2022-2023学年云南省玉溪市一中高二上学期上月期中考试数学试题Word版含答案

11 玉溪一中2022—2023 学年上学期高二年级期中考 数学学科试卷 总分：150 分 考试时间：120 分钟 命题人：试题研究中心 审题人： 试题研究中心 注意事项： 1.答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、班级、准考证号、考场号、座位 号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 一、单选题：本题共8 小题,每小题5 分,共40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.设 , ,则 ( ) A. B. C. D. 2.若经过 ,B(m,1−m)两点的直线的倾斜角是 ,则 ( ) A. B. C. D. 3.若 构成空间的一个基底,则下列向量共面的是( ) A. , , B. , , C. , , D. , , 4.甲、乙两人独立地破译一份密码,已知各人能破译的概率分别是 , ,求密码被成功破 译的概率( ) A. B. C. D. 5.已知 ,若 , , ,则( ) 12 A. B. C. D. 6.已知圆锥的表面积为 ,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥底面的面积为( ) A. B. C. D. 7.已知圆 ,直线经过点 ,则直线l 被圆C 截得的最短弦长 为( ) A. B. C. D. 8.如图,平行六面体 的底面 是 菱形, ,且 , 则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4 小题,每小题5 分,共20 分。在每小题给出的四个选项中,有多项 是符合题目要求的,漏选得3 分,错选不得分。 9.某市为了考察一所高中全体学生参与第六届全国中小学生 “学宪法,讲宪法”宪法小卫士活动的完成情况,对本校2000 名学生的得分情况进行了统计, 按照[50,60 ）、 [60,70）、…、 [90,100]分成5 组,并绘制了如图所示的频率分布直方图, 下列说法正确的是 （ ） A．图中 的值为0.020 B．由直方图中的数据,可估计75%分位数是82 C．由直方图中的数据,可估计这组数据的平均数为77 D．90 分以上将获得金牌小卫士称号,则该校有20 人获得该称号 B C A D B' A' D' C' 13 10.已知 为任意实数,当 变化时,关于方程 的说法正确的 是（ ） A.该方程表示的直线恒过点 B. 当且仅当 时, 该方程表示的直线垂直于 轴C. 若直线 与 平行,则 D.若直线 与直线 垂直,则 11.已知函数 ,则（ ） A.函数 的最大值为 B.当 时, 的最小正周期为 C.若 是 的一条对称轴,则 D.若 在区间 内有三个零点,则 12.有很多立体图形都体现了数学的对称美,其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边 形围成的多面体,半正多面体因其最早由阿基米德研究发现,故也被称作阿基米德体.如图, 这是一个棱数为24,棱长为 的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上, 可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点 为 线段 上的动点（包含端点）,则下列说法正确的是（ ） A.该半正多面体的体积为 H G 14 B.当点 运动到点 时, C.当点 在线段 上运动时（包含端点）, 始终与 垂直 D.直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 三、填空题：本题共4 小题,每小题5 分,共20 分。 13.复数 的共轭复数是 .14.若向量 , 满足 , ,则 的最大值 为 . 15.设空间两个单位向量 , 与向量 的夹角的余弦 值都等于 ,则∠AOB= . 16.已知实数 满足 ,则 的最大值为 . 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题10 分）已知直线 （1）已知直线l3经过点P(1,2),且与l1垂直,求l3的方程; （2）在l1上任取一点A ,在l2上任取一点B ,连接AB ,取AB 靠B 三等分点C ,过点C 作 l1的平行线l4 ,求l2与l4 之间的距离. 18. （本小题12 分）在长方体ABCD−A ' B 'C ' D ' 中, ,P 为B' C 上的动点, （1）求证：D' P ∥平面 ; 15 （2）求A' B 与平面A ' B 'CD 所成角的正弦值. 19.（本小题12 分）在Δ ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a、b、c , 已知 （1）求角C ;当 c=1 2 ab,S=4√3, 求Δ ABC 的周长. 20.