2022-2023学年浙江省杭州学军中学高二下学期下月月考数学试题Word版含解析试卷

高二数学3 月份月考 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，有一项是 符合题目要求的． 1. 已知直线 与 平行，则系数 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的平行关系可得 ，解之可得． 【详解】解： 直线 与直线 平行， ，解得 ． 故选： ． 2. 将4 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4 个项目进行培训，每名志愿者只分 配到1 个项目，志愿者小明不去花样滑冰项目，则不同的分配方案共有（ ） A. 12 种 B. 18 种 C. 24 种 D. 48 种 【答案】B 【解析】 【分析】先分析小明的分配方法，再将另外3 名志愿者全排列，由分步乘法计数原理计算可得答案． 【详解】志愿者小明不去花样滑冰项目，则小明有3 种分配方法， 将另外3 名志愿者分配剩下的3 个项目，有 种分配方法， 根据分步乘法计数原理可得不同的分配方案共有 种． 故选：B． 3. 如图，某圆锥 的轴截面 是等边三角形，点B 是底面圆周上的一点，且 ，点M 是 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在点O 建立空间直角坐标系．观察图像可知 ，借助向量坐标法求解即可. 【详解】以过点O 且垂直于平面 的直线为x 轴，直线 分别为y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设 ， 则根据题意可得 ， 所以 ， 设异面直线 与 所成角为 ， 则 ． 故选：A. 4. 若 的展开式中前三项的系数成等差数列,则展开式中 项的系数为（ ） A . 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】求出 的展开式中前三项的系数 、 、 ，由等差数列知识求出 ，再利用通 项公式求出 项的系数即可． 【详解】解：因为 的展开式中前三项的系数 、 、 成等差数列， 所以 ，即 ，解得 或 （舍， 所以二项式 展开式的通项为 ， 令 可得 ，所以 的系数为 ． 故选：B． 5. 数列 的通项公式为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据 以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【详解】由题意得数列 为递增数列等价于对任意 恒成立， 即 对任意 恒成立，故 ， 所以“ ”是“ 为递增数列”的充分不必要条件， 故选：A 6. 已知 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数可求得 ， ；分别代入 和 ，整理可得 的大小关 系. 【详解】令 ，则 ， 在 上单调递增， ，即 ， ， ，即 ； 令 ，则 ， 当 时， ；当 时， ； 在 上单调递增，在 上单调递减， ， （当且仅当 时取等号）， ， 即 （当且仅当 时取等号）， ，即 ； 综上所述： . 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题考查与指数、对数有关的大小关系的比较，解题基本思路是能够将问题转化为两 个函数的函数值大小关系的比较，进而通过构造函数的方式，利用导数求得函数单调性，从而得到两函数 的大小关系. 7. 已知双曲线 的左，右焦点分别是 ， ，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的 点，点H 在直线 上，且满足 .若 ，则双曲 线C 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出 是 的角平分线，然后结合三角形的内心、重心以及双曲线的定义等知识求 得双曲线的离心率. 【详解】因为 ，所以PH 是 的角平分线， 又因为点H 在直线 上，且在双曲线中，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点， 设 的内切圆与 轴的切点为 ， 根据三角形内切圆的知识可知 ，则 是双曲线的右顶点， 所以 的内切圆圆心在直线 ，即点H 是 的内心， 如图，作出 ，并分别延长HP、 、 至点 ，使得 ，可知H 为 的重心， 设 ，由重心性质可得 ， 即 ， 又H 为 的内心，所以 ，因为 ， 则 ，所以双曲线C 的离心率 . 故选：C 【点睛】求解双曲线离心率有关的问题，解题有两个方向，一个是求得 ，从而求得双曲线的离心率； 另一个是求得 的关系式或 的关系式，然后转化成离心率. 8. 