浙江省湖州市三贤联盟2021-2022学年高一下学期期中联考 数学试题

2021 学年第二学期湖州市三贤联盟期中联考 高一年级数学学科试题 一､选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【1 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的几何意义即可求出答案. 【详解】 在复平面所对应的点为 ，位于第二象限. 故选：B. 2. 若向量 ， ，则 （） A. B. C. D. 【2 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】已知向量 ， ，则 . 故选：D. 3. 中内角 所对的边分别为 ，已知 ，则 （） A. B. C. D. 【3 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理直接求解即可. 【详解】由余弦定理得： ，所以 . 故选：A. 4. 如图， 是利用斜二测画法画出的 （ 为直角）的直观图， 的面积为 ，图中 ，过点 作 轴于点 ，则 的长为（） A. B. C. D. 【4 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】利用面积公式求出原 的高 ，进而求出 ，然后在直角三角形 中求解即可 【详解】由题可知，在 中， ，因为 的面积为16， ， 所以 ， ， ，因为 ， 轴于点 ， 所以 . 故选：C. 5. 在 中， ， ，则向量 在向量 上的投影向量为（） A. B. C. D. 【5 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得 在 方向上的投影向量为： ，再求解计算即可. 【详解】由题意： ， 所以 在 方向上的投影向量为： . 故选：A. 6. 我们的数学课本《人教A 版必修第二册》第121 页介绍了“祖暅原理”：“幂势既同，则积不容异.”这句话 的意思是：两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图 将底面直径皆为 ，高皆为 的“椭半球体”和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面 上，用平行 于平面 且与 任意距离 处的平面截两个几何体，可横截得到一个圆面和一个圆环面，可以证明 总成立.据此，当 时“椭半球体”的体积是（） A. B. C. D. 【6 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】由祖暅原理可得“椭半球体”的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，根据圆柱，圆锥的体积公式 可求其解. 【详解】设“椭半球体”和被挖去了圆锥体的圆柱体被与 距离 处的平面截得的圆面，圆环面的面积分 别为 ， ，体积分别为 , ，则 ，由“ 祖暅原理” 两个几何体的体积相等，故 ， 故选：B. 7. 如图是2021 年9 月17 日13：34 神州十二号返回舱接近地面的场景.伞面是半径为 的半球面，伞顶 与返回舱底端 的距离为半球半径的5 倍，直线 与水平地面垂直于 和观测点 在同一水平线 上.在 测得点 的仰角 ，已知 ， ，则此时返回舱 底端离地面距离 为（） A. B. C. D. 【7 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】先由已知条件求出 ，再在 中利用正弦定理求出 的长，然后利用直角三角形的边角 关系求出 ，从而可求出 的长 【详解】因为伞面是半径为 的半球面，伞顶 与返回舱底端 的距离为半球半径的5 倍， 所以 ， 在 中， ， ，由正弦定理得 , , 在直角 中， ， 所以 ， 所以 ， 故选：D 8. 已知 为正方体 表面上的一个动点， 是棱 延长线上一点，且 ，若 ，则动点 的运动轨迹的长为（） A. B. C. D. 【8 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知， 且点 的轨迹是以 为球心， 为半径的球与正方体表面的交线，作出 草图，根据弧长公式即可求出结果． 【详解】因为 ， 是棱 延长线上的一点，且 ，所以 ， 由勾股定理，可知 ，因为 ，所以点 的轨迹是以 为球心， 为半径的 球与正方体表面的交线，如图所示： 所以动点 运动轨迹在平面 上的交的弧线是以 为圆心， 为半径的圆弧，其中该圆弧 所对圆心角为 ； 在平面 上的交的弧线是以 为圆心， 为半径的圆弧，其中该圆弧所对圆心角为 ； 在平面 上的交的弧线是以 为圆心， 为半径的圆弧，其中该圆弧所对圆心角为 ； 所以动点 运动轨迹的长为 ． 故选：C． 