2021-2022学年第一学期三明市四地四校期中考试联考协作卷高二数学( 评分细则)

1 2021-2022 学年第一学期三明市四地四校期中考试联考协作卷 高二数学 （评分细则） 一、单选题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.A 2.B 3.C 4.D5.B 6.A 7.D 8.C 二、多选题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．全对得5 分，少选得3 分，多选、错选不得分） 9.ABD 10.BC11.AD 12.BCD 三､填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。第13 题第一空2 分，第 二空3 分，把答案填写在答题卡上相应位置的横线上） 13.−6，10 3 14. 2 2 ( 1) ( 1) 1 x y     15. [- 1 3, 2] 16. 2 2 ( 2) 68 x y    四、解答题（本大题共6 小题，第17 题10 分，第18-22 题每题12 分，共70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 ） 17.（10 分） 已知直线1 2 : 3 1 0, : ( 2) 1 0 l ax y l x a y      ． （1）若1 2 l l  ，求实数a 的值； （2）当1 2 // l l 时，求实数a 的值； ． 【解】 （1）∵1 2 : 3 1 0, : ( 2) 1 0 l ax y l x a y      ，且1 2 l l  ， ∴ 1 3 ( 2) 0 a a    ， .解得 3 2 a  .........................5 分 （2）∵1 2 : 3 1 0, : ( 2) 1 0 l ax y l x a y      ，且1 2 // l l ， ∴( 2) 3 1 a a   且 1 a ， 解得 3 a  .......................10 分 2 18.（12 分）如图在边长是2 的正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  中，E , F 分别为AB ， 1 AC 的中点． （1）求异面直线EF 与 1 CD 所成角的大小． （2）证明：EF 平面 1 ACD ． 【解】 据题意，建立如图坐标系．于是： (0,0,0) D ， 1(2,0,2) A ， (0,2,0) C ， (2,1,0) E ， (1,1,1) F ， 1(0,0,2) D ∴ ( 1,0,1) EF    ， 1 (0, 2,2) CD     ，.....................3 分 （1）   1 1 1 1 0 0 2 1 2 1 cos , 2 2 2 2 EF CD EF CD EF CD                 ，.............5 分 ∴ 1 , 60 EF CD      ∴异面直线EF 和 1 CD 所成的角为60．.....................6 分 （2） 1 (2,0,2) DA    ， (0,2,0) DC   .....................8 分 1 1 2 0 0 1 2 0 EF DA         ∴ 1 EF DA      ，即 1 EF DA  ............................9 分 1 0 0 2 1 0 0 EF DC         ， ∴EF DC    即EF DC  ．......................10 分 3 又∵ 1 DA ，DC 平面 1 DCA 且 1 DA DC D   ........11 分 ∴EF 平面 1 ACD ．..........................12 分 19．(12 分)在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以 解答. ①与直线4 3 5 0 x y    垂直；②过点(5, 5)  ；③与直线3 4 2 0 x y   平行. 问题：已知直线l 过点 (1, 2) P  ，且___________. （1）求直线l 的一般式方程； （2）若直线l 与圆 2 2 5 x y  相交于点P ，Q ，求弦PQ 的长. 【解】 方案一选条件①. （1）因为直线4 3 5 0 x y   的斜率为 4 3 ，又直线4 3 5 0 x y   与直线l 垂直， 所以直线l 的斜率 3 4 k  ..............................2 分 依题意，直线l 的方程为 3 2 ( 1) 4 y x    ，即3 4 5 0 x y   .......5 分 （2） 圆 2 2 5 x y  的圆心 (0,0) 到直线3 4 5 0 x y   的距离为 2 2 5 1 3 4 d    ....7 分 又圆 2 2 5 x y  的半径为 5 r  所以 2 2 2 4 PQ r d   ................10 分 方案二选条件②. （1）因为直线l 过点  5, 5  及  1, 2  ， 所以直线l 的方程为 5 5 1 5 2 5 x y      ，.................................2 分 即3 4 5 0 x y    ...................................5 分 （2）圆 2 2 5 x y   的圆心 (0,0) 到直线3 4 5 0 x y    的距离 为 2 2 5 1 3 4 d    .............................7 分 又圆 2 2 5 x y  的半径为 5 r  ，所以 2 2 2 4 PQ r d    ...................................10 分 方案三选条件③. 4 （1）因为直线3 4 2 0 x y   的斜率为 3 4  ，直线l 与直线 3 4 2 0 x y    平行， 所以直线l 的斜率为 3 4 k  ....................2 分 依题意，直线l 的方程为 3 2 ( 1) 4 y x    ， 即3 4 5 0 x y    ..............................5 分 （2）圆 2 2 5 x y   的圆心 (0,0) 到直线3 4 5 0 x y    的距离 为 2 2 5 1 3 4 d    .......................7 分 又圆 2 2 5 x y   的半径为 5 r  ，所以 2 2 2 4 PQ r d   ............................10 分 20. (12分)如图， 在四棱锥P﹣ABCD中， 底面ABCD是矩形， PA⊥平面ABCD， PA=AD=4， AB=2，M 是PD 的中点. （1） 求平面ACD 和平面ACM 夹角的余弦值； （2）求点P 到平面ACM 距离. 