黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学答案

哈师大附中2021 级高二学年上学期期中考试数学学科试题 答案 满分150 时间：120 分钟 一、选择题（共12 小题，每题5 分，共60 分，1 至8 题是单选题，9 至12 题是多选题） 1．双曲线 2 2 1 4 y x − = 的渐近线方程是（ A ） A．2 0 x y  = B．4 0 x y  = C． 2 0 x y  = D． 4 0 x y  = 2．已知圆 2 2 1 :20 Cxyx + − = ，圆 2 2 2 :40 Cxyy + + = ，则这两个圆的位置关系为（ C ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为 难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为： “有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半， 走了6 天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为（ C ） A．63 里 B．126 里 C．192 里 D．228 里 4．已知椭圆 2 2 1 36 9 x y + = 与x 轴交于点A，B，把线段AB 分成6 等份，过每个分点做x 轴的 垂线交椭圆的上半部分于点 1 P ， 2 P ， 3 P ， 4 P ， 5 P ，F 是椭圆C 的右焦点，则 12345 PFPFPFPFPF + + + + = （ D ） A．20 B．15 3 C．36 D．30 5．在等比数列 n a 中， 1 1 8 a = ， 2 q ，则 4 a 与 8 a 的等比中项是（ A ） A．4  B．4 C．2 − D．4 − 6．直线l 与圆 2 2 ( 2) 2 x y − + = 相切，且l 在x 轴､y 轴上的截距相等，则直线l 的方程不可能 是（ B ） A． 0 x y + = B． 2 2 2 0 x y + − − = C． 0 x y − = D． 4 0 x y + − = 7．某数学爱好者以函数图象组合如图“爱心”献给在抗疫一线的 白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线 2 1 :|| Cyaxx = − 与 2 :|| Cybcx= − 构成，若a，b ，c 依 次成等比数列，则=（ C ） A． 3 2  B．2 3 C． 2 3 ± D．3 2 8．已知双曲线C ： ( ) 2 2 2 2 10,0 x y a b a b − =   的右焦点为F ，关于原点对称的两点A、B 分别 在双曲线的左、右两支上，以AB 为直径的圆恰好过右焦点F ，3BFFC = ，且点C 在双曲 线上，则双曲线的离心率为（ B ） A．10 3 B．10 2 C． 5 2 D．2 3 3 9．（多选题）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F，直线𝑙:𝑦= 𝑥−2与抛物线C 交于A，B 两 点，则（AB ） A．抛物线C 的准线方程为𝑥= −1 B．点F 到直线l 的距离为√2 2 C．∠AOB π 2 = D．|𝐴𝐵| = 10 10．（多选题）已知等差数列{𝑎𝑛}的前n 项和为𝑆𝑛，𝑎1 = 1，𝑎2 = 3，𝑏𝑛= 22𝑎𝑛，{𝑏𝑛}的前 n 项和为𝑇 𝑛则下列说法正确的是（ ABD ） A．数列{𝑎𝑛}的公差为2 B．𝑠𝑛= 𝑛2 C．数列{𝑏𝑛}是公比为4 的等比数列 D．𝑇 𝑛= 4(1−16𝑛) 1−4 11．（多选题）在正方体 1 1 1 1 ABCD A BC D − 中，𝐸, 𝐹分别是𝐵𝐶, 𝐴1𝐷1的中点，下列说法正确 的是（ AC ） A．四边形 1 BEDF 是菱形 B．直线AC 与 1 BC 所成的角为4  C．直线 1 AC 与平面ABCD所成角的正弦值是 3 3 D．平面 1 ABD 与平面ABCD夹角的余弦值是 6 3 12．（多选题）已知数列{𝑎𝑛}是等比数列，下列结论正确的为（ BD ） A．若𝑎1 + 𝑎3 < 0，则𝑎1 + 𝑎2 < 0 B．若𝑎1𝑎2 > 0，则𝑎2𝑎3 > 0 C．若𝑎1𝑎2 < 0，则(𝑎2 −𝑎1)(𝑎2 −𝑎3) < 0 D．若𝑎2 > 𝑎1 > 0，则𝑎1 + 𝑎3 > 2𝑎2 二、填空题（共4 个小题，每题5 分，共20 分） 13．抛物线𝑥2 = 8𝑦的焦点到准线的距离是__4____. 14．已知 n S 是等差数列 n a 的前n 项和，若 20 15 S = ，𝑆40 = 75，则𝑆60 =__180________． 15．数列 n a 满足𝑎1 = 1， 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 = 2𝑛+1 2𝑛−1 （𝑛∈𝑁∗，𝑛≥2），则𝑎𝑛=____𝑎𝑛= 2𝑛+1 3 ______． 