湖北省重点高中智学联盟2021-2022学年高二下学期5月联考数学试题（试卷版）

湖北省重点高中智学联盟2022 年春季高二年级5 月联考 数学试题 命题学校：鄂州高中 命题人：胡黎刚 审题人：肖安平 考试时间：2022 年5 月19 日下午3：00-5：00 试卷满分：150 分 一、单选题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 7 个相同的小球放入 ， ， 三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（ ）种不同的放法． A. 60 种 B. 36 种 C. 30 种 D. 15 种 3. 已知 表示变量 与 之间的线性相关系数， 表示变量 与 之间的线性相关系数，且 ， ，则（ ） A. 变量 与 之间呈正相关关系，且 与 之间的相关性强于 与 之间的相关性 B. 变量 与 之间呈负相关关系，且 与 之间的相关性强于 与 之间的相关性 C. 变量 与 之间呈负相关关系，且 与 之间的相关性弱于 与 之间的相关性 D. 变量 与 之间呈正相关关系，且 与 之间的相关性弱于 与 之间的相关性 4. 已知 为等差数列， 的前 项和为 ，则使得 达到最 大值时 是（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 5. 函数 在 内存在极值点，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平 面与PRQ 所在平面平行的是（ ） A . B. C. D. 7. 一批产品共10 件，次品率为20%，从中任取2 件，则恰好取到1 件次品的概率为( ) A. B. C. D. 8. 已知函数 ， .若存在 ， 使得 成 立，则 的 最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分） 9. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨 询、交通宣传这四个项目，每人限报其中一项，记事件 为“四名同学所报项目各不相同”，事件 为 “只有甲同学一人报关怀老人项目”，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. P ( A|B))= 1 16 10. 设等比数列 的公比为q，其前n 项和为 ，前n 项积为 ，并且满足条件 ， ， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 在 中，D，E，F 分别是边 ， ， 中点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若 ，则 是 在 的投影向量 D. 若点P 是线段 上的动点，且满足 ，则 的最大值为 12. 若实数 ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13. 某校1200 名高二学生参加一次数学考试，考生分数 服从正态分布 ，若分数在 内的概率为0.7，估计这次考试中分数不超过70 分的有___________人． 14. 已知某离散型随机变量 服从的 分布列如表，则随机变量 的方差 等于___________． 15. 下列关于回归分析的说法中错误的序号为_______ （1）残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高． （2）回归直线一定过样本中心点 ． （3）两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好． （4）甲、乙两个模型的 分别约为0.88 和0.80，则模型乙的拟合效果更好． 16. 已知 ，则 ___________． 四、解答题（本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 设数列的 前 项和为 ，已知 ， . （1）设 ， ，证明：数列 为等差数列； （2）求数列 的前 项和 . 18. 如图,在四棱锥 中, 平面 , 为线段 上一点不在端点. (1)当 为中点时， ，求证： 面 (2)当 为 中点时，是否存在 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在求出M 的坐标，若不存在，说明理由. 19. 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30 之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影 响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30 之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望； （Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30 之前到校的天数比乙同学在7：30 之前到校的 天数恰好多2”，求事件 发生的概率. 20. 已知函数 . （1）当 时，求的 极值点； （2）若 恒成立，求 的取值范围. 21. 已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ，点 是椭圆 上一点． （1）求椭圆 的标准方程； （2）若 为椭圆 上不同于 的两点，且直线 关于直线 对称，求证：直线 的斜率 为定值． 22. 已知函数 ， ． （1）求 在点P(1， )处的切线方程； （2）若关于x 的不等式 有且仅有三个整数解，求实数t 的取值范围； （3）若 存在两个正实数 ， 满足 ，求证： ．