云南省玉溪市一中2021-2022学年高二上学期期中考试数学（理）试题

玉溪一中2021—2022 学年上学期高二年级期中考 理科数学试卷 总分：150 分 考试时间：120 分钟 命题人：飞超 审题人：张丹 一、单项选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1．某试验 的样本空间 ，事件 ，事件 ，则事件 A． B． C． D． 2．已知复数 满足 ，其中是虚数单位，则在复平面内 对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列函数为奇函数的是 A． B． C． D． 4．若直线 与直线 平行，则两条直线之间的距离为 A． B． C． D． 5．已知在平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长均为1，且它们彼 此的夹角都是 ，则 的长为 A．6 B． C． D． 6．在平面直角坐标系 中，直线的倾斜角为 ，直线的方向向量为 ，已知 ， 则 的坐标可以是 A． B． C． D． 7．已知直线经过点 ，且 是的方向向量，则点 到的距离 为 A． B． C． D． 8．某校为了解高二年级学生某次数学考试成 绩的分布情况，从该年级的1120 名学生中随 机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在 内，现将这100 名学生的成绩按照 ， ， ， ， ， ， 分组后，得 到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是 A．频率分布直方图中 的值为0.040 B．样本数据低于130 分的频率为0.3 C．总体的中位数（结果保留1 位小数）估计值为123.3 D．总体分布在 的频数一定与总体分布在 的频数相等 9．已知函数 ,若方程 有3 个根，则实数 的取值 范围是 A． B． C． D． 10．在三棱锥 中， 平面 ， 为正三角形，且 ， ， 则三棱锥 的外接球的表面积为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共2 小题，每小题5 分，共10 分.在每小题给出的四个选项中， 有多项是符合题目要求的，全部选对得5 分，有错选得0 分，部分选对得3 分． 11．为了得到曲线 ，只需把曲线 上所有的点 A．先向右平移 个单位长度，再将所得曲线上每个点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标 不变） B．先向右平移 个单位长度，再将所得曲线上每个点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐 标不变） C．横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），再将所得曲线向右平移 个单位长度 D．横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），再将所得曲线向右平移 个单位长度 12．在空间直角坐标系 中，平面 内任意一点 满足条件 ， 且平面 的法向量为 ，直线过点 ，且直线的方向向量为 ，则下列说法正确 的是 A．平面 与 轴的交点为 B．设 ，则 C．若 ，则对任意点 ，都有 D．若 ，则 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．已知直线 恒过定点 ，则点 坐标为 ． 14．一个袋子中有2 个白球，3 个黑球，采用不放回方式从中依次随机地取出2 个球，则 第二次取到白球的概率为 ． 15．经过点 作直线，若直线与连接 两点的线段总有公共点， 则的倾斜角 的取值范围是 ；的斜率 的取值范围是 ． 16．已知柯西不等式的向量形式为：设 是两个向量，则 ，当且仅当 时，等号成立．若将 和 代入 ，计算化简可得 三维形式的柯西不等式： ，当且仅当 时，等号成立．若已知 ，根据三维形式的柯西不等式可求得 的最 小值为 ． 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤． 17．（本小题满分10 分）已知 的三个顶点是 ， ， ，求： （1）边 上的中线所在直线的一般式方程； （2）边 上的高所在直线的一般式方程． 18．（本小题满分12 分）某市为了解疫情过后制造业企业的复工复产情况，随机调查了 100 家企业，得到这些企业4 月份较3 月份产值增长率 的频数分布表如下： 的分组 企业数 10 40 40 10 （1）估计该市制造业企业中产值增长率不低于 的企业比例及产值负增长的企业比例； （2）求该市制造业企业产值增长率的平均数与方差的估计值（同一组中的数据用该组区 间的中点值为代表）． E G F C D B A D1 C1 B1 A1 19．（本小题满分12 分）如图，正方体 的棱长为 ，点 ， ， 分别为 ， ， 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）求证： 平面 ． 20．（本小题满分12 分）垃圾分类（Garbage classification），一般是指按一定规定 或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分 类具有社会、经济、生态等多方面的效益．小明和小亮组成“明亮队”参加垃圾分类有奖 答题活动，每轮活动由小明和小亮各答一个题，已知小明每轮答对的概率为 ，小亮每轮 答对的概率为 ，且在每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． 已知一轮活动中，“明亮队”至少答对1 道题概率为 ． （1）求 的值； （2）求“明亮队”在两轮活动中答对3 道题的概率． 