黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高二10月月考数学答案

1 （北京）股份有限公司 哈师大附中2021 级高二学年上学期10 月月考 数学科试题 一、单选题：本题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1．已知向量 ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【解答】解：∵ ， ， ∴+ ＝（3，5，4）， 则 ＝ ＝5 ， 故选：C． 2．焦点坐标为（0，﹣4），（0，4），且长半轴长为6 的椭圆方程为（ ） A． ＝1 B． ＝1 C． ＝1 D． ＝1 【解答】解：因为焦点坐标为（0，﹣4），（0，4），且长半轴长为6， 所以c＝4，a＝6， 所以b2＝a2﹣c2＝62 4 ﹣2＝20， 所以椭圆的方程为 + ＝1， 故选：D． 3．若直线l 的一个方向向量为＝（1，﹣2，﹣1），平面α 的一个法向量为＝（﹣2，4，2），则（ ） A．l⊂α B．l∥α C．l⊥α D．l∥α 或l⊂α 【解答】解：根据题意，直线l 的一个方向向量为＝（1，﹣2，﹣1），平面α 的一个法向量为＝ （﹣2，4，2）， 则有＝﹣2 ，故l⊥α， 故选：C． 4．已知圆C1的圆心在x 轴上，半径为1，且过点（2，﹣1），圆C2：（x 4 ﹣）2+（y 2 ﹣）2＝10，则圆 C1，C2的公共弦长为（ ） A． B． C． D．2 【解答】解：设圆C1的方程为（x﹣a）2+y2＝1，代入点（2，﹣1）的坐标得（2﹣a）2+1＝1， 解得a＝2，故圆C1的方程为（x 2 ﹣）2+y2＝1，化为一般方程为x2+y2 4 ﹣x+3＝0， 圆C2的一般方程为x2+y2 8 ﹣x 4 ﹣y+10＝0， 两圆方程作差得4x+4y 7 ﹣＝0， 点C1（2，0）到直线4x+4y 7 ﹣＝0 的距离为：d＝ ＝ ＝ ， 则圆C1，C2的公共弦长为2 ＝ ． 故选：A． 5．圆x2+（y 2 ﹣）2＝4 与圆：x2+2mx+y2+m2 1 ﹣＝0 至少有三条公切线，则m 的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣ ] B．[5，+∞） C．[﹣ ， ] D．（﹣∞，﹣ ] [ ∪ ，+∞） 【解答】解：根据题意，圆：x2+2mx+y2+m2 1 ﹣＝0，即（x+m）2+y2＝1，其圆心为（﹣m，0），半径 r＝1， 圆x2+（y 2 ﹣）2＝4，其圆心为（0，2），半径R＝2， 若两圆至少有三条公切线，则两圆外切或外离，则有 ≥2+1， 2 解可得：m≥ 或m≤﹣ ，则m 的取值范围为：（﹣∞，﹣ ] [ ∪ ，+∞）， 故选：D． 6．已知椭圆C： + ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若C 上存在无数个点P，满足： ∠F1PF2＞ ，则 的取值范围为（ ） A．（0， ） B．（ ，1） C．（ ，1） D．（0， ） 【解答】解：因为椭圆C 上存在无数个点P，满足∠F1PF2＞ ， 所以以F1F2为直径的圆与椭圆有4 个交点， 2 所以c＞b， 故选：D． 7．已知圆C 的方程为（x 1 ﹣）2+（y 1 ﹣）2＝1，直线l：（3 2 ﹣t）x+（t 1 ﹣）y+2t 1 ﹣＝0 恒过定点A． 若一条光线从点A 射出，经直线x﹣y 5 ﹣＝0 上一点M 发射后到达圆C 上的一点N，则|AM|+|MN|的最 小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【解答】解：直线l 可化为3x﹣y 1 ﹣﹣t（2x﹣y 2 ﹣）＝0 令 2x﹣y 2 ﹣＝0，可得3x﹣y 1 ﹣＝0， 求得x＝﹣1，且y＝﹣4， 所以，点A 的坐标为（﹣1，﹣4）． 设点A（﹣1，﹣4）关于直线x﹣y 5 ﹣＝0 的 对称点为B（a，b）， 则由 ，求得 ， 所以点B 坐标为（1，﹣6）． 由线段垂直平分线的性质可知，|AM|＝|BM|， 所以，|AM|+|MN|＝|BM|+|MN|≥|BN| ≥|BC|﹣r＝7 1 ﹣＝6， （当且仅当B，M，N，C 四点共线时等号成立）， 所以，|AM|+|MN|的最小值为6， 故选：A． 8．已知P 是直线l：x+y 7 ﹣＝0 上任意一点，过点P 作两条直线与圆C：（x+1）2+y2＝4 相切，切点分别 为A，B．