四川省乐山市十校2021-2022学年高二上学期期中考试数学（文）试题

乐山市十校高2023 届第三学期半期联考文科数学试题 第一部分（选择题 共60 分） 一、选择题：本大题共12 个小题,每小题5 分,共60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. π 3 B. π 6 C . 2π 3 D.−π 3 2. 下列说法中正确的是（ ） A.四边相等的四边形确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面 C.空间任意两条直线可以确定一个平面 D.梯形确定一个平面 3. 若点（2，2）到直线x−y+a=0的距离是√2 2 ，则实数a 的值为（ ） A．﹣1 或1 B．﹣1 C．0 或﹣1 D. 1 4. 已知直线和互相平行，则（ ） A. B.或 C. D.或 5. 已知，为两条不同直线， ，为两个不同平面，则下列命题中真命题的是（ ） A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 6. 已知三角形的三个顶点A(4,3),B(−1,2),C(1,−3),则Δ ABC 的高CD 所在的直线 方程为为（ ） A.x−5 y−16=0 B. 5 x+ y−2=0 C.5 x−y−8=0 D.x+5 y+14=0 7. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ） A． B． C． D． 8．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中 ， , .则原平面图形的面积为（ ） A． B． C． D． 9. 已知点，，过点的直线与线段有公共点，若点在直线上，则实数的取值范围 为（ ） A. (−∞，−2]∪[15 4 ，+∞) B.[−15 4 ，−2] C.[2，15 4 ] D.[−2，15 4 ] 10. 已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2 AB，则CD 与平面BDC1所成角的正弦值 等于（ ） A． B． C． D． 11. 公元前世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（）与它的直径 （）的立方成正比”，此即，欧几里得未给出的值．世纪日本数学家们对求球的体积的方 法还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边 圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面 圆的直径；在正方体中，表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为）、等边圆柱 （底面圆的直径为）、正方体（棱长为）的“玉积率”分别为，，，那么等于（ ） A . 1 4 : 1 6 : 1 π B. π 6 : π 4 :2 C .2:3:2π D. π 6 : π 4 :1 12. 如图，在正方体 中，点 为 的中点，点 为 上的动点，下 列说法中： ① 可能与平面 平行； ② 与 所成的角的最大值为 ； ③ 与 一定垂直； ④ ⑤ 与 所成的最大角的正切值为 . 其中正确个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 第二部分（非选择题 共90 分） 二、填空题：本大题共4 小题；每小题5 分，共20 分. 13. 过点P (−1,3)且倾斜角为π 3 的直线方程是 . 14. 已知两点A (1,3)、B (4,5)，动点 在直线y=x 上运动，则 的最小值为 . 15. 正四面体 中， 分别为棱 的中点，则异面直线 与 所成的角是 . 16. 已知等腰直角三角形ABC 中， ∠C= π 2 ，CA=2√2，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折， 使点A 与点B 间的距离为2√2，此时三棱锥C−ABD的外接球的表面积为 . 三、解答题 （本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17．（本题共10 分）已知直线l1:2 x+ y+3=0,l2: x−2 y=0 (1) 求直线l1关于x 轴对称的直线l3的方程，并求l2 与l3的交点P ； (2)求过点P 且与原点O（0，0）距离等于2 的直线m 的方程． 18．（本题共12 分）如图所示，在边长为 的正方形 中，以 为圆心画一个扇 形，以 为圆心画一个圆， ， ， 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆 为圆锥的 底面，围成一个圆锥，求该圆锥的表面积与体积. 19．（本题共12 分）如图，四棱锥 满足 ， ， 底面 . （1）设点 为 的中点，证明： 平面 ； （2）设平面 与平面 的交线为，证明： 平面 . 20．（本题共12 分）已知 的三个顶点 、 、 . （1）求 边所在直线的方程； （2） 边上中线 的方程为 ，且 ，求点A 的坐标. 21．（本题共12 分）如图所示，四棱锥 中， 菱形 所在的平面， ，点 ､ 分别是 、 的中点. （1）求证：平面 平面 ； （2）当 时，求多面体 的体积. 22．