四川省乐山市十校2021-2022学年高二上学期期中考试数学（理）试题

乐山十校高2023 届第三学期半期联考 数学（理）试题 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60 分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中正确的是（ ） A.四边相等的四边形确定一个平面 B.垂直于同一条直线的两条直线平行 C.直线 mx+2y-m=0 过定点（0,1） D.梯形可以确定一个平面 3. 长方体中， ，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线和互相平行，则（ ） A. B. C.或 D.或 5. 已知，为两条不同直线， ，为两个不同平面，则下列说法正确的是( ) A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 6. 三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的（ ） A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心 7. 已知，，是坐标原点，与的夹角为，则的值为 A. B. C. D. 8. 已知一个几何体的正视图和侧视图如图1 所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放 置的直观图是一个直角边长为1 的等腰直角三角形(如图2 所示)，则此几何体的体积为（ ） A．1 B． C．2 D．2 9. 数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到 外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点 且，则的欧拉线的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 公元前世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积V 与它的直径D 的 立方成正比”，此即，欧几里得未给出的值．世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不 了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱 （轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的 直径；在正方体中，表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为）、等边圆柱（底 面圆的直径为）、正方体（棱长为）的“玉积率”分别为，，，那么等于( ) A. B. C. D. 11. 棱长为1 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q 分别为C1D1，BC 的中点，现有下列结论： ①PQ∥BD1；②PQ∥平面BB1D1D；③PQ⊥平面AB1C；④四面体D1﹣PQB 的体积等于 .其中 正确的是（ ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 12. 在正方体 中， 分别为棱 的中点，P 是线段 上 的动点(含端点)，则下列结论正确的个数（ ） ① ② 平面 ③ 与平面 所成角正切值的最大值为 ④当P 位于 时，三棱锥 的外接球体积最小 A 1 B 2 C 3 D 4 第二部分（非选择题 共90 分） 二、填空题：本大题共4 小题；每小题5 分，共20 分. 13. 已知一个圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为 . 14. 平面直角坐标系中，过点 ，且在且倾斜角α 满足 sin α+cosα=−1 5 ，则直线的点斜式 方程为 . 15. 有一光线从点射到直线以后，再反射到点，则这条光线的反射光线所在直线的方程为 . 16. 已知正三棱柱 的各棱长都是4，点 是棱 的中点，动点 在侧棱 上，且不与点 重合，设二面角 的大小为 ，则 的最小值为 三、解答题 （本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17．（10 分）已知直线l1:2 x+ y+3=0,l2: x−2 y=0 (1) 求直线l1关于x 轴对称的直线l3的方程，并求l2 与l3的交点P ； (2) 若直线l 过点P 且与直线l3垂直，求直线l 的方程. 18. （12 分）某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四 棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥的高是长方体高的，且底面正方形的边长为． 求的长及该长方体的外接球的体积； 求正四棱锥的斜高和体积． 19．（12 分）如图，四棱锥 满足 ， ， 底面 . （1）设点 为 的中点，证明： 平面 ； （2）设平面 与平面 的交线为，证明： 平面 . 20. （12 分）已知直线l：kx−3 y+2k+3=0（k∈R）． （1）证明：直线l 过定点； （2）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围； （3）若直线l 交x 轴负半轴于点A，交y 轴正半轴于点B，O 为坐标原点，设△AOB 的面 积为S，求S 的最小值及此时直线l 的方程． 21. （12 分）如图：已知△PAB 所在的平面与菱形ABCD 所在的平面垂直，且PA＝PB＝ AB，∠ABC＝60°，E 为AB 的中点． （Ⅰ）证明：CE⊥PA； （Ⅱ）若F 为线段PD 上的点，且EF 与平面PEC 的夹角为45°,求平面EFC 与平面PBC 夹角的 余弦值． 22．（12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是圆内接四边形. ， ， . （1）求证：平面 平面 ； （2）若点 在 内运动，且 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值 的最大值. 十校联考数学参考答案 选择题：1-5 ADDCC 6-10 ACBBD 11-12 CB 填空题：13、2√5π 14 、y-(-4)=−3 4 (x−3) 15、6x-y−5=0 16、√6 3 17.解：(1)由题意，直线l3与直线l1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l1与l3 必过x 轴上相同点 ，∴直线l3的方程为2x﹣y+3＝0，...........................3 分 由 解得 ∴P（﹣2，﹣1）．.................................................5 分 （2）由（1）得直线l3的斜率为2， ∴直线l 的斜率k=- 且过点P（﹣2，﹣1）...........................................7 分 ∴直线l 的方程： 即为....................10 分 18、 解：∵ 几何体为长方体且， ∴，..................................2 分 记长方体外接球的半径为，线段就是其外接球直径， 则， ∴ ，.................................................................................................4 分 ∴外接球的体积为．.................................................6 