已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的 表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，设 ， ，由三角形相似得到 ，得到圆锥的表面 积为 ，令 ，由导函数得到当 时，圆锥的表面积取得最小值，进 而得到此时与 ，作出圆锥的外接球，设外接球半径为 ，由勾股定理列出方程，求出外接球半径和表 面积. 【详解】设圆锥的顶点为 ，底面圆的圆心为 ，内切球圆心为 ， 则 ， ， 因为 ⊥ ， ⊥ ，所以 ∽ ，则 ， 设 ， ， 故 ，由 得： ， 由 得： ， 故 ，所以 ， ， 解得： ， 所以圆锥的表面积为 ， 令 ， ， 当 时， ，当 时， ， 故 在 上单调递减，在 上单调递增， 故 在 时取得最小值， ， 此时 ， ， 设圆锥的外接球球心为 ，连接 ，设 ， 则 ， 由勾股定理得： ，即 ， 解得： ，故其外接球的表面积为 . 故选：A 【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球 心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解 题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的 半径. 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，多是符合 题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9. 函数 ，以下说法正确的是（ ） A. 函数 有零点 B. 当 时，函数 有两个零点 C. 函数 有且只有一个零点 D. 函数 有且只有两个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导函数研究函数的单调性，进而得到函数的最值，根据零点存在定理求解即可. 【详解】 ，定义域 ，所以 ， 令 解得 ，令 解得 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ， 则 的图象如图所示： 故A 错误； 又当 时， ，所以从图像可得，当 时，函数 有两个零点，B 正确； 恒成立， 所以 在 上单调递减， 又 ， ，所以函数 有且只有一个零点，C 正确，D 错误； 故选：BC 10. 2022 年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E 处，小 华在如图的街道F 处，老年公寓位于如图的G 处，则下列说法正确的个数是（ ） A. 小华到老年公寓选择的最短路径条数为4 条 B. 小明到老年公寓选择的最短路径条数为35 条 C. 小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F 处和小华会合一起到老年公寓的概率为 D. 小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F， 事件B：从F 到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数 ，并确定向上或向右各走的步数 ，则最短路 径的走法有 ，再利用古典概型的概率公及条件概率的求法，求小明到 处和小华会合一起到老年公寓 的概率，小明经过 且从 到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可. 【详解】由图可知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左 移动， 对于A，小华到老年公寓需要向上1 格，向右2 格，即共走3 步，其中1 步向上，所以最短路径的条数为 条，所以A 错误， 对于B，小明到老年公寓需要向上3 格，向右4 格，即共走7 步，其中3 步向上，最短路径的条数为 条，所以B 正确， 对于C，小明到 的最短路径走法有 条，再从 处和小华一起到老年公寓的路径最短有3 条，而 小明到老年公寓共有35 条，所以到 处和小华会合一起到老年公寓的概率为 ，所以C 正确， 对于D，由题意知：事件 的走法有18 条，即 ，事件 ，所以 ，所以D 正确. 故选:BCD 11. 圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”.如图 是抛物线 的阿基米德三角形，弦AB 经过焦点F，又BC，AD 均垂直于准线l，且C，D 为垂足， 则下列说法正确的有（ ） A. 以AB 为直径的圆必与准线l 相切于M 点 B. 为定值4 C. 为定值 D. 有最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据抛物线的切线方程，相似关系，联立直线与抛物线方程后根与系数的关系，两角和的正切公 式代入即可求解. 