四川省遂宁市2021-2022学年高二下期期末考试 数学（文）

遂宁市高中2023 届第四学期期末教学水平监测 数学（文科）试题 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。总分 150 分。考试时间120 分钟。 第Ⅰ卷（选择题，满分60 分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题 卡上。并检查条形码粘贴是否正确。 2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5 毫米黑色墨 水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上 答题无效。 3．考试结束后，将答题卡收回。 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共计60 分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1．在复平面内，复数 （i 为虚数单位）对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．命题“ ，使得 ”的否定是 A． ，使得 B． ，使得 C． ，都有 D． ，都有 3．下列求导运算正确的是 A． B． C． D． 4．用反证法证明命题“如果 可被5 整除，那么a，b 中至少 有一个能被5 整除”时，假设的内容应为 A．a，b 都不能被5 整除 B．a，b 都能被5 整除 C．a，b 不都能被5 整除 D．a 不能被5 整除 5．如图，在一组样本数据 ， ， ， ， 的散点图中，若去掉 后，则下列说法正确的为 A．样本相关系数r 变小 B．残差平方和变大 C．相关指数 变小 D．自变量x 与因变量y 的相关程度变强 6．已知函数 ，则 的图象在点 处的 切线的斜率为 A．-3 B．3 C．-5 D．5 7．已知圆 与抛物线 的准线相切，则 A． B． C．4 D．8 8．设函数 在定义域内可导， 的图象如图 所示，则其导函数 的图象可能是 A． B． 的图象 C． D． 9．考拉兹猜想是引人注目的数学难题之一，由德国数学家洛塔尔·考拉 兹在20 世纪30 年代提出，其内容是：任意 正整数s，如果s 是奇数就乘3 加1，如果s 是偶数就除以 ，如此循环，最终都能够得到1，下边的程序框图演示 了考拉兹猜想的变换过程．若输入s 的值为5，则输出i 的值为 A．6 B．5 C．4 D．3 10．已知F 是椭圆 的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点， 点Q 坐标为 ，则 的最大值为 A．3 B．5 C． D．13 11 ．定义域为R 的可导函数 的导函数为 ，满足 且 ，则不等式 的解集为 A. B. C． D． 12．已知双曲线 与直线 交于A、B 两点，点 P 为C 右支上一动点，记直线PA、PB 的斜率分别为 ， 曲线C 的左、右焦点分别为 ．若 ,则下列说法正 确的是 A． B．双曲线C 的渐近线方程为 C．若 ，则 的面积为 D．曲线 的离心率为 第Ⅱ卷（非选择题，满分90 分） 注意事项： 1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.） 13．若为虚数单位，复数满足 ，则的虚部为 ▲ . 14．若过点 的双曲线的渐近线为 ，则该双曲线的标准方 程是 ▲ . 15．甲､乙､丙三位同学被问到是否去过A，B，C 三个城市时， 甲说：我没去过A 城市； 乙说：我去过的城市比甲多，但没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断甲去过的城市为 ▲ 16．已知 ，若在区间 上存在 ，使 得 成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 三、解答题（17 题10 分，18 至22 每小题12 分，共计70 分） 17. （10 分） 在平面直角坐标系xOy 中，过点P (0,2)的直线的参数方程为 （为参数）．以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建 立 极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （1）求直线的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （2）设曲线 与直线交于 两点，求 的值． ▲ 18. （12 分） 设 ，其中 ， ． （1）若 ，且 为真命题，求实数 的取值范围； （2）若 是 的充分不必要条件，求a 的取值范围． ▲ 19．（12 分） 已知函数 在 和 处取得 极值． （1）求a，b 的值； （2）若函数 的图象与抛物线 恰有三个不 同交点，求m 的取值范围． ▲ 20.（12 分） 某汽车总公司计划在S 市的A 区开设某种品牌的汽车专卖分店.为 了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数 据作了初步处理后得到下列表格.