（本小题12 分）已知圆C : x2+ y2−2 y−2=0内有一点P (−1,1), 为过点P 且倾 斜角为α 的弦. （1）当 α=2π 3 时,求AB 的长; （2）若 为 的中点,求AB 所在直线l 的方程. 21.（本小题12 分）如图,在直三棱柱ABC−A ' B 'C ' 中,∠ABC=90° , AB=BC=A A'=a ,E ,F 分别是棱AB ,BC 上的动点; （1）当AE=BF 时,求证：A ' F⊥C ' E ; （2）已知F 为BC 中点时,线段AB 上是否存在点E ,使得平面B' EF 与平面BEF 夹角的 余弦值为 1 4 ,若存在,请确定点E 的位置,若不存在,请说明理由. 22.（本小题12 分）环保生活,低碳出行,电动汽车正成 为人们购车的热门选择.新能源汽车采用非常规的车用 燃料作为动力来源,目前比较常见的主要有两种：混合 动力汽车,纯电动汽车.为了提高生产质量,有关部门在国 道上对某型号纯电动汽车进行测试,国道限速80km/h , 16 经多次测试得到该汽车每小时耗电量M （单位：Wh ）与速度v （单位：km/h ）的数 据如下表所示： v M 为了描述国道上该汽车每小时耗电量M 与速度v 的关系,现有以下三种函数模型供选择： M1 (v )=300logav+ p （a>0, 且a≠1） M 2 (v )=1000( 2 3) v +q M3 (v )= 1 40 v3+bv2+cv，( p，q，b，c∈R)(1)当0≤v≤80 时, 请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（说明理由,并求所选函数模型的函数解 析式; (2)根据（1）中所得函数解析式,求解如下问题：现有一辆同型号电动汽车从 地驶到 地,前一段是160km的国道（汽车匀速行驶）,后一段是60km的高速路（汽车行驶速度不 低于80km/h ,匀速行驶）,若高速路上该汽车每小时耗电量 （单位：Wh）与速度 （单位：km/h ）的关系满足N (v )=2v2−10v−20 (80≤v≤120),则如何行使才能使得 总耗电量最少,最少为多少？ 玉溪一中2022—2023 学年上学期高二年级期中考 数学学科 参考答案 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B D B C A C D AC AB D AC D BCD 17 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 题号 13 14 15 16 答案 三、解答题：本大题共6 小题，共70 分。 （本小题10 分）（1 ）设直线l3的方程为：2 x−3 y+C=0 , 代入点P (1,2), 则有 2−6+C=0 ，C=4 , ∴l3:2 x−3 y+4=0;···················································· 5 分 l1:3 x+2 y+3=0⇔6 x+4 y+6=0∵l1∥l2 ,∴直线l1与直线l2之间的距离 d= |1−6| √62+42=5√13 26 , ∵点C 是线段AB 靠近点A 的三等分点, ∴l2与l4 之间的距离 d '=1 3 d=5√13 78 .······································ 10 分 18.（本小题12 分）（1）证：如图,连接B' D' 、D'C , 在长方体ABCD−A ' B 'C ' D ' 中,B B' ∥D D' 且B B'=D D' , ∴四边形DB { B ' D '¿为平行四边形,∴DB ∥D' B' , 又 ∵DB⊂平面A' BD ,D ' B '⊄平面A' BD , 18 ∴D' B' ∥平面A' BD ,同理B' C ∥平面A' BD , 又D ' B '∩B 'C=B ' ,∴平面A' BD ∥平面D ' B 'C , 又∵D' P⊂平面D ' B 'C ,∴D ' P ∥平面A' BD ;······························· 6 分 （2）如图，过点B 作BG⊥B' C 垂足为G , ∵A ' B '⊥¿ ¿平面BC {C ' B '¿,BG⊂平面BC {C ' B '¿,∴A ' B '⊥BG , 又∵A ' B '∩B 'C=B ' ,A' B' ⊂平面A ' B 'CD ,B 'C ⊂平面A ' B 'CD , ∴BG⊥¿ ¿平面A' B' CD , ∴∠G A ' B为直线A' B 与平面A ' B 'CD 所 成角, ∵BG⋅B'C=BC⋅B B' , ∴BG=2√5 5 ,又∵A ' B=2√5, ∴sin∠G A ' B= BG A ' B =1 5 .····················· 12 分 19.