16．已知点P 是椭圆 2 2 1 168 x y + = 上非顶点的动点， 1 F ， 2 F 分别是椭圆的左、右焦点，O 是 坐标原点，若M 是 1 2 F PF  的平分线上一点，且 1 0 FMMP  = ，则OM 的取值范围是 (0,2√2) ． 三、解答题（共6 个题，17 题10 分，其余各题每题12 分，共70 分） 17．（10 分）已知圆C：( ) ( ) 2 2 1 2 16 x y − + − = ，过点 ( ) 1,3 P − 且倾斜角为的直线与圆C 交于A ，B 两点． (1)当 135 = 时，求弦长|𝐴𝐵|的值； (2)当点P 为线段AB 中点时，求直线AB 的方程． （1）解：当 135 = 时，则 tan1351 AB k = = −． 此时直线AB 方程为： ( ) 3 1 y x − = − + ，即 2 0 x y + − = ． 故圆心 ( ) 1,2 C 到直线AB 的距离 1 2 2 2 2 1 1 d + − = = + ． 又 4 r = ，所以 2 222 2 22462 2 ABrd   = − = − =       ． （2）解：点P 为AB 中点时，则CPAB ⊥ ，所以 1 CPAB k k ? - ， 其中 321 112 CP k − = = − −− ，所以 2 AB k = ． 所以直线AB 方程为 ( ) 321 y x −= + ，即250 x y − + = ． 18．（12 分）如图，在直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，E 为 1 BB 的中点， 1 2 2 ABCCBC = = = ． (1)证明： 1 ACCE ⊥ ． (2)求平面𝐴𝐸𝐶1与平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶夹角的余弦值． 18（1）在直三棱柱 1 1 1 ABC A BC − 中， 1 CC ⊥平面ABC , AC 平面ABC , 所以 1 CC ⊥AC ， 又由题可知，𝐴𝐶⊥𝐵𝐶， 1 CC , BC 平面 1 1 BCC B 且 1 CC ∩𝐵𝐶= 𝐶, 所以AC ⊥平面 1 1 BCC B , 又因为 1 C E ⊂平面 1 1 BCC B ,所以𝐴𝐶⊥𝐶1𝐸. （2）在直三棱柱 1 1 1 ABC A BC − 中， 1 CC ⊥平面ABC ,𝐴𝐶，𝐶𝐵⊂平面ABC , 所以 1 CC ⊥AC ， 1 CC ⊥𝐶B,又𝐴𝐶⊥𝐵𝐶 所以𝐶𝐴, 𝐶𝐵, 𝐶𝐶1三条直线两两互相垂直 如图所示，以C 为坐标原点， 1 , , CACBCC 分别为, , xyz 轴 建系如图， 由𝐴𝐶⊥𝐵𝐶， 2 2 ABBC = = ，可得 3 AC = ， 则有𝐴(√3, 0,0), 𝐸(0,1,1), 𝐶1(0,0,2), 𝐵(0,1,0), 设平面 1 AEC 的一个方向量为 (,,), mxyz = 1 =(3,1,1),=(3,0,2) AEAC − − , 所以 1 =0 , =0 AEm ACm        即 3++=0 , 3+2=0 xyz x z − −      令 3, z = 则 2 3 x y = = ， ，所以 (2,3,3), m = 因为AC ⊥平面 1 1 BCC B ,所以 (3,0,0) CA = 为平面 1 1 BCC B 的一个法向量， 所以, 2310 cos<,>=== 5 10? 3 mCA mCA mCA  , 即平面𝐴𝐸𝐶1与平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶夹角的余弦值等于10 5 . 19．（12 分）已知双曲线C ： ( ) 2 2 2 2 10,0 x y a b a b − =   经过点( ) 22,3 P ，焦点F 到渐近 线的距离为 3 ． (1)求双曲线C 的方程； (2)若斜率为1 的直线l 与双曲线C 相交于A ，B 两点，当l 过双曲线C 的右焦点时,求弦长 |𝐴𝐵|的值. 19（1）解：若焦点 ( ) ,0 F c ，其到渐近线 b y x a = 的距离 2 3 1 bc a d b b a = = =   +     ， 又因为双曲线C ： ( ) 2 2 2 2 10,0 x y a b a b − =   经过点( ) 22,3 P ， 所以 2 8 3 1 3 a − = ，解得 2 a = ， 所以双曲线C 的方程为 2 2 1 4 3 x y − = ； （2）解：由（1）知双曲线的右焦点为(√7, 0)，所以直线l 方程为：𝑦= 𝑥−√7 设点 ( ) 1 1 , Axy ， ( ) 2 2 , B x y ， 联立{ 𝑦= 𝑥−√7 3𝑥2 −4𝑦2 = 12， 得𝑥2 −8√7𝑥+ 40 = 0，𝛥= (8√7) 2 −4 × 40 > 0 所以𝑥1 + 𝑥2 = 8√7, 𝑥1𝑥2 = 40， 从而|𝐴𝐵| = √1 + (1)2|𝑥1 −𝑥2| = √1 + (1)2 ⋅√(𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2 = 24 所以弦长|𝐴𝐵|的值为24. 