福建省三明市2022-2023学年高一上学期期末质量检测数学试题

（北京）股份有限公司 三明市普通高中2022-2023 学年第一学期期末质量检测 高一数学试题 本试卷共5 页．满分150 分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号．考生要认真核 对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，非选择题用0．5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答． 在试题卷上作答，答案无效． 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．设 ， ， ，则a，b，c 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 3．函数 的零点所在区间为（ ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，角 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，若角 的终边经过点 ，则 的值为（ ） （北京）股份有限公司 A． B．5 C． D． 5．函数 图象的大致形状是（ ） A． B． C． D． 6．大气压强 ，它的单位是“帕斯卡” ，大气压强 随海拔高度 的变化规律是 ， 是海平面大气压强．已知在某高山 ， 测得的大 气压强分别为 ， ，且 ，那么 ， 两处的海拔高度的差约为（参考数据： ） A． B． C． D． 7．若函数 为奇函数，则 （ ） A．2 B．1 C．0 D． 8．已知函数 ，若 为奇函数， 为偶函数，且 在 至多有2 个实根，则 的最大值为（ ） A．10 B．14 C．15 D．18 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项 符合题目要求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 9．已知 ， ，则下列四个不等式中，一定成立的是（ ） （北京）股份有限公司 A． B． C． D． 10．下列说法正确的是 A．命题“ ， ”的否定是“ ， ” B．“ ”是“ ”的充分不必要条件 C． 与 表示同一函数 D．函数 在区间 单调递增，则实数m 的取值范围是 11．函数 的部分图象如图所示，下列结论正确是（ ） A． B．不等式 的解集为 C．若把函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则函数 是奇函数 D． 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，则函数 在 上是减函数 12．下列关于函数 的结论正确的有（ ） （北京）股份有限公司 A．图象关于原点对称 B．在 上单调递增 C．在 上单调递减 D．值域为 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13． ________． 14．函数 （ 且 ）的图象恒过定点________． 15．已知 ，则 ________． 16．已知函数 ，若 ，则 ________． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分）已知集合 ， ． （1）求集合A； （2）若 ，求实数m 的取值范围． 18．（12 分）已知 ． （1）若 为锐角，求 的值； （2）求 的值． 19．（12 分）某革命老区县因地制宜的将该县打造成“生态水果特色小县”．该县某水果树的单株产量 （单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系： ，且单株施用肥 （北京）股份有限公司 料及其它成本总投入为 元．已知这种水果的市场售价为10 元/千克．在国务院关于新时代支持革命老区 振兴发展的意见， 支持发展特色农业产业的保障下，该县水果销路畅通．记该水果树的单株利润为$f（x）$ （单位：元）． （1）求函数 的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 20．（12 分）已知函数 ， ． （1）求函数 的单调递增区间； （2）若 在 上恒成立，求实数m 的取值范围． 21．（12 分）已知函数 ． （1）判断 的奇偶性，并加以证明； （2）判断函数 的单调性（无需证明）；若 ，都有 ，求实数a 的取值范 围． 22．（12 分）“函数 的图象关于点 对称”的充要条件是“对于函数 定义域内的任意x，都 有 ．” 已知函数 的图象关于点 对称，且当 时， ． （1）求 的值； （2）设函数 ， （i）证明函数 的图象关于点 对称； （ii）若对任意 $，总存在 ，使得 成立，求实数a 的取值范围． （北京）股份有限公司 2022-2023 学年第一学期三明市期末质量检测 高一数学参考答案及评分细则 评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制定相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难 度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果 后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共60 分． 1．B 2．D 3．B 4．A 5．D 6．C 7．C 8．A 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部 分选对的得2 分． 9．BC 10．AB 11．BCD 12．ACD 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，满分20 分． 13．2 14． 15． 16． 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分）解：（1）因为 ， 所以 ， 2 分 （北京）股份有限公司 所以 ， 3 分 即 ， 4 分 所以集合 ． 5 分 （2）依题意 ， 6 分 因为 ，所以 ． 7 分 所以 9 分 即 ． 所以m 的取值范围为 ． 10 分 18．（12 分）解：（1）由已知得 ， 1 分 又 ，且 为锐角， 2 分 解得 ， ， 4 分 5 分 ； 6 分 （2）由（1）得 ， 7 分 所以 ， 8 分 9 分 所以 10 分 （北京）股份有限公司 12 分 19．（12 分）解： 即 ． 4 分 （2）当 时， ， 在 单调递减，在 单调递增， 5 分 则当 时， 取到最大值为360． 7 分 当 时， ． 8 分 因为 ，所以 ， 10 分 当且仅当 ，即 时， 取到最大值为370， 11 分 因为 ， 所以当施用肥料为4 千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是370 元． 12 分 20 ．（12 分）（1 ） ． 3 分 由 ， ， 4 分 （北京）股份有限公司 解得 ， ， 5 分 所以函数 的单调增区间为 ， ． 6 分 （2）由 得 ， 7 分 所以 ， 即 ， 9 分 因为 在 上恒成立， 所以 ． 10 分 又因为 ， 11 分 则 ，所以m 的取值范围为 ． 12 分 21．（12 分）（1） 是偶函数． 1 分 证明： ，定义域为 关于原点对称， 2 分 因为 3 分 5 分 （北京）股份有限公司 ， 所以 是偶函数． 6 分 （2） 在 是减函数；在 是增函数， 7 分 又因为 是偶函数， 所以 ，都有 ，等价于 在 上恒成立， 8 分 即 在 上恒成立， 即 在 上恒成立． 9 分 所以 在 上恒成立， 10 分 所以 ，解得 ． 所以a 的取值范围是 ． 12 分 22．（12 分）（1）解：因为函数 的图象关于点 对称， 所以 ， 1 分 所以 ． 2 分 （2）（i）证明：因为 ， ， 所以 ， 3 分 所以 ． 即对任意 ，都有 成立． 所以函数 的图象关于点 对称． 4 分 （北京）股份有限公司 （ii）由 ， 易知 在 上单调递减， 所以 在 上的值域为 ． 5 分 设函数 ， 的值域为A． 若对任意 ，总存在 ，使得 成立，则 ． 因为 时， ， 所以 ，即函数 的图象过对称中心 ． ①当 时，函数 在 上单调递增． 因为函数 的图象关于点 对称，所以 在 上单调递增， 所以函数 在 上单调递增． 易知 ，又 ， 所以 ，则 ． 又因为 ， 所以 ． 解得 ． 7 分 （2）当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增． 由函数 的图像关于点 对称，知 在 上单调递增，在 上单调递减． （北京）股份有限公司 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减． 因为， ， ， 由函数 的图象关于点 对称得 ， ， 所以 ， ， 所以，当 时 恒成立． 9 分 （3）当 时，函数 在 上单调递减． 由函数 的图象关于点 对称，知 在 上单调递减． 所以函数 在 上单调递减． 易知 ，又 ， 所以 ，则 ． 由 ，得 ． 解得 ． 11 分 综上所述，实数a 的取值范围为 ． 12 分 （北京）股份有限公司