四川省遂宁市2021-2022学年高二下期期末考试 数学（理）

遂宁市高中2023 届第四学期期末教学水平监测 数学（理科）试题 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。总分 150 分。考试时间120 分钟。 第Ⅰ卷（选择题，满分60 分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡 上。并检查条形码粘贴是否正确。 2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5 毫米黑色墨水 签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答 题无效。 3．考试结束后，将答题卡收回。 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共计60 分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1．在复平面内，复数 （i 为虚数单位）对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知p： ，那么p 的一个充分不必要条件是 A． B． C． D． 3．下列求导运算正确的是 A． B． C． D． 4．已知圆 与抛物线 的准线相切，则 A． B． C．4 D．8 5．下列命题中为真命题的是 A．若 为假命题，则 均为假命题； B．由锐角 满足 及 ，推出 是合情推 理 C．命题“存在 ，使得 ”的否定是“对任意 ， 均有 ”； D．命题“若 ，则 或 ”的逆否命题为“若 且 ，则 ”. 6．已知函数 ，则 的图象在点 处的 切线的斜率为 A．-3 B．3 C．-5 D．5 7．设函数 在定义域内可导， 的图象如图所 示，则其导函数 的图象可能是 A． B． 的图象 C． D． 8．已知 的展开式中二项式系数之和为256，则该展开式中 含x 项的系数为 A．896 B．1024 C．1792 D．2048 9．从一个装有3 个白球，3 个红球和3 个蓝球的袋中随机抓取3 个球， 记事件A 为“抓取的球中至少有两个球同色”，事件B 为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则在事件A 发生的条件下， 事件B 发生的概率 A． B． C． D． 10．已知 是椭圆 的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点， 点Q 坐标为 ，则 的最大值为 A．3 B．5 C． D．13 11．已知定义在R 上的函数 满足：函数 为奇函数， 且当 时， 成立（ 为 的导函数）， 若 ， ， ，则a、b、c 的 大小关系是 A. B. C． D． 12．已知双曲线 与直线 交于A、B 两点，点 P 为C 右支上一动点，记直线PA、PB 的斜率分别为 ， 曲线C 的左、右焦点分别为 ．若 ,则下列说法正 确的是 A． B．双曲线 的渐近线方程为 C．若 ，则 的面积为 D．曲线 的离心率为 第Ⅱ卷（非选择题，满分90 分） 注意事项： 1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.） 13．若随机变量 ，已知 ，则 ▲ . 14．若过点 的双曲线的渐近线为 ，则该双曲线的标准方 程是 ▲ . 15．已知 ，若在区间 上存在 ， 使得 成立，则实数a 的取值范围是 ▲ 16．已如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调 和三角形”，它们是由整数的倒数组成的， 第n 行有n 个数且两端的数均为 ， 每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 ， ， ， ， 则第7 行第5 个数(从左往右数)为 ▲ ． 三、解答题（17 题10 分，18 至22 每小题12 分，共计70 分） 17. （10 分） 设数列 满足 ， . （1）求 ， ， ，并猜想数列 的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. ▲ 18. （12 分） 如图，设P 是圆 上的动点，点D 是P 在x 轴上的射影， M 为PD 上的一点，且 ． （1）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 方程； （2）求点M 到直线 距离的最大 值. ▲ 19．（12 分） 已知函数 在 和 处取得 极值． （1）求a，b 的值； （2）若函数 的图象与抛物线 恰有三个不 同交点，求m 的取值范围． ▲ 20.（12 分） 社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35 岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以 随时随地阅读，而年长者（35 岁以上）更喜欢阅读纸质书.