记 表示在各区开设分店的个数， 表示这 个分店的年收入之和. x（个） 2 3 4 5 6 y（百万 元） 3 4 6 （1）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合 与 的关系， 求 关于 的线性回归方程； （2）如果总公司最终决定在A 区选择两个合适的地段各开设一个 分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为 30 人，其中5 人会购买该种品牌的汽车，第二分店每天的顾客平均为 80 人，其中20 人会购买这种汽车.依据小概率值 的 独立性检 验，试问两个店的顾客下单率有无差异？ 参考公式： ， . ▲ 21. （12 分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知点 ，点P 到点F 的距离比 点P 到x 轴的距离大2，记P 的轨迹为C． （1）求C 的方程； （2）A、B 是C 上的两点，直线OA、OB 的斜率分别为 且 ，求证直线AB 过定点． ▲ 22.（12 分） 已知函数 . （1）若 求 的单调区间； （2）若函数 有两个极值点 且 恒成立， 求实数 的取值范围． ▲ 遂宁市高中2023 届第四学期期末教学水平监测 数学（文科）试题参考答案及评分意见 一、选择题(5×12=60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D A D B C A B B C D 二、 填空题（每小题5 分，共20 分） 13． 14． 15．B 16． 三、解答题（共70 分） 17．（10 分） （1）对于直线 ，消去 t 得 ；………………………………2 分 由于 ，曲线C 的方程为 ， 所以 ，即 ；………………………………………………4 分 （2）联立方程 ，得 ，……………………………………………6 分 设 和 对应的参数为 和 ，由韦达定理 ，………………8 分 以及t 的几何意义得： = = = ………………………………10 分 18．（12 分） （1）当 时， ， ……………………………………………………………2 分 即p 为真命题时，实数x 的取值范围是 5 2 2 2 1 4 y x   (1,4) 3 2 1 2 2 x t y t          3 2 3 0 x y    cos , sin x y       2 2 2 1 2 sin      2 2 2 1 2 y x y    2 2 1 x y   2 2 3 2 1 2 2 1 x t y t x y              2 4 10 0 t t    A B 1 t 2 t 1 2 1 2 4, 10 0 t t t t     PA PB  1 2 t t  1 t  2 t   2 4 4 10 2 14    1 a  2 2 2 4 3 0 4 3 0 1 3 x ax a x x x       2 11 18 0 2 9 x x x       1,3 同理q 为真命题时，实数x 的取值范围是 ………………………………………4 分 因为 为真命题，所以实数x 的取值范围为 ；………………6 分 （2） ………………………………………………………8 分 因为p 是q 的充分不必要条件，所以 包含于 所以 ， 所以a 的取值范围是 ………………………………………………………………12 分 19.（12 分） 解：（1） ，…………………………………………………………… 1 分 由题意，得 则 解得 ……………4 分 经检验，此时 满足在 和 处取得极值，符合题意.5 分 （2）令 ,则原题意等价于 图象与 轴有三个交点． ∵ …………………………………………………7 分 ∴由 ,解得 或 ；由 ,解得 ． ∴ 在 时取得极大值 ； 在 时取得极小值 ……………………………………………………………………………………………10 分 依题意得 ,解得 ． 故 的取值范围为 ．……………………………………………………………12 分 20.（12 分） （1）由上表数据可知， ， ，……………………………………………………………2 分   2,9 p q       1,3 2,9 1,9   2 2 4 3 0 3 x ax a a x a       ,3 a a   2,9 2 2 3 3 9 a a a          2,3  2 3 2 f x x ax b      2 0 3 2 0 f f               ， 2 2 2 2 3 2 0 3 3 3 2 2 2 0 a b a b                          ， ， 2 4 a b     ， ．  3 2 2 4 1 f x x x x     2 3 x  2 x  2 3 2 3 7 ( ) ( ) 8 4 1 2 2 g x f x x x m x x x m                 g x x 2 4 ( ) 3 4 4 3( 1)( ) 3 g x x x x x        ( ) 0 g x   4 3 x  1 x  ( ) 0 g x   4 1 3 x    g x 1 x  5 (1) 2 g m   g x 4 3 x  4 67 ( ) 3 27 g m   5 0 2 67 0 27 m m            67 5 27 2 b   b 67 5 ( , ) 27 2 2 3 4 5 6 4 5 x     2.5 3 4 4.5 6 4 5 y      ， ， 5 1 2 2.5 3 3 4 4 5 4.5 6 6 88.5 i i i x y      5 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 90 i i x         设 关于 的线性回归方程为 ， 则 ， ， ∴y 关于 的线性回归方程为 ；………………………………………6 分 （2）设零假设为 ：两个分店顾客下单率无差异，则由题意可知2×2 列联表如图所示： 不下单 下单 合计 分店一 25 5 30 分店二 60 20 80 合计 85 25 110 …………………………………11 分 根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，所以两个分店 下单率没有差异. ………………………………………………………………………12 分 21.