【解】 （1）建立如图所示空间直角坐标系，则           0,0,4 , 2,0,0 , 2,4,0 , 0,4,0 , 0,2,2 P B C D M ..................3 分 设平面ACM 的法向量为   1 , , n x y z   ， 的 5 则 1 1 2 2 0 2 4 0 n AM y z n AC x y                  ，故可设   1 2,1, 1 n    ....................6 分 平面ACD 的法向量为 ) 1 , 0 , 0 ( 2  n  .............................7 分 设平面ACM 和平面ACD 的夹角为， 则 1 2 1 2 1 6 cos 6 6 n n n n            ..................................9 分 （2）P 到平面ACM 的距离为 1 1 4 2 6 3 6 AP n n       .........................12 分 21.(12 分)如图，某海面上有𝑂、𝐴、𝐵 三个小岛（面积大小忽略不计） ，𝐴 岛在 𝑂 岛的北偏东45∘ 方向且距𝑂 岛40 2 千米处，𝐵 岛在𝑂 岛的正东方向且距𝑂 岛20 千米处.以𝑂 为坐标原点，𝑂 的正东方向为𝑥 轴的正方向，建立如图所示 的平面直角坐标系.圆𝐶 经过𝑂、𝐴、𝐵 三点. （1）求圆𝐶 的方程； （2）若圆𝐶 区域内有未知暗礁，现有一船在𝑂 岛的南偏西30∘ 方向且距𝑂 岛 40 千米的𝐷 处，正沿着北偏东45∘ 方向行驶，若不改变方向，试问：该船有没 有触礁的危险？请说明理由. 6 【解】 （1）由题意得𝐴(40，40) 、𝐵(20，0) ，.....................1 分 设过𝑂、𝐴、𝐵 三点的圆𝐶 的方程为𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥+ 𝐸𝑦+ 𝐹= 0(𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹> 0) ， 则 𝐹= 0， 402 + 402 + 40𝐷+ 40𝐸+ 𝐹= 0， 202 + 20𝐷+ 𝐹= 0， ...................3 分 解得𝐷= −20 ，𝐸= −60 ，𝐹= 0 ，....................5 分 所以圆𝐶 的方程为𝑥2 + 𝑦2 −20𝑥−60𝑦= 0 ...............6 分 （2）答：该船有触礁的危险。...................7 分 理由如下： 由题意得𝐷(−20，−20 3) ，...................8 分 且该船的航线所在的直线𝑙 的斜率为1， 故该船的航线为直线l：𝑥−𝑦+ 20 −20 3 = 0...........9 分 由（1）知圆心为𝐶(10，30) ，半径𝑟= 10 10 ， 因为圆心𝐶 到直线𝑙 的距离𝑑= |10−30+20−20 3| 12+12 = 10 6 < 10 10 所以该船有触礁的危险..................................12 分 22． (12 分)已知椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y a b a b      经过点   2,1 M  ， 且右焦点为  3,0 F . （1）求椭圆的标准方程. （2）过点   1,0 N 的直线AB 交椭圆于A ，B 两点，记t = MA ∙MB ，若t 的最大 值和最小值分别为1 t ，2 t ，求1 2 t t  的值. 【解】 （1）由题意可知， 2 2 2 2 3 4 1 1 a b a b          ，解得 2 6 a  ， 2 3 b ， 故椭圆的标准方程为 2 2 1 6 3 x y  ..............................4 分 7 （2） 当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为   1 y k x   ，  1 1 , A x y ，  2 2 , B x y . 联立   2 2 1 6 3 1 x y y k x          ，消去y ，得  2 2 2 2 1 2 4 2 6 0 k x k x k     . 因为  1,0 在椭圆内部，所以 0 ， 所以 2 1 2 2 4 1 2 k x x k    ， 2 1 2 2 2 6 1 2 k x x k    ..............................6 分 则      1 2 1 2 2 2 1 1 t MA MB x x y y           ，      1 2 1 2 1 2 2 4 1 1 x x x x kx k kx k          ，      2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 5 k x x k k x x k k         ，     2 2 2 2 2 2 2 2 6 4 1 2 2 5 1 2 1 2 k k k k k k k k k              ， 2 2 15 2 1 1 2 k k k     ，.............................................8 分 所以  2 15 2 2 1 0 t k k t   ，k R， 则    2 2 4 15 2 1 0 t t     . ∴   2 15 1 1 0 t t    ，即 2 2 13 16 0 t t   . 设1 t ，2 t 是 2 2 13 16 0 t t    的两根，∴1 2 13 2 t t   ..................10 分 当直线AB 斜率不存在时，联立 2 2 1 6 3 1 x y x        ，得 10 2 y  . 不妨设 10 1, 2 A         ， 10 1, 2 B          ， 则 10 3, 1 2 MA          ， 10 3, 1 2 MB             ， 10 15 9 1 4 4 MA MB       .此时t 为定值，不存在最大值与最小值. 综上所述： 1 2 13 2 t t   .........................12 分