20．（12 分）已知等差数列 n a 中，𝑎10 = 10，𝑎17 = 17，在各项均为正数的等比数列  n b 中， 1 2 b a = ， 3 8 b a = ． (1)求数列 n a 与 n b 的通项公式； (2)求数列  n n a b 的前n 项和 n T ． 20（1）设 n a 的公差为𝑑 ，则𝑑= 𝑎17−𝑎10 17−10 = 1，所以𝑎10 = 𝑎1 + 9𝑑 所以𝑎1 = 1所以 n a n = ； 设等比数列 n b 的公比为q ，由题得 1 2 b = ， 2 3 8,28,2. bqq =  =  = 所以 1 2 2 2 n n n b − =  = . 所以 2n n b = . （2）由题得 2n n n a b n =  . 所以 1 2 12222 n n T n =  +  + +  则 ( ) 2 3 1 2 1 2 2 2 + 1 2 2 n n n T n n + =  +  + −  +  两式相减得 1 2 3 1 2 2 2 2 2 n n n T n + − = + + + + − ( ) ( ) 1 1 2 1 2 = 2 = 1 2 2 1 2 n n n n n + +  − − − − − 所以 ( ) 1 122n n T n + = − + . 21．（12 分）已知数列{ } n a 的前n 项和为 n S ，若 2 219 n Snn = − . (1)求证：数列{ } n a 是等差数列； (2)若 n n b a = ，求数列 n b 的前n 项和 n T ． 21（1）因为 2 219 n Snn = − 所以𝑛≥2时， 2 2 1 2( 1) 19( 1) 2 23 21 n S n n n n −= − − − = − + 由①②相减可得， 421 n a n = − ， 2 n  当 1 n = 时， 421 n a n = − 也满足题意， 故{ } n a 的通项公式为： 421 n a n = − . 所以𝑛≥2时，𝑎𝑛−1 = 4(𝑛−1) −21 = 4𝑛−25 所以𝑛≥2时，𝑎𝑛−𝑎𝑛−1 = 4总成立 所以数列{ } n a 是等差数列. （2）因为 | | n n b a = ， 所以 123 |||||||| n n Taaaa = + + + + ， 当 4210 n a n = −  时， 5 n  ；当 4210 n a n = −  时， 6 n  ， 由(1)中结论可知，当 5 n  时， 2 1 2 219 nnn TaaaSnn = − − − − = − = − + ； 当 6 n  时， 2 5 5 5 ( ) 2 2 19 90 n n n T S S S S S n n = − + − = − = − + ， 从而 2 2 219,5 21990,6 n nnn T nnn − +  =  − +   . 22. (12 分)已知平面内的两点A(0，2√2)，B(0，－2√2)，过点A 的直线l1 与过点B 的直 线l2 相交于点C，若直线l1 与直线l2 的斜率乘积为－ 1 2，设点C 的轨迹为E. (1)求E 的方程； (2)设P 是E 与x 轴正半轴的交点，过P 点作两条直线分别与E 交于点M，N，若直线 PM，PN 斜率之积为－2，求证：直线MN 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标. 化为y 2 －8＝－ 1 2x 2 ，即为 𝑥2 16＋ 𝑦2 8 ＝1(x≠0). 解：(1)设C(x，y)，由直线l 1 与直线l 2 的斜率乘积为－ 1 2， 可得k AC·k BC＝ 𝑦－2√2 𝑥－0 · 𝑦＋2√2 𝑥－0 ＝－ 1 2 ， (2)证明：设直线MN：x＝ty＋m，则{ 𝑥＝𝑡𝑦＋𝑚， 𝑥2＋2𝑦2＝16 ⇒(ty＋m) 2 ＋2y 2 ＝16， 即(t 2 ＋2)y 2 ＋2tmy＋m 2 －16＝0，设M(ty 1＋m，y 1)，N(ty 2＋m，y 2)，而 P(4，0)，y 1＋y 2＝－ 2𝑡𝑚 2＋𝑡2，y 1·y 2＝ 𝑚2－16 2＋𝑡2 ，则由k PM·k PN＝－4， 得 𝑦1 𝑡𝑦1＋𝑚－4 · 𝑦2 𝑡𝑦2＋𝑚－4＝－2⇔y 1y 2＋2(ty 1＋m－4)(ty 2＋m－4)＝0， 则(1＋2t 2 )y 1y 2＋2t(m－4)(y 1＋y 2)＋2(m－4) 2 ＝0， 即(1＋2t 2 )· 𝑚2－16 2＋𝑡2 ＋2t(m－4)·(－ 2𝑡𝑚 2＋𝑡2)＋2(m－4) 2 ＝0， 整理得（5m-12）(m-4)＝0，解得m＝ 12 5 或m＝4(舍去)， 所以直线MN：x＝ty＋ 12 5 ，知直线MN 恒过点( 12 5 ，0).