江苏省南通市如皋市2022-2023学年高二上学期期末数学试题

第1 页/共20 页 （北京）股份有限公司 2022—2023 学年度高二年级第一学期期末教学质量调研 数学试题 一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共计40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知平面 的一个法向量 ，平面 的一个法向量 ，若 ，则 （ ） A. B. 4 C. D. 1 2. 若直角三角形三条边长组成公差为2 的等差数列，则该直角三角形外接圆的半径是（ ） A. B. 3 C. 5 D. 3. 已知 为双曲线 与抛物线 的交点，则 点的横坐标为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4. 若直线 与圆 相切，则实数 取值的集合为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列 首项为2，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直三棱柱 中， ， 为 的中点， 为棱 的中点，则下列结论不 正确的是（ ） 第2 页/共20 页 （北京）股份有限公司 A. B. //平面 C. D. //平面 第2 页/共20 页 （北京）股份有限公司 7. 在数列 中，若存在不小于2 的 正整数 使得 且 ，则称数列 为“ 数列”.下列 数列中为“ 数列”的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知 为坐标原点， 点坐标为 ， 是抛物线 在第一象限内图象上一点， 是线段 的中点，则 斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4 小题，每小题5 分，共计20 分.在每小题给出的四个选项中，至 少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 9. 已知正四面体的棱长均为1，分别以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，在这些向量中两两的 数量积可能是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 10. 已知椭圆 的离心率为 ，左，右焦点分别为 ， ， 为椭圆上一点（异 于左，右顶点），且 的周长为6，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆 的焦距为1 B. 椭圆 的短轴长为 C. 面积的最大值为 D. 椭圆 上存在点 ，使得 第3 页/共20 页 （北京）股份有限公司 11. 在棱长为的 正方体 中，下列结论正确的是（ ） A. 异面直线 与 所成角的为 B. 异面直线 与 所成角的为 C. 直线 与平面 所成角的正弦值为 第3 页/共20 页 （北京）股份有限公司 D. 二面角 的大小为 12. 已知数列 的前 项和 ，数列 是首项和公比均为2 的等比数列，将数列 和 中 的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列 中 与 之间共有 项 C. D. 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共计20 分.请把答案填写在答题卡相应位置上） 13. 已知等差数列 前3 项的和为6，前6 项的和为21，则其前12 项的和为______. 14. 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线.已知双曲线 的共轭双 曲线的离心率为 ，则双曲线 的离心率为______. 15. 已知轴截面为正三角形的圆锥顶点与底面均在一个球面上，则该圆锥与球的体积之比为______. 16. 摆线是一类重要的曲线，许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、抛物线相比毫不逊 色.摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时，动圆上一点的轨迹.由于采用不同类型的曲线作为 基线，产生了摆线族的大家庭.当基线是圆且动圆内切于定圆作无滑动的滚动时，切点 运动的轨迹就得到 内摆线.已知基线圆 的方程为 ，半径为1 的动圆 内切于定圆 作无滑动的滚动， 切点 的初始位置为 .若 ，则 的最小值为______；若 ，且已知线段 的中点 的轨迹为椭圆，则该椭圆的方程为______. 四、解答题（本大题共6 小题，共计70 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤） 17. 如图， 是三棱锥 的 高，线段 的中点为 ，且 ， . 第4 页/共20 页 （北京）股份有限公司 （1）证明： 平面 ； （2）求 到平面 的距离. 18. 已知等比数列 的首项为2，前 项和为 ，且 . 第4 页/共20 页 （北京）股份有限公司 （1）求 ； （2）已知数列 满足： ，求数列 的前 项和 . 19. 已知双曲线 的实轴长为2，右焦点 到 的距离为 . （1）求双曲线的 方程； （2）若直线 与双曲线 交于 ， 两点，求 的面积. 20. 已知数列 的首项为1，前 项和为 ，且满足______. ① ， ；② ；③ . 从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题： （1）求 ； （2）求数列 的前 项和 . 21. 三棱柱 中， ， ，线段 的中点为 ，且 . （1）求证： 平面 ； （2）点 在线段 上，且 ，求二面角 的余弦值. 22. 已知 为椭圆 上一点，上、下顶点分别为 、 ，右顶点为 ，且 第5 页/共20 页 （北京）股份有限公司 . 第5 页/共20 页 （北京）股份有限公司 （1）求椭圆 的方程； （2）点 为椭圆 上异于顶点的一动点，直线 与 交于点 ，直线 交 轴于点 .求证：直线 过定点. 第6 页/共20 页 （北京）股份有限公司 2022—2023 学年度高二年级第一学期期末教学质量调研 数学试题 一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共计40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 【1 题答案】 【答案】C 【2 题答案】 【答案】C 【3 题答案】 【答案】A 【4 题答案】 【答案】B 【5 题答案】 【答案】D 【6 题答案】 【答案】B 【7 题答案】 【答案】C 【8 题答案】 【答案】A 二、多项选择题（本大题共4 小题，每小题5 分，共计20 分.在每小题给出的四个选项中，至 少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 【9 题答案】 【答案】AB 【10 题答案】 【答案】BC 第7 页/共20 页 （北京）股份有限公司 【11 题答案】 【答案】ACD 【12 题答案】 【答案】AB 第7 页/共20 页 （北京）股份有限公司 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共计20 分.请把答案填写在答题卡相应位置上） 【13 题答案】 【答案】 【14 题答案】 【答案】 【15 题答案】 【答案】 ## 【16 题答案】 【答案】 ①. 2 . ② 四、解答题（本大题共6 小题，共计70 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤） 【17 题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） . 【18 题答案】 【答案】（1） （2） 【19 题答案】 【答案】（1） 第8 页/共20 页 （北京）股份有限公司 （2） 【20 题答案】 【答案】（1） （2） 第8 页/共20 页 （北京）股份有限公司 【21 题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【22 题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析