则|AB|的最小值为（ ） A． B． C． D． 【解答】解：已知P 是直线l：x+y 7 ﹣＝0 上任意一点，过点P 作两条直线与圆C：（x+1）2+y2＝4 相 切，切点分别为A，B， 圆C 是以C（﹣1，0）为圆心，2 为半径的圆， 由题可知，当∠ACP 最小时，|AB|的值最小， ， 当|PC|取得最小值时，cos∠ACP 最大，∠ACP 最小， 点C 到直线l 的距离 ， 故当 时，cos∠ACP 最大，且最大值为 ， 此时 ，则 ． 故选：A． 9．如图，在底面半径为1，高为6 的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的 上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率 为（ ） 3 （北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【解答】解：如图所示，BF＝1，BO＝2， ， 则 ， ∴OD＝2，即a＝2，而2b＝2，即b＝1， 所以 ， 所以离心率 ， 故选：B． 10．已知圆C1：（x+3）2+y2＝a2（a＞7）和C2：（x 3 ﹣）2+y2＝1，动圆M 与圆C1，圆C2均相切，P 是 △MC1C2的内心，且 ，则a 的值为（ ） A．9 B．11 C．17 或19 D．19 【解答】解：根据题意：圆C1：（x+3）2+y2＝a2（a＞7），其圆心C1（﹣3，0），半径R1＝a， 圆C2：（x 3 ﹣）2+y2＝1，其圆心C2（﹣3，0），半径R2＝1， 又因为a＞7，所以圆心距|C1C2|＝6＜R1+R2＝a+1，所以圆C2内含于圆C1，如图1， 因为动圆M 与圆C1，圆C2均相切，设圆M 的半径为r， 分2 种情况讨论： ①动圆M 与圆C1内切，与圆C2外切（r＜a）， 则有C1M＝R1﹣r＝a﹣r，C2M＝R2+r＝1+r， 所以C1M+C2M＝a+1， 即M 的轨迹为以C1，C2为焦点，长轴长为a+1 的椭圆， 因为P 为△MC1C2的内心，设内切圆的半径为r0， 又由 ， 则有所以 ×C1M×r0+ ×C2M×r0＝3× ×C1C2×r0， 所以C1M+C2M＝3C1C2， 所以3C1C2＝18＝a+1， 所以a＝17， ②圆C2内切于动圆M，动圆M 内切于圆C1， 4 则有C1M＝R1﹣r＝a﹣r，C2M＝R2+r＝r 1 ﹣， 所以C1M+C2M＝a 1 ﹣， 同理可得：3C1C2＝18＝a 1 ﹣，则有a＝19； 4 综合可得：a＝17 或19； 故选：C． 二、多选题：本题共2 小题，每小题5 分，共10 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. （多选）11．已知椭圆 的上下焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P 是该椭圆上的 动点，则下列结论正确的是（ ） A．该椭圆的长轴长为 B．使△PF1F2为直角三角形的点P 共有6 个 C．△PF1F2的面积的最大值为1 D．若点P 是异于A1、A2的点，则直线PA1与PA2的斜率的乘积等于﹣2 【解答】解：椭圆 的上下焦点分别为F1，F2，可得a＝ ，b＝1，c＝1， 所以椭圆的长轴长为2 ，所以A 不正确； △PF1F2为直角三角形的点P 共有6 个，所以B 正确； △PF1F2的面积的最大值为 ＝bc＝1，所以C 正确； 设P（m，n），易知A1（﹣1，0），A2（1，0）， 所以直线PA，PB 的斜率之积是： ＝ ＝ ＝﹣2， 故D 正确， 故选：BCD． （多选）12．设有一组圆 ，下列命题正确的是（ ） A．不论k 如何变化，圆心∁k始终在一条直线上 B．存在圆∁k经过点（3，0） C．存在定直线始终与圆∁k相切 D．若圆∁k上总存在两点到原点的距离为1，则 【解答】解：根据题意，圆 ，其圆心为（k，k），半径为2， 依次分析选项： 对于A，圆心为（k，k），其圆心在直线y＝x 上，A 正确； 对于B，圆 ，将（3，0）代入圆的方程可得（3﹣k）2+（0﹣k）2＝4， 化简得2k2 6 ﹣k+5＝0，Δ＝36 40 ﹣ ＝﹣4＜0，方程无解， 所以不存在圆∁k经过点（3，0），B 错误； 对于C，存在直线 ，即 或 ， 圆心（k，k）到直线 或 的距离 ， 这两条直线始终与圆∁k相切，C 正确， 对于D，若圆∁k上总存在两点到原点的距离为1，问题转化为圆x2+y2＝1 与圆∁k有两个交点， 圆心距为 ，变形可得 ， 5 （北京）股份有限公司 解可得： 或 ，D 正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13．