二､多选题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 设复数 ，为虚数单位，则下列说法正确的是（） A. 的共轭复数为 B. C. D. 【9 题答案】 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据共轭复数、复数的模长公式以及四则运算求解即可. 【详解】 的共轭复数为 ， ， ， . 故选：ABD 10. 若直线不平行于平面 ，且 ，则下列说法正确的是（） A. 内存在一条直线与平行 B. 内不存在与平行的直线 C. 内所有直线与异面 D. 内有无数条直线与相交 【10 题答案】 【答案】BD 【解析】 【分析】利用直线与直线，直线与平面的位置关系判断. 【详解】A. 若 内存在一条直线与平行，则由线面平行的判定定理知 ，故错误； B. 因为直线不平行于平面 ，且 ，所以直线与平面相交，故 内不存在与平行的直线，故正确； C. 因为直线不平行于平面 ，且 ，所以直线与平面相交，在 内过交点的直线与共面，故错误； D. 因为直线不平行于平面 ，且 ，所以直线与平面相交，在 内过交点的直线有无数条与相交， 故正确； 故选：BD 11. 在 中角 所对的边分别为 ，能确定 为锐角的有（） A. B. C. 均为锐角，且 D. 【11 题答案】 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A 由余弦定理可判断；选项B 由向量的数量积定义可判断；选项C 由诱导公式有 ，由正弦函数的单调性可判断；选项D 由正弦定理可得 则 由大边对大角可判断. 【详解】对于 为锐角，故 正确； 对于 为钝角，故 错误 对于 均为锐角；且 因为 可得 则 为锐角，故 正确. 对于 由正弦定理得 则 为锐角，故 正确. 故选：ACD 12. 已知向量 满足 .则下列说法正确的 是（） A. B. 若 ，则 C. ，有 D. 若 ，则 的值唯一 【12 题答案】 【答案】BC 【解析】 【分析】由向量的平方即得模的平方，化简计算可判断A；由向量垂直条件，数量积为0，可判断B；由 向量的平方即得模的平方，结合二次函数的最值，可判断C；由向量减法和向量的平方即为模的平方，计 算可判断D. 【 详 解 】 对 于 A ， 由 于 . 可 得 ： ，即 ，所以A 错误. 对于B， ，则 得 ， ，则 ，故B 正确. 对于C， ， ，故C 正确. 对于D， ，则 ，结果不唯一，故D 错. 故选：BC. 三､填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 已知圆柱的底面圆的半径为2，高为3，则该圆柱的侧面积为________. 【13 题答案】 【答案】 【解析】 【分析】圆柱的侧面打开是一个矩形，长为底面的周长，宽为圆柱的高，即 ，带入数据即可． 【详解】因为圆柱的底面圆的半径为2，所以圆柱的底面圆的周长为 ，则该圆柱的侧面积为 . 【点睛】此题考察圆柱侧面积公式，属于基础题目． 14. 已知为虚数单位，复数 的虚部为___________. 【14 题答案】 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，求出 ，即可得出答案. 【详解】由 ，所以复数 的虚部为. 故答案为：. 15. 已知 ，则 的取值范围是___________. 【15 题答案】 【答案】 【解析】 【分析】将向量进行线性运算后，按照向量的求模公式，结合辅助角公式求最值即可. 【详解】 因为 ， 所以 ， 故答案为： . 16. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之， 自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即 （其中 为三角形的面积， 为三角形的三边）.在斜 中， 分别为内角 所对的边，若 ，且 .则此 面积 的最大值为___________. 【16 题答案】 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理化边为角，应用诱导公式，两角和的正弦公式变形可求得 ，再由正 弦定理得 ，代入面积公式得面积 为 的函数，结合二次函数性质得最大值． 【详解】解：∵ ，∴ ， 即 ， 即 ， 又 且 ，则 ， ∴ ，∴ ， 又 ，所以 ，解得 ， ∴ ， ∴ 时， ． 故答案为： ． 【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查新定义，解题关键是利用正弦定理及三角 函数恒等变换公式得出边的关系，利用新给出的面积公式表示出三角形面积，从而可得最大值及边长． 四､解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答题应写出文字说明､证明过程. 17. 