（本题共12 分）如图，设直线： ， ： 点A 的坐标为 过点A 的直线l 的斜率为k，且与， 分别交于点M， N 的纵坐标均 为正数 （1）设 ，求 面积的最小值； （2）是否存在实数a，使得 的值与k 无关若存在，求出所有这样的实数a； 若不存在，说明理由． 乐山市十校高2023 届第三学期半期联考文科数学试题答案 一、选择题：1.C 2.D 3.A 4.B 5.C 6.B 7.A 8.B 9.D 10.A 11.D 12.C 二、填空题：13.√3 x−y+√3+3=0 14.√17 15. π 4 16.12π 三、简答题： 17、解：(1)由题意，直线l3与直线l1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l1与l3 必过x 轴上相同点 ，∴直线l3的方程为2x﹣y+3＝0，............................（３分） 由 解得 ∴P（﹣2，﹣1）．..............................（5 分） (2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y+1＝k（x+2），即kx﹣y+2k 1 ﹣＝0，∴原 点O（0，0）到直线m 距离为 ，解得 ， ∴直线m 方程为3x+4y+10＝0，....................................................（8 分） 当直线m 的斜率不存在时，直线x＝﹣2 满足题意，..............................（9 分） 综上直线m 的方程为3x+4y+10＝0 或x＝﹣2．...........................................(10 分） 18、设圆的半径为，扇形的半径为 ， 由题意，得 ，解得 ..............................(4 分） 所以围成的圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，高为 .......（6 分) ∴圆锥的表面积 ；..........................（9 分） ∴圆锥的体积为 ...............................(12 分） 19、解：取 的中点 ，连接 ， ， 则 ，且 因为 ，且 所以 ，且 所以 ，且 ， 所以四边形 为平行四边形，所以 ， 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ................................................（6 分） （2） 底面 ， ，又 ， ， ， 平面 ............................(8 分） 由（1）可知 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 又 平面 ， 且平面 平面 ， ， 平面 ................................（12 分） 20、解：（1）由 、 得 边所在直线方程为 ， 即 ；..................................(3 分） （2） ，则 ，所以 ，...........................(5 分） A 到 边所在直线 的距离为 ， 所以 ，则 或 ，...........................（8 分） 由于A 在直线 上，故 或 ，解得{m=3¿¿¿¿或 ， 所以 或 ................................（12 分） 21.解（1）菱形 中， ，连AC，如图： 则△ 是正三角形，又 是 的中点，即有 ，又 ， 于是 ，因 平面 ， 平面 ，则 ， ，从而得 平面 ，又 平面 ， 所以平面 平面 ；..................................(6 分） （2）由(1)知 ， ， 而 平面 ， 平面 ， 于是有 ， ， 所以多面体 的体积 ..........................(12 分） 22、解：(1)因为直线l 过点 ，且斜率为k，所以直线l 的方程为 因为直线l 与， 分别交于点M，N，所以 ， 因此由 得 ，即 ，.......................(1 分） 由 得 ，即 .................(3 分） 又因为M，N 的纵坐标均为正数，所以 ，即 而 ，因此 ...............................(4 分） 又因为当 时，直线OA 的方程为 ， ， ，且 ， 所以点M 到直线OA 的距离为 ， 点N 到直线OA 的距离为 ， 因此 面积 ......................(6 分） 令 ，则 且 ，因此 =1 8(t+1 t +2)≥1 8(2√t×1 t +2)=1 2 ，当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以S 的最小值为 ，即 面积的最小值为 .......................................(8 分） (2)存在实数 ，使得 的值与k 无关． 由(1)知： ， ，且 因此 ， ， 所以 ...............................(10 分） 又因为 ，所以当 时， 为定值 ，.....................(12 分） 因此存在实数 ，使得 的值与k 无关．