现在某书店 随机抽取40 名顾客进行调查，得到了如下列联表： 年长者 年轻人 总计 喜欢阅读电子书 16 20 喜欢阅读纸质书 8 总计 40 （1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为 喜欢阅读电子书与年龄有关； （2）若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7 人，为进一步了 解情况，再从抽取的7 人中随机抽取4 人，求抽到喜欢阅读电子书的 年轻人人数X 的分布列及数学期望. 附： ，其中 . 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 ▲ 21. （12 分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知点 ，点P 到点F 的距离比 点P 到直线 的距离小1，记P 的轨迹为C． （1）求曲线C 的方程； （2）在直线 上任取一点M，过M 作曲线C 的切线 ，切点 分别为A、B，求证直线AB 过定点． ▲ 22.（12 分） 已知函数 . （1）求 的单调区间； （2）若函数 有两个极值点 且 恒成立， 求实数a 的取值范围． ▲ 遂宁市高中2023 届第四学期期末教学水平监测 数学（理科）试题参考答案及评分意见 一、选择题（5×12=60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D C D B A C C B B D 二、填空题（每小题5 分，共20 分） 13． 14． 15． 16． 三、解答题（共70 分） 17. （1）由 ， ，可得： ， ， ………………3 分 由 ， ， ， 可猜想： ………………………………………5 分 （2）证明：①当 时， 成立；………………………………………… 6 分 ②假设当 时，猜想成立，即 . ……………………………7 分 则当 时， 即当 时，猜想成立. 由①②可知，对于任意的 ，都有 成立. 综上所述，猜想得证……………………………………………………………………10 分 18.（1）设点 , 由 得 即 ……………………………………………2 分 又∵点P 在圆 上得 椭圆 ……………………………………………………………………5 分 （2）令平行于直线l 且与C 相切的直线 ……………………………………………8 分 当与C 相切时 .…………………………10 分 及的方程为 …………………12 分 19． 解：（1） ， 由题意，得 则 解得 经检验，此时 满足在 和 处取得极值，符合题意.5 分 （2）令 ,则原题意等价于 图象与 轴 有三个交点． ∵ …………………………………………………7 分 ∴由 ,解得 或 ；由 ,解得 ． ∴ 在 时取得极大值 ； 在 时取得极小值 ．………………………………………………………… ………………10 分 依题意得 ,解得 ． 故 的取值范围为 ．……………………………………………………………12 分 20. （1）解：根据题意，可得如下的 的列联表： 年长者 年轻人 总计 电子书 4 16 20 纸质书 8 12 20 总计 12 28 40 ……………………………………………………………………………………………2 分 则 所以没有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关………………………………5 分 （2）解：按照分层抽样的方法在年轻人中抽取7 名， 则抽到喜欢阅读电子书的年轻人数为4 名，喜欢阅读纸质书的年轻人数为3 名…6 分 所以随机变量 的所有可能取值为1，2，3，4， 可得 ； ； ； ，……………………………………10 分 所以 的分布列为 1 2 3 4 P 则期望为 …………………………………12 分 21． （1）解：设曲线C 上任意一点P 的坐标为 ，由题意知 且有 ，……………………………………………………………2 分 解得 ； 所以曲线C 的方程为 ……………………………………………………………5 分 （2）证明：设 ， 由题意知直线AB 的斜率存在，设直线 的方程为 ， 联立方程 ，整理得 ， 所以 ，且 ，…………………………………7 分 又由 ，即 ，可得 ， 所以抛物线 在点 处的切线的方程为 ，即 ，同理直 线 的方程为 ， 联立方程 ，解得 ，……………………………………………9 分 又因为直线与 的交点恰好在直线 上， 所以 ，即 ，所以 ，解得 …………………11 分 故直线的方程为 ，所以直线恒过定点 ．…………………………12 分 22． （1） 的定义域为 ，求导得 ，……………1 分 令 ，得 ，其 ． 当 时，又 ，故 在 上单调递增. 当 时， ，故 在 上单调递增. ……3 分 当 时， ，由 得 故 在 上单调递增.在 上单调递增. 综上，当 时， 在 上单调递增. 当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减. ……………………………………………5 分 （2） 的定义域为 ，求导得 ， 有两个极值点 时，等价于方程 的有两个不等正根 ， ， ……………………………………7 分 此时不等式 恒成立，等价于 对 恒成立，可化为 对 恒成立， 令 ，则 ，令 得 得 或 （舍去）…………………………………9 分 ， 故 ………………………………10 分 在 恒成立， 在 上单调递减， ， . 故实数 的取值范围是 ……………………………………………………12 分