若直线l1：3x+y＝4，l2：x﹣y＝0，l3：2x 3 ﹣my＝4 不能构成三角形，则m 的取值集合是 {﹣ ， 5 （北京）股份有限公司 ，﹣ } ． 【解答】解：根据题意，若直线l1：3x+y＝4，l2：x﹣y＝0，l3：2x 3 ﹣my＝4 不能构成三角形， 有3 种情况， ①三条直线交于1 点， ，解可得 ，则点（1，1）在直线2x 3 ﹣my＝4 上， 则有2 3 ﹣m＝4，解可得m＝﹣ ， ②l2∥l3，此时有（﹣1）×（﹣3m）＝3m＝2，解可得m＝ ， ③l1∥l3，此时有3×（﹣3m）＝2，解可得m＝﹣ ， 综合可得：m 的取值集合为{﹣ ， ，﹣ }； 故答案为：{﹣ ， ，﹣ }． 14．过点P（2，2）作圆x2+y2＝4 的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB 的方程为 x + y 2 ﹣ ＝ 0 ． 【解答】解：圆x2+y2＝4 的圆心为C（0，0），半径为2， 以P（2，2），C（0，0）为直径的圆的方程为（x 1 ﹣）2+（y 1 ﹣）2＝2， 将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程2x+2y＝4，即x+y 2 ﹣＝0． 故答案为：x+y 2 ﹣＝0． 15. 点P（﹣2，2）到直线（2+λ）x﹣（1+λ）y 2 ﹣（3+2λ）＝0 的距离的取值范围是______________. 16．经过坐标原点O 且互相垂直的两条直线AC 和BD 与圆x2+y2 4 ﹣x+2y 20 ﹣ ＝0 相交于A，C，B，D 四 点，有下列结论： ①弦AC 长度的最小值为 ； ②线段BO 长度的最大值为 ； ③四边形ABCD 面积的取值范围为 ． 其中所有正确结论的序号为 ①③ ． 【解答】解：由题设（x 2 ﹣）2+（y+1）2＝25，则圆心（2，﹣1），半径r＝5， 由圆的性质知：当圆心与直线AC 距离最大为 时AC 长度的最小， 此时 ，①正确； BO 长度最大，则圆心与B，O 共线且在它们中间，此时 ，②错误； ， 而 ，所以 ， 令 ，则 ， 当 ，即 时，（SABCD）max＝45， 当t＝0 或5，即 或 时， ， 所以 ，③正确． 故答案为：①③． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题10 分) 已知圆 ，点 . （1）过 做圆 的切线,求切线方程； （2）过 做直线与圆 交于 两点，且 ,求直线 的方程 解：（1） 或 6 （2） 或 18. （本题12 分）设过点 作直线l 交x 轴的正半轴、y 轴的正半轴于A、B 两点， （1）当 面积取最小值时，求直线l 的方程 （2）当 取得最小值时，求直线l 的方程． 解：（1） （2） 19. （本题12 分）已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆上. (2,1) P AOB S | | | | PA PB  6 （1）求椭圆 的方程； （2）若圆 上的点都在椭圆内部，求 的取值范围。 解：（1） （2） 20. （本题12 分）已知离心率为 的椭圆 的一个焦点为 ，过 且与 轴 垂直的直线与椭圆交于 两点， （1）求此椭圆的方程； （2）已知直线 与椭圆交于 两点，若以线段 为直径的圆过点 ，求 的值。 解：（1） （2） 21. （本题12 分） 如图，在四棱柱 中，侧棱 , , , ,且点M 和N 分别为 的中点. (I)求证： 平面 ； (II)求平面 与平面 夹角的正弦值； N M C1 B1 A1 D A B C D1 解：（1）略 （2） 22．椭圆的两个焦点是 ，点 在椭圆上. (1)求此椭圆方程； （2）过 做两条互相垂直的直线，分别交椭圆于 四点，求四边形 面积的取值范围。 解：（1） （2） 1 1 1 1 ABCD A B C D - 1 A A ABCD 底面 AB AC  1 AB = 1 2, 5 AC AA AD CD = = = = 1 1 C D B D 和 // MN ABCD