（本小题12 分）（1）解：由已知得角化边得 a2+b2−c2 bsinC =2√3 3 a , ∴a2+b2−c2 2ab =√3 3 sinC , ∴cosC=√3 3 sinC , ∴tanC=sinC cosC =√3 , 0<C<π , ∴C= π 3 ; ·································· 5 分 （2）解：由（1）得∴C= π 3 ,∴S=1 2 absinC=4√3,ab=16,,∴c=8, 19 又由余弦定理得c2=a2+b2−2abcosC , ∴(a+b)2−3ab=64 ,∴(a+b)2=112,a>0,b>0 ,∴a+b=4√7 , 所以周长为a+b+c=4√7+8 .············································ 12 分 20.（本小题12 分）（1）由题得圆的标准方程为x2+( y−1)2=3 , 所以圆心C 的坐标为(0,1) ,半径r=√3 , 当α=2π 3 时，直线AB 的斜率k=tan α=−√3 .所以直线AB 的方程为 y−1=−√3 (x+1),即√3 x+ y+√3−1=0. 圆心C 到直线AB 的距离d= |√3| √3+1 =√3 2 . 所以|AB|=2√r2−d2=2√3−3 4 =3.········································ 6 分 （2）由（1）知圆心C 的坐标为(0,1),P 为AB 中点时,CP⊥AB , ∵kCP=0,∴直线l 的斜率不存在, ∴直线l 的方程为x=−1.················································· 12 分 21.（本小题12 分）（1）证：如图，以B 为原点，分别以BC 、BA 、BB' 所在直 线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 设AE=m(0≤m≤a),则E (0,a−m,0),C' (a,0,a), A' (0,a,a),F (m,0,0), ∴⃗ A ' F=(m,−a,−a),⃗ C ' E=(−a,a−m,−a), ∴⃗ A ' F⋅⃗ C ' E=−ma−a2+am+a2=0,∴⃗ A ' F⊥⃗ C ' E, 20 ∴A ' F⊥C ' E ················ 5 分 （2）设 BE BA =λ ,其中0≤λ≤1,则 B (0,0,0),B ' (0,0,a),F( a 2 ,0,0), E (0, λa,0) ,故 ⃗ B ' E=(0, λa,−a),⃗ B ' F=( a 2 ,0,−a) , 设平面B' EF 的法向量为⃗ n=(x , y , z ) , 则{⃗ n⋅⃗ B ' E=λay−az=0¿¿¿¿ , 令x=2 λ ，得 ⃗ n=(2λ,1,λ), 平面BEF 为平面xOy ，所以平面BEF 的法向量可为⃗ m=(0,0,1) , 假设存在点E 满足条件,设平面BEF 与平面B' EF 的夹角为θ , 则 cosθ=| ⃗ n⋅⃗ m |⃗ n| ⋅ |⃗ m| |= |λ| √5 λ 2+1 =1 4 ,即 λ2= 1 11 , (0≤λ≤1) , ∴λ=√11 11 ,符合题意, 所以线段AB 上存在点E ,满足 BE BA =√11 11 使得平面B' EF 与平面BEF 夹角的余弦值为 1 4 . ·····································································12 分 22.（本小题12 分）（1）若选M1 (v )=300logav+ p ,则当v=0 时,该函数无意义,不合 题意. 若选 M 2 (v )=1000( 2 3) v +q ,显然该函数是减函数,这与M (40)<M (60) 矛盾,不合题意. 21 故选择 M 3 (v )= 1 40 v3+bv2+cv ,有表中数据得{ 1 40 ×40 2+b×40 2+c×40=4400¿¿¿¿ , 解得{b=−2¿¿¿¿,所以当0≤v≤80 时, M3 (v )= 1 40 v3−2v2+150v .················ 5 分 （2）由题可知该汽车在国道路段所用时间为 160 v (0≤v≤80)h ,所耗电量 f (v )=160 v ⋅M 3 (V )=160 v ⋅( 1 40 v3−2v2+150 v)=4 (v2−80 v+6000)=4 (v−40)2+17600 (0≤v≤80 所以当v=40 时,f (v )min=17600 . 该汽车在高速路段所用时间为 60 v (0≤v≤120)h, 所耗电量 g (v )=60 v ⋅N (v )=60 v ⋅ (2v2−10 v−20)=120(v−10 v )−600 (80≤v≤120), 已知g (v ) 在[80,120]上单调递增,所以 g (v )min=g (80)=120(80−10 80 )−600=8985. 故当该汽车在国道上行驶速度为40km/h ,在高速路上的行驶速度为80km/h 时,总耗电量 最少,最少为17600+8985=26585 (Wh).··································· 12 分