已知为虚数单位，实数 分别取什么数值时，复数 满足下列条件： （1）纯虚数； （2）复平面内对应的 点在直线 上. 【17 题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）实部为0，虚部不为0 即可； （2）实部等于虚部即可得解. 【小问1 详解】 由已知 解得 【小问2 详解】 由已知 19. 已知不共线的向量 满足 . （1）是否存在实数 ，使 与 共线？若存在请求出 ，若不存在请说明理由； （2）若 ，求实数 的值. 【19 题答案】 【答案】（1）存在， ； （2） 或 . 【解析】 【分析】（1）假设存在实数 满足题意，根据平面向量的共线定理，即可求得参数值； （2）求得 ，以及 ，结合向量垂直则数量积为 零，带值计算即可. 【小问1 详解】 假设存在实数 ，使得 与 共线， 则存在实数 ，满足 . 因为 不共线， 有 ，解得 ， 存在实数 ，使 与 共线. 【小问2 详解】 由已知 ， ，解得 ， 由已知 ，得 ， 则 ， 即 ， 解得 或 . 21. 在 中，内角 所对的边分别为 ，且 . （1）求 的值； （2）若 ，点 在边 上，且 ，求 的长度. 【21 题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据 ，利用正弦定理求解； （2）先利用余弦定理求得边a，进而得到BD，再在 中，利用余弦定理求解. 【小问1 详解】 解：在 中， 由正弦定理得 ， ， ， 有 ， 又 ， ， . 【 小问2 详解】 由（1）知， ，又 ， 由余弦定理得 ， ， 即 ，即 ， 得 或 （舍去） ， 在 中， ， ， 23. 如图所示的圆锥，顶点为 ，底面半径 ，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底 半径为 ，这个平面与母线 交于点 ，线段 的长为 . （1）求圆台的体积和圆台的侧面积； （2）把一根绳从线段 的中点 开始沿着侧面绕一圈到点 ，求这根绳最短时的长度. 【23 题答案】 【答案】（1）体积为 ，侧面积为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用台体的体积与侧面积公式可求得结果； （2）作出圆锥的侧面展开图，可知扇形的圆心角为 ，结合勾股定理可求得结果. 【小问1 详解】 解：由已知圆台下底面半径 ，上底面半径 ，可得 ， 圆台的高 ， 圆台的体积 ， 圆台的侧面积 . 【小问2 详解】 解：作出圆锥侧面展开图，由已知绳子最短时的长度为侧面展开图中 的长度. 由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为 ， 侧面展开图的圆心角为 ， 则在三角形 中， ，则 . 25. 为了美化城市空间，拓展市民公共活动场所，某市拟把一块直角三角形 空地修建成一个“口袋公 园”（指规模很小的城市户外空间）.建造时，须在公园内留出一块绿地（ 区域）， 在 上， 其余区域为休闲区. （1）当图中 三个区域的面积相等时，求绿地区域 的周长； （2）若 ，为使休闲区尽量大，设 ，问 为何值时，绿地区域 的面积 最小？最小面积是多少？ 【25 题答案】 【答案】（1） （2） ，最小值为 【解析】 【分析】（1）首先利用锐角三角函数求出 ， ，再根据面积相等求出 ，分别 在 、 中利用余弦定理求出 、 ，即可得解； （2）在 、 中利用正弦定理表示出 、 ，再根据 以 及三角恒等变换公式化简，得到 ，最后根据正弦函数的性质计算可得； 【小问1 详解】 解：由已知 ， ， 当 时， . 在 中， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， ， 绿地区域 的周长为 ； 【小问2 详解】 解：在 中， ， 在 中， ， 所以 ， ， 当 即 时， 的最大值为1， 此时 面积取得最小值为 . 27. 已知 为等边三角形，点 是 的重心.过点 的直线与线段 交于点 ，与线段 交 于点 .设 ， ， （1）求 的值； （2）设 的周长为 ， 的周长为 ，设 ，记 的表达式为 ，求 ； （3）在（2）的条件下，设 ，求 的取值范围. 【27 题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得 ，再利用 ， ， 三点共线求解即可； （2）根据题意得 ，即可求解； （3）根据题意得 ，求出 的范围代入 求值域即可. 【小问1 详解】 连接 并延长，交 于点 ，则 为 中点， 所以 ，又 为重心， 所以 又 ， ， 三点共线，所以 ，即 【小问2 详解】 设 的边长为1，则 , ， 在 中， ， 所以 ，所以 ， 因为 ， ， 所以 ，因为 ， 所以 【小问3 详解】 ，因为 ， ，所以 ， ， 又 ，因为 ，所以 ， 因为 ，所以 的最小值： ，最大值为： ， 所以 ，所以 ， 所以 .