21．（本小题满分12 分）在如图所示的几何体中，四边形 为矩形，平面 平面 ， ， ， ， ，点 在线段 上． （1）若 是 的中点，求异面直线 与 所成角的余弦值； （2）是否存在点 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 ？ P F E D C B A 若存在，求 的长度；若不存在，请说明理由． 22．（本小题满分12 分）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三 角形地按如图规划成3 个功能区： 区域为荔枝林和放养走地鸡， 区域规划 为“民宿”供游客住宿及餐饮， 区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见， 在鱼塘 周围筑起护栏．已知 ， ， ， ． （1）若 ，求护栏的长度（ 的周长）； （2）若鱼塘 的面积是“民宿” 的面积 的 倍，求 的长； （3）鱼塘 的面积是否有最小值？若有，请求 出其最小值；若没有，请说明理由． 玉溪一中2021—2022 学年上学期高二年级期中考 理科数学试卷参考答案 一、单项选择题： C D D A B D B C C A 二、多项选择题： AD ACD 三、填空题： 13． 14． 15． ； . 16． 四、解答题： 17．解：（1） 边的中点 ，又∵直线过点 ，∴ 所求直线的斜率 C A M N B ,方程为： ，即 ......5 分 （2）∵直线 的斜率为 ，所以边 上的高所在的直线的斜率为 ，又∵直线 过点 ，∴所求直线的方程为 ，即 ......10 分 18．（1）制造业企业中产值增长率不低于 的企业比例为 ，产值负 增长的企业比例 ，所以，估计该市制造业企业中产值增长率不低于 的企业比例为 ，产值负增长的企业比例为 ......4 分 （2）100 家制造业企业产值增长率的平均数为 ，......7 分 方差为 ......11 分，所以该市制造业企业产值增长率的平均数与方差的估计值分别为 和 ......12 分 19．解：法一、（1）取 中点 ，连结 ， ，因为 ， 且 ， ，所以 ， ，所以四边形 为平行四边 形，所以 ，又因为 ， ，所以四边形 为平行四边形， 所以 ，从而 ，又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ......6 分 （2）点 ， 分别为 ， 的中点，在正方形 中，可得 ，所 以 ，设 ，因为 ，所以 ，即 中， ，所以 ，即 ，因为 ，所以 .又因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ，所以 平面 ......12 分 法二、（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴， 为z 轴，建立空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ，所以 ， ，所以 ，所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ......6 分 （2） ， ，所以 ，因为 ， ，所以 ， ，所以 ， ，又因为 ，所以 平面 ......12 分 20．解：（1）设 “一轮活动中小明答对一题”， “一轮活动中小亮答对一题”， 则 ， .设 “一轮活动中，“明亮队”至少答对的1 道题”，则 ，由于每轮答题中小明和小亮答对与否不影响，所以 与 相互独立，从而 与 相互独立，所以， .所以 ...4 分 （2）设 “两轮活动中小明答对了道题”， “两轮活动中小亮答对了道题”， ，1，2.由题意得， ， ， ， .......8 分，设 ““明亮队”在两轮活动中 答对3 道题”，则 .由于 和 相互独立， 与 互斥，所以 . 所以，“明亮队”在两轮活动中答对3 道题的概率为 .......12 分 21．（1）因为 ，所以 ， 因为 平面 ⊥平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 因为四边形 为矩形，所以以 为坐标原点， 分别为 轴，建立如图所示空间直 角坐标系 .......2 分，所以 ， ， ， ， ， 所以 ， ，所以 ，即异面直线 与 所成角的余弦值为 .5 分 （2）因为 平面 ，所以平面 的法向量为 ........6 分，设 ， 因为点 在线段 上，所以 ， ， ， ，所以 ， ，由 可得： ， ，所以 ，在平面 中， ， ，设平面 的法向量 ，则 ，令 ，则 ， 得平面 的 法向量为 ...8 分，假设存在满足条件的点 ，则 ， 所以 解得 ，或 （舍去）. ∴ ，.... 10 分∴ ． 所 以，存在点 使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，且 的长度为 ...12 分 22．解：（1）∵ ， ， ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，在 中，由余弦定理可得 ，则 ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴护栏的长度（ C A M N B 的周长）为 ；...4 分 （2）设 （ ），因为鱼塘 的面积是“民宿” 的面积 的 倍，所以 ，即 ， ，由三角形外角定理可得 ，在 中，由 ，得 ，从而 ，即 ，由 ，得 ，所以 ，即 . 中， ，由 可得 ....8 分 （3）鱼塘 的面积有最小值，理由如下：设 ，由（2）知 ， ， 中，由外角定理可得 ,又在 中，由 ，得 ，所以 ，所以当且仅当 ， 即 时， 的面积取最小值为 ........12 分