２ , 则角C 的可能取值为( ) A． π ８ B ． π ６ C． π ４ D． π ３ １ ２ ． 摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑, 如武汉东湖的“ 东湖之眼” 摩天轮, 如图所示, 某摩天 轮最高点离地面高度５ ５米, 转盘直径为５ ０米, 设置若干个座舱, 游客从离地面最近的位置进 舱, 开启后按逆时针方向匀速旋转t 分钟, 当t＝ １ ０时, 游客随舱旋转至距离地面最远处． 以下 关于摩天轮的说法中, 正确的为( ) A． 摩天轮离地面最近的距离为５米 B ． 若旋转t分钟后, 游客距离地面的高度为h 米, 则h＝－ ２ ５ c o s π １ ０ t æ è ç ö ø ÷ ＋ ３ ０ C． 存在 t １, t ２∈０ , １ ５ [ ] , 使得游客在该时刻距离地面的高度均为２ ０米 D． 若在 t １, t ２时刻游客距离地面的高度相等, 则 t １＋ t ２的最小值为２ ０ {#{QQABBYiAogAIQBBAABgCQQ2QCAAQkBECAAgOAAAAIAABiRFABAA=}#} 高二数学试卷 第３ 页( 共４页) 三、 填空题: 本题共４小题, 每小题５分, 共２ ０分． １ ３ ． 有一组按从小到大顺序排列的数据: ３ , ５ , x, ８ , ９ , １ ０ , 若其极差与平均数相等, 则这组数据的中 位数为 ． １ ４ ． 若s i n α＝ ２５ ５, 则s i n３ π ２＋ ２ α æ è ç ö ø ÷ ＝ ． １ ５ ． 已知 l o g ３ a＋ l o g ３ b＝ l o g ３( a＋ ２ b) , 则 l o g ３( ２ a＋ b) 的最小值为 ． １ ６ ． 设函数f( x) ＝e x－１＋e １ － x ＋x ２－２ x, 则使得f( ２ x) ＜f x＋ ３ ( ) 成立的x 的取值范围是 ． 四、 解答题: 本题共６小题, 共７ ０分． 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． １ ７ ． ( １ ０分) 已知向量a, b 满足 | a | ＝３, | b | ＝ １ , | a＋ b | ＝ １ ． ( １ ) 求c o s ＜ a, b＞; ( ２ ) 若B A →＝ a, C A →＝ b, 求 | B C → | ． １ ８ ． ( １ ２分) 甲、 乙、 丙三人各自独立地破译某密码, 已知甲、 乙都译出密码的概率为１ ２ ０ , 甲、 丙都译出密码 的概率为１ ２ ４ , 乙、 丙都译出密码的概率为１ ３ ０ ． ( １ ) 分别求甲、 乙、 丙三人各自译出密码的概率; ( ２ ) 求密码被破译的概率． １ ９ ． ( １ ２分) 已知函数f x ( ) ＝ c o s ( x－π ６) s i n x＋ s i n ( x－π ６) c o s x． ( １ ) 求f x ( ) 的最小正周期和对称中心; ( ２ ) 在锐角△A B C 中, 角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 若f A ( ) ＝ １ , 求 b＋ c a 的取值范围． ２ ０ ． ( １ ２分) 如图, 在三棱柱A B C－A１ B １ C １中, B C⊥平面A A１ C １ C, A１ C⊥A１ C １, A１ B＝A B． ( １ ) 求A１ A 与平面A B C 所成的角; ( ２ ) 若C C １＝ C B＝ ６ , 求四棱锥A１－B B １ C １ C 的体积． {#{QQABBYiAogAIQBBAABgCQQ2QCAAQkBECAAgOAAAAIAABiRFABAA=}#} 高二数学试卷 第４ 页( 共４页) ２ １ ． ( １ ２分) 某学校为了了解老师对“ 民法典” 知识的认知程度, 针对不同年龄的老师举办了一次“ 民法典” 知识竞答, 满分１ ０ ０分( ９ ５分及以上为认知程度高) , 结果认知程度高的有m 人, 按年龄分成５组, 其中第一组: [ ２ ０ , ２ ５ ) , 第二组: [ ２ ５ , ３ ０ ) , 第三组: [ ３ ０ , ３ ５ ) , 第四组: [ ３ ５ , ４ ０ ) , 第五组: [ ４ ０ , ４ ５ ] , 得到 如图所示的频率分布直方图, 已知第一组有１ ０人． ( １ ) 根据频率分布直方图, 估计这m 人年龄的第７ ５百分位数; ( ２ ) 现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取４ ０人, 担任“ 民法典” 知识的宣传使者． ①若有甲( 年龄２ ３ ) , 乙( 年龄４ ３ ) 两人已确定入选宣传使者, 现计划从第一组和第五组被抽到 的使者中, 再随机抽取２名作为组长, 求甲、 乙两人恰有一人被选上的概率; ②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为３ ６和１ , 第五组宣传使者的年龄的平均数 与方差分别为４ ２和２ , 据此估计这m 人中３ ５ ~ ４ ５岁所有人的年龄的方差． ２ ２ ． ( １ ２分) 在平行四边形A B C D 中, A B ＝２ A D ＝４ , A D ⊥D B, 如图甲所示, 作D E ⊥A B 于点E, 将 △A D E 沿着D E 翻折, 使点A 与点P 重合, 如图乙所示． 图甲 图乙 ( １ ) 设平面P E B 与平面P D C 的交线为l, 判断l与C D 的位置关系, 并证明; ( ２ ) 当四棱锥P－B C D E 的体积最大时, 求二面角P－B C－D 的正弦值; ( ３ ) 在( ２ ) 的条件下, G、 H 分别为棱D E, C D 上的点, 求空间四边形P GHB 周长的最小值． {#{QQABBYiAogAIQBBAABgCQQ2QCAAQkBECAAgOAAAAIAABiRFABAA=}#}