（12 分） （1）解：设C 上任意一点P 的坐标为 ，则有： ，…………1 分 当 时，有 ； 当 时，有 ， 所以C 的方程为 或 ．………………………………………5 分 （2）证明：据题意知A、B 只能在抛物线 上且直线AB 的斜率存在，设AB 的直 线方程为 ， 联立方程 ，整理得 ， 所以 ，且 ，………………………………………………8 分 又由 ，即 ， 由 解得 ，……………………………………………………………………………11 分 故直线的方程为 ，所以直线恒过定点 ．………………………12 分 22.（12 分） y x ˆ ˆ ˆ y bx a   5 1 5 2 2 2 1 5 88.5 5 4 4 0.85 90 5 4 5 ˆ i i i i i x y xy b x x              4 0.85 4 0 ˆ .6 ˆ a y bx    x 0.85 0.6 y x   0 H   2 2 110 25 20 5 60 44 0.863 2.706 30 80 85 25 51 k              0.1  0 H ( , ) x y 2 2 ( 2) | | 2 x y y     0 y  2 8 x y  0 y  0 x  2 8 ( 0) x y y   0( 0) x y   2 8 x y  y kx m   1 1 2 2 ( , ), ( , ) A x y B x y 2 8 y kx m x y       2 8 8 0 x kx m    2 64 32 0 k m    1 2 8 x x m  2 8 x y  2 8 x y  2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 8 8 64 8 2 OA OB x x y y x x K K m x x x x         4 m  l 4 y kx   l   0,4 （1） 的定义域为 ，  f x   0,   由 求导得 ，………………………………………1 分 令 ，得 ，解得 ， ……………………3 分 故 在 上单调递增. 在 上单调递减…………………………………………………………5 分 （2） 的定义域为 ，求导得 ， 有两个极值点 时，等价于方程 的有两个不等正根 ， ， ，……………………………………7 分 此时不等式 恒成立，等价于 对 恒 成立，可化为 对 恒成立， 令 ，则 ，令 得 得 或 （舍去）…………………………………9 分 ， 故 …………………10 分 在 恒成立， 在 上单调递减， ， . 3 2 m   2 3 1 3 1 x x f x x x x         0 f x   2 3 1 0 x x   1 3 5 2 x   2 3 5 2 x   1 2 1 2 (0, ) ( , ) ( ) 0 ( , ) ( ) 0 x x x x f x x x x f x          或 时 ， 时  f x 3 5 3 5 0, , , 2 2                3 5 3 5 , 2 2            f x   0,    2 2 1 2 1 x mx f x x m x x         f x   1 2 1 2 , x x x x  2 x 2mx 1 0     2 1 2 1 2 4 1 0 2 0 1 0 m x x m x x               2 1 1 x x   1 2 0 1 x x    1 2 0 f x ax   2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln 2( ) 2 x x x x a x x       1 0,1 x  3 1 1 1 1 1 ln 2 a x x x x      1 0,1 x  3 1 ( ) ln , (0,1) 2 g x x x x x x     2 ( ) ln 3 2 g x x x    2 ln 3 ( ) 2 x h x x   1 ( ) 3 0 x h x x     1 3 3 x  2 3 3 x  3 3 0, ( ) 0, ,1 ( ) 0 3 3 x h x x h x                       2 3 3 3 3 3 1 3 ( ) ( ) ln ( ) ln ln ln 0 3 3 2 3 3 2 3 h x h e           0 g x      0,1  g x    0,1   3 1 2 g x g    3 2 a   故实数 的取值范围是 .……………………………………………………12 分 a 3 , 2       