内蒙古鄂尔多斯市第一中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学（文）试题

鄂尔多斯市第一中学2021-2022 学年高二上学期第一次月考 数学(文)试题 一、选择题(共12 小题，每题5 分，共60 分) 1.已知集合M={x|x2−5 x+4≤0，x∈Z},则集合M 中元素个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知等比数列{an}的公比为正数，若a3a9=2a 52，a2=2, 则a1＝（ ） A． 1 2 B． √2 2 C．√2 D．2 3.若a>b ，则下列不等式正确的是( ) A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．|a|>|b| 4.若 满足约束条件 则 的最小值为（ ） A．18 B．10 C．6 D．4 5．执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k 为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6.若数列{an}的通项公式是an=(−1)n(3n−2),则a1+a2+⋯+a10= （ ） A．15 B．12 C．﹣12 D．﹣15 7.已知函数 f ( x)=2sin(ωx−π 6 )(ω>0) 的部分图象如图所示， 则ω 的值可能为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 8.如图，D，C，B 在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C 两地测得A 点的仰 角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( ) A．10 m B．5 m C．5(－1) m D．5(＋1) m 9．已知数列{xn}满足 x1=1, x2=2 3 , 且 1 xn−1 + 1 xn+1 = 2 xn (n≥2) ，则xn 等于( ) A． ( 2 3 )n−1 B． ( 2 3 )n C. n+1 2 D. 2 n+1 10.若关于x 的不等式x2－ax＋1≤0 的解集中只有一个整数，且该整数为1，则a 的取值范 围为( ) A. [2, 5 2 ) B. (2, 5 2 ] C. [2, 5 2 ] D. (2, 5 2 ) 11.已知数列 1，1 1+2 ， 1 1+2+3 ，⋯， 1 1+2+3+⋯n 求该数列的前n 项和( ) A. 2(n−1) n B. n−1 n C. 2n n+1 D. n n+1 12. 在△ABC 中，角A,B,C 所对的边是a,b,c 已知 a∈( √6 2 ,√2),b=1, 且 abcosC+bccos A=ac ,则cos B 的取值范围是( ) A.( 7 12 , 3 4 ) B.( 7 12 , 2 3 ) C .(0, 3 4 ) D.(0, 2 3 ) 二、填空题(共4 小题，每题5 分，共20 分) 13.228 和1995 的最大公约数为 14. 设△ABC 的内角A ,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若acos B=bcos A ，则△ABC 的形 状为 15.在△ABC 中，D 为边BC 上一点， BD=1 2 DC ,∠ADB=120∘, AD=2, 若△ADC 的面 积为√3， 则AB= 16.设a=log0.20.3,b=log20.3, a 则+b 与ab的大小关系是 三、解答题(共6 小题，共70 分) 17.(10 分)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn, 且a3+a6=4 ,S5=−5. (1)求数列{an}的通项公式 (2)若T n=|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|,求T n 的值. 18.(12 分)已知函数 ． （1）求函数 在区间 上的最小值； （2）若 ， ，求 的值. 19.(12 分)如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）若点 在棱 上，且 ，求点 到平面 的距离． 20. (12 分)如图，GH 是一条东西方向的公路，现准备在点B 的正北方向的点A 处建 一仓库，设AB= y 千米，并在公路旁边建造边长为x 千米的正方形无顶中转站 CDEF (其中边EF 在公路GH 上)，若从点A 向公路和中转站分别修两条道路 AB , AC ，已知AB=AC+1,∠ABC=60∘. (1) 求y 关于x 的函数解析式，并求出定义域； (2) 如果中转站四周围墙的造价为10 万元/千米，道路的造价为30 万元/千米，问x 取 何值时，修建中转站和道路的总造价M 最低？ 21．(12 分)已知数列{an}满足an=2an−1+2n(n≥2)，a1=4. (1)证明：数列 {an 2n } 是等差数列； (2)若不等式2n2−n−3<(5−λ)an对任意的n∈N ¿ 恒成立，求λ 的取值范围． 22．(12 分)在△ABC 中，内角A ,B,C 的对边分别为a,b,c ，且2c−a=2bcos A ,b=3. （1）求B 的大小； （2）求 ac a+c 的最大值． 一、选择题 DCCCC ABDDA CA 二、填空题 57,等腰三角形，√7，a+b>ab 三、解答题 17.(1)an=2n−7 (2)Tn=¿{−n 2+6n,n≤3¿¿¿¿ 18. （I） 在区间 上的最小值为： （II）由题意得： 19.（1）因为AP=CP=AC=4，O 为AC 的中点，所以OP⊥AC，且OP= ． 连结OB．因为AB=BC= ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB= =2． 由 知，OP⊥OB． 由OP⊥OB，OP⊥AC 知PO⊥平面ABC． （2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM． 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离． 由题设可知OC= =2，CM= = ，∠ACB=45°． 所以OM= ，CH= = ． 所以点C 到平面POM 的距离为 ． 20.（1） ；（2）当 时，修建中转站和道路的总造价M 最低. 解：（1）由题意，在直角三角形 中， ， ， ，所以 ，又 ， 在 中，由余弦定理得， ， 所以 ，由 得 ， ∵ 且 ，∴ ， ∴ ； （2） ，其中 ， 设 ，则 ， 所以 . 当且仅当 时等号成立，此时 ， 所以当 时，修建中转站和道路的总造价M 最低. 21.(1)an＝2an－2an－1－2n，即an＝2an－1＋2n， 所以－＝1，又＝2，所以数列是以2 为首项，1 为公差的等差数列． (2)由(1)知＝n＋1，即an＝n·2n＋2n. 因为an>0，所以不等式2n2－n－3<(5－λ)an等价于5－λ>，即λ<5－. 记bn＝，b1＝－，b2＝，当n≥2 时，＝＝，则＝，即b3>b2，又显然当n≥3 时，<1，所以(bn)max＝b3＝，所以λ<. 22.（Ⅰ）因为2c﹣a＝2bcosA，又 ， 所以2sinC sin ﹣ A＝2sinBcosA， 所以2sin（A+B）﹣sinA＝2sinBcos， 所以2sinAcosB sin ﹣ A＝0， 因为A∈（0，π），sinA≠0， 所以cosB＝ ， 可得B＝ ． （Ⅱ）因为b2＝a2+c2﹣ac，所以c2﹣ c 6 ﹣＝0， 所以c＝2 ， 所以△ABC 的面积为S＝ acsinB＝ ． （Ⅲ）由a2+c2﹣ac＝9，得（a+c）2＝9+3ac， 因为ac≤ ，所以（a+c）2≤9+ （a+c）2， 所以3＜a+c≤6（当且仅当a＝c＝3 时取等号）． 设t＝a+c，则t∈（3，6]，所以 ＝ ， 设f（t）＝ ＝ （t﹣ ）， 则f（t）在区间（3，6]上单调递增，所以f（t）的最大值为f（6）＝ ， 所以， 的最大值为 ．