【详解】先证明出抛物线 在其上一点 处的切线方程为 证明如下： 由于点 在抛物线 上， 则 ， 联立 即 ， ， 所以抛物线 在其上一点 处的切线方程为 设 ， ，设直线AB 的方程为 ， 联立 消去x 得 ， 根据根与系数的关系可得 ， 又抛物线 在点A 处的切线方程为 ，即 同理可知，抛物线 在点B 处的切线方程为 ， 由题意知 ， ， 直线MA 的斜率为 ，直线MB 的斜率为 ， ， 所以， ，即点M 在以AB 为直径的圆上， 联立 ， 解得 ， 所以点M 的横坐标为 ， 所以点M 在抛物线的准线上，即以AB 为直径的圆必与准线l 相切于M 点， 故A 正确; 当AB 垂直于x 轴时，由抛物线的对称性可知，点 M 为抛物线的准线与x 轴的交点， 此时 ，则 ， ， 又此时 ，则 为定值4， 当AB 不与x 轴垂直时，直线AB 的斜率为 ， 直线MF 的斜率为 ， ， 则 ，在 中， ， 又以AB 为直径的圆与准线l 相切于M 点， 设以AB 为直径的圆的圆心为 ，即得 ， 则点M 坐标为 ， 则 ， 故B 正确; ， 故C 正确; 由题意知 ， ， 则 又根据题意知 ，则 无最小值. 故D 错误. 故选：ABC. 12. 下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的 天文计算．图中的 ， ， ， 都是以O 为圆心的圆弧，CMNK 是为计算所做的矩形，其中 M，N，K 分别在线段OD，OB，OA 上， ， ．记 ， ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理证得 ， ，结合条件中 ， ，从而在各直角三角形中得到 的正余弦表示，对选项逐一分析判断即可. 【详解】因为在矩形 中， ， 又 ， ， 面 ，所以 面 ， 又 面 ，所以 ， 因为在矩形 中， ，所以 ，即 ， 因为 ， ， ， 面 ， 所以 面 ， 又在矩形 中， ，所以 面 ， 又 面 ，所以 ， 同时，易知在矩形 中， ， 对于A，在 中， ， 在 中， ， 在 中， ， 所以 ，故A 正确； 对于B，在 中， ， 在 中， ， 又 ，且在 中， 为 的斜边，则 ， 所以 ，故B 错误； 对于C，在 中， ， 在 中， ， 又 ， 所以 ，故C 正确； 对于D，在 中， ， 又 ， ， ， 所以 ， 所以 ，即 ，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的突破口是利用线面垂直的判定定理与性质定理证得 ， ， 从而得到 的正余弦表示，由此得解. 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 等比数列 中， ，公比 ，则 __________. 【答案】54 【解析】 【分析】根据等比数列的定义和性质即可得出 的值. 【详解】根据等比数列的定义和性质可知 ， 则 . 故答案为：54. 14. 设某医院仓库中有10 盒同样规格的X 光片，已知其中有5 盒、3 盒、2 盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产 的．且甲、乙、丙三厂生产该种X 光片的次品率依次为 ， ， ，现从这10 盒中任取一盒，再从这 盒中任取一张X 光片，则取得的X 光片是次品的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由全概率公式即可处理. 【详解】设 =“任取一个X 光片为次品”， =“X 光片为某厂生产”（甲、乙、丙厂依次对应 ）则 ,且 两两互斥. 由题意可得： , 15. 设 是定义在 上的函数，其导函数为 ，若 ， ，则不等 式 的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数 ，利用导数判断函数的单调性，进而得解. 【详解】设 ，则 ， 因为 ， 所以 ，即 是 上的减函数， 又 ， 故 可化为 ，即 ， 所以 ， 所以所求不等式解集为 ． 故答案为： ． 16. 若关于x 的不等式 恒成立，则a 的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】原式变形得 ，构造 ，采用数形结合法，结合导数的 几何意义即可求解. 【详解】 变形得 ，即 ， 构造 ，易知 为单减函数， ，要使 恒成立， 即 恒在 上方或恰有公共交点，如图： 由图可知 时显然不成立，当 时， 与 恰有一共切点时，为 临界条件， 设共切点为 ， ， ， 则满足 ，整理得 ，即 或 （舍去）， 当 时， ，解得 ，显然要使 恒成立，即 . 故答案为： 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 等差数列 各项均为正数， ，前n 项和为 ，等比数列 中， ，且 ． （1）求 与 ； （2）证明： ． 【答案】（1） ; （2）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的求和公式以及等比数列的通项列出方程组，解出公差和公比，从而求得数 列的通项公式； （2）先求出等差数列求和公式求得 ，再利用裂项相消法求和，从而证得结果． 