分 （2）如图，设，交于点，连结， ∴为正四棱锥的高， 又长方体的高为， ∴，...................................................................................8 分 取的中点，连结、，则为正四棱锥的斜高， 在中，， ∴，....................................................10 分 ∵， ∴， ∴正四棱锥的斜高为，体积为．....................................................12 分 19、解：取 的中点 ，连接 ， ， 则 ，且 因为 ，且 ...............2 分 所以 ，且 所以 ，且 ， 所以四边形 为平行四边形，所以 ，........................................4 分 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ...................................................................6 分 （2） 底面 ， ，又 ， ， ， 平面 ..........................8 分 由（1）可知 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，.....10 分 又 平面 ， 且平面 平面 ， ， 平面 ......................................................12 分 20. （1）证明：（法1）设直线l 过定点（x0,y0）,则Kx0-3y0+2k+3=0 对任意k∈恒成立，即 k(x0+2)-3y0+3=0 恒成立 ∴即..............................2 分 ∴直线恒过定点（-2,1）.....................................3 分 （2）直线l的方程y=k 3 x+2k+3 3 , 则直线l y 在轴上的截距为 2k+3 3 ,要使直线l 不过第四象限，则 { k≥0 2k+3 3 ≥0...................................................5 分 ⇒k≥0 ∴k 的取值范围为[0，+∞)...............................7 分 （3）由题知直线在x 轴，y 轴上的截距分别为−2k+3 k 、2k+3 3 ，则 A(−2k+3 k ,0)、B(0，2k+3 3 ), 又−2k+3 k ＜0 且2k+3 3 ＞0 ∴k ＞0............................................................9 分 ∴s=1 2 |OA||OB|=1 2⋅2k+3 k ⋅2k+3 3 =1 6⋅4 k2+12k+9 k =1 6 (4 k+9 k +12)≥1 6⋅ (12+12)=4 ..................11 分 当且仅当4 k=9 k k 即=3 2 时取等号 ∴smin=4 ,此时直线l的方程为x-2y+4=0..................................12 分 21.（Ⅰ）在菱形ABCD 中，∵ ∴△ABC 为正三角形， 又∵E 为AB 的中点 ∴ ，........................................................................1 分 ∵平面PAB 与平面ABCD 垂直，AB 为平面PAB 与平面ABCD 的交线， ∴ ，.................................................................................................3 分 又∵ 面 ⊂ PAB ∴ ..............................................................................................................5 分 （Ⅱ）∵ ，E 为AB 的中点， ∴ ，又∵ ， ∴ ，...........................................................................................7 分 以E 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴，轴 建立空间直角坐标系如图所示 设 ，则 ， ， ， ∴ ................................................8 分 设 ，其中 ，则 ，∵ 为平面 的法 向量，∴ ，得 ， 即 是 的中点，∴ .............................................................................9 分 设 为平面 的法向量，则 令 ，得 ，取 ，..............................................10 分 设 为平面 的法向量，则 得出 令 ，得 ，取 ，..........................................................11 分 设平面 与平面 夹角为 ，则 .............12 分 22.（1）连接 、 ，设 ，连接 ， ， ， ， ，则 ， ，即 是 的角平分线， ，............................1 分 ， ， 平面 ， 平面 ， ， 因为 ， ， ，所以， ，则 ， ， ，所以， ， 所以， ，即 ，......................................................2 分 ，所以， 平面 ，......................................................3 分 平面 ，因此，平面 平面 ；.......................................5 分 （2）因为底面 是圆内接四边形，则 ， 故 ，所以， ， 因为 ，则 ，则 ， 分别取 、 的中点 、 ，连接 、 、 ， ， ，故 为等边三角形， 为 的中点， ， 在底面 中， ， ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 、 分别为 、 的中点，则 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ，所以，平面 平面 ， 若点 在线段 上，则 平面 ，则 平面 ， 所以点 在 内的轨迹为线段 ，......................................................8 分 底面 ， ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则 、 、 、 、 、 、 ，............................................................9 分 设平面 的法向量为 ， ， ， 则 ，取 ，可得 ，...................................10 分 ， ， 设 ，其中 ， 则 ， 所以， ...................................................11 分 故当 时， 取得最大值 . 因此，直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ..............................12 分