【小问1 详解】 设公差为 ，公比为 ， 则 ， 解得 或 （舍去）， 则 ； 【小问2 详解】 由（1）得 ， 则 ， 则 ， 则 . 18. 已知函数 ． （1）求函数 在点 处的切线方程； （2）求函数 在 的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为 ，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数 在 的导数值，即切线斜率；代入直线的点斜式方 程即可；（2）利用导数判断出函数 在 上的单调性，求出极大值和极小值，再分别求出端点处 的函数值比较即可得出其最大值和最小值． 【小问1 详解】 易知，函数 的定义域为 ； 所以 ，则切点为 又 ， 则 在点 处的切线斜率 ， 所以，切线方程为 ，整理可得 即函数 在点 处的切线方程为 . 【小问2 详解】 由（1）可知，当 时， ， 在 上单调递减； 或 时， ， 在 或 上单调递增； 函数 在 上的单调性列表如下： 1 3 极大值 极小值 所以， 的极大值为 ，极小值为 ； 又 ， ； 综上可得，函数 在 上的最大值为 ，最小值为 19. 某运动员射击一次所得环数X 的分布列如下： X 0～6 7 8 9 10 P 0 0.2 0.3 0.3 0.2 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为 . （1）求该运动员两次都命中7 环的概率； （2）求 的分布列； （3）求 的数学期望 ． 【答案】（1）0.04； （2）分布列见解析； （3）9.07. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式计算作答. （2）求出 的所有可能值，再依次求出各个值对应的概率列出分布列作答. （3）由（2）的分布列，求出 的数学期望作答. 【小问1 详解】 依题意，该运动员两次都命中7 环的概率为 . 【小问2 详解】 的可能取值为7，8，9，10， ， ， ， 所以 分布列为： 7 8 9 10 P 0.04 0.21 0.39 0.36 【小问3 详解】由（2）知， 的数学希望为 . 20. 如图，四棱锥P-ABCD 的底面为菱形，∠ABC= ，AB=AP=2，PA⊥底面ABCD，E，F 分别是线段 PB，PD 的中点，G 是线段PC 上的一点. （1）若G 是直线PC 与平面AEF 的交点，试确定 的值； （2）若直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值为 ，求三棱锥C-EFG 体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取BC 的中点M，连接AM，分别以AM，AD，AP，所在直线为 轴建立空间直角坐标 系，设 ，求得平面AEF 的一个法向量 ，由 求解； （2）设 ，由 ，求得 ，先求得 ，再由 求解. 【小问1 详解】 解：取BC 的 中点M，连接AM，则AM⊥AD，分别以AM，AD，AP，所在直线为 轴建立空间直 角坐标系 ，如图所示， 则 ， ， 设 ， 则 设平面AEF 的一个法向量为 ， 则 ，所以 ，取 ， 易知 ，所以 ， 解得 ，此时 ； 【小问2 详解】 设 ，则 则 ， 整理得 ，解得 或 （舍去）， ， ，设平面PCD 的一个法向量为 ， 则 ， 所以 ， 取 ，又 ， 则点E 到平面PCD 的距离即点E 到平面PFG 的距离为 ， 由已知条件，在 PCD 中，PC=PD= ，CD=2，可得 所以 ， . 因为 ， 所以 . 21. 如图，椭圆C： (a＞b＞0)的离心率为 ，其左焦点到点P(2，1)的距离为 ．不过原点 O 的直线l 与C 相交于A，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分． ( ) Ⅰ求椭圆C 的方程； ( ) Ⅱ求 ABP 的面积取最大时直线l 的方程． 【答案】( ) Ⅰ ；( ) Ⅱ ． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由题意得到离心率，再结合距离公式即可得： ， 所求椭圆 的方程为： .（2）易得直线 的方程： ，用点差法得到 ，设直线 的方程为： ，与椭圆方程联立得 ，由 得到 的取值 范围；由弦长公式 ，点到直线的距离表示出面积 ，即可求出直线的方程． 试题解析：（1）由题： ； Z 左焦点 到点 的距离为： .] 由Z]可解得： . 所求椭圆 的方程为： . （2）易得直线 的方程： ，设 .其中 . 、 在 椭圆上， . 设直线 的方程为： ， 代入椭圆： . 显然 . 且 . 由上又有： . . 点 到直线的距离为： . ， 当且仅当 时，三角形的面积最大，此时直线的方程 . 考点：1、椭圆的性质；2、中点弦问题；3、最值问题． 【技巧点晴】本题考查的是椭圆的定义和性质、直线与圆锥曲线的位置关系、最值等综合知识，属于难题； 圆锥曲线中有关三角形面