陕西省重点中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试卷

2022-2023 学年上学期期末 高二数学 一、选择题；本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．若一数列为1， ， ， ，…，则 是这个数列的（ ）． A．不在此数列中 B．第13 项 C．第14 项 D．第15 项 2．若过点 的直线l 与圆C： 相交于A，B 两点，则 的最小值 （ ） A．2 B． C．4 D． 3．不等式 成立的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 4．如图，在平行六面体 中， 与 的交点为 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 5．已知椭圆 的短轴长为8，且一个焦点是圆 的圆心， 则该椭圆的左顶点为（ ） A． B． C． D． 6．设等差数列 的前n 项和为 ，已知 A．35 B．30 C．25 D．15 7．已知抛物线 与直线 相交于A、B 两点，其中A 点的坐标是(1， 2)．如果抛物线的焦点为F，那么 等于（ ） A．1 B．6 C． D．7 8．已知点P 是双曲线E： 的右支上一点， ， 为双曲线E 的左、右焦点， 的面积为20，则下列说法正确的个数是（ ） ①点P 的横坐标为 ；② 的周长为 ；③ 小于 ；④ 的内切圆 半径为 ． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、选择题；本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 9．下列说法正确的是（ ） A．点 关于直线 的对称点为 B．已知 ， 两点，则直线 的方程为 C．过点 作圆 的切线，则切线方程为 D．经过点 且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为 或 10． 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，S 为 的面积，且 ， ，下列选项正确的是（ ） A． B．若 ，则 有两解 C．若 为锐角三角形，则b 取值范围是 D．若D 为 边上的中点，则 的最大值为 11．已知等差数列 为递增数列， ， ，该数列的前n 项和为 ，则下 列说法正确的为（ ） A． B． 或 最小 C．公差 D． 12．已知双曲线 的上､下焦点分别为 ， ，点P 在双曲线C 的上支上，点 ，则下列说法正确的有（ ） A．双曲线C 的离心率为 B． 的最小值为8 C． 周长的最小值为 D．若 内切圆的圆心为M，则M 点的纵坐标为3 三、填空题；本题共4 小题，每小题5 分，共20 分 13．若直线l 与 轴交点的横坐标为 ，倾斜角为 ，则直线l 的方程为______． 14．设数列 的前 项和为 ， ，则数列 的通项公式为______． 15．从点(2,3)射出的光线沿与直线x－2y＝0 平行的直线射到y 轴上，则经y 轴反射的光线 所在的直线方程为_____________． 16．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 的焦点为F． 的坐标为______； 若M 是抛物线上的动点，则 的最大值为______． 四、解答题；本题共6 个小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．在平面直角坐标系 中，已知圆 及点 ， . (1)若直线平行于 ，与圆 相交于 ， 两点，且 ，求直线的方程； (2)对于线段 上的任意一点 ，若在以点 为圆心的圆上都存在不同的两点 ， ，使 得点 是线段 的中点，求圆 的半径的取值范围. 18．已知等比数列 的前n 项和为 ，且 ， . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前n 项和 . 19．棱长为2 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F 分别是DD1，DB 的中点，G 在棱CD 上， 且CG CD． （1）证明：EF⊥B1C； （2）求cos ， ． 20．如图，已知椭圆 ，椭圆的长轴长为8，离心率为 ． 求椭圆方程； 椭圆内接四边形ABCD 的对角线交于原点，且 ，求四边形 ABCD 周长的最大值与最小值． 21．等差数列 的前 项和为 ，已知 ， 为整数，且 . (1)求 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 . 22．已知抛物线 ， 为其焦点，过点 的直线交抛物线于 两点，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，如图所示. (1)求点 的轨迹 的方程； (2)直线 是抛物线的不与 轴重合的切线，切点为 ， 与直线 交于点 ，求证：以线 段 为直径的圆过点 . 参考答案 1．D 根据给定的4 项，写出数列的一个通项公式即可计算作答. 因 ，因此符合题意的一个通项公式为 ， 由 解得： ， 所以 是这个数列的第15 项. 故选：D 2．D 数形结合得到当圆心 与 的连线和直线l 垂直时， 最小，再使用垂径定 理求出最小值. 点 在圆的内部，当圆心 与 的连线和直线l 垂直时， 最小， ，圆半径 ，由垂径定理得： 故选：D 3．C 利用必要条件和充分条件的定义判断. 不等式 ，解得 ， 所以不等式 成立的一个必要不充分条件是 ， 故选：C 4．C 由已知，根据题意，将 利用线性运算表示成 的关系，然后利用待定系数法 即可求解出 . 由已知，在平行六面体 中， 与 的交点为 ， 所以 所以 . 故选：C. 5．D 根据椭圆的一个焦点是圆 的圆心，求得c，再根据椭圆的短轴长为8 求得 b 即可. 圆 的圆心是 ， 所以椭圆 的一个焦点是 ，即c=3， 又椭圆 的短轴长为8，即b=4， 所以椭圆的长半轴长为 ， 所以椭圆的左顶点为 ， 故选：D 6．B 试题分析：∵数列 为等差数列，∴ 成等差数列，即5,15-5， 成等 差数列， ∴ ，即 ． 考点：等差数列的性质． 7．D 试题分析：把点（1，2），代入抛物线和直线方程，分别求得p=2，a=2 ∴抛物线方程为 ，直线方程为2x+y-4=0，联立消去y 整理得 ，解得x 和1 或4， A ∵ 的横坐标为1，∴B 点横坐标为4，根据抛物线定义可知|FA|+|FB|= +1+ +1=7，故选 D．. 考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程；抛物线的简单性质． 8．C 设 的内心为I，连接IP， ， ，求得双曲线的a，b，c，不妨设 ， ， ，运用三角形的面积公式求得P 的坐标，运用两直线的夹角公式可得 ，由两点的距离公式，可得 的周长，设 的内切圆半径为r ，运用三角形的面积公式和等积法，即可计算r． 设 的内心为I，连接IP， ， ， 双曲线E： 中的 ， ， ， 不妨设 ， ， ， 由 的面积为20，可得 ，即 ， 由 ，可得 ，故①正确； 由 ，且 ， ， 可得 ， ， 则 ， 则 ，故③正确； 由 ， 则 的周长为 ，故②正确； 设 的内切圆半径为r， 可得 ， 可得 ，解得 ，故④不正确． 故选：C． （1）坐标法是解析几何的基本方法； （2）灵活运用定义在解析几何中是常见的思路； （3）解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于 图形寻找几何关系可以简化运算． 9．AD 对于A 选项，根据关于 对称的点的坐标关系判断即可；对于B 选项，已知 ， 两点，且 时满足；对于C 选项，根据圆心到直线的距离解得直线斜 率 或 ，进而判断；对于D 选项，分直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况求 解即可. 解：对于A 选项，根据关于 对称的点的坐标关系得点 关于直线 的对称 点为 ，故正确； 对于B 选项，已知 ， 两点，且 时，直线 的方程为 ，故错误； 对于C 选项，过点 作圆 的切线，直线斜率一定存在，故设切线方程为 ，即 ，进而圆心（原点）到直线的距离为 ，解得 或 ，故切线方程为 或 ，故错误； 对于D 选项，当直线过坐标原点时，直线方程为 ，当直线不过坐标原点时，设方 程为 ，待定系数得 ，所以方程为 ，故经过点 且在两坐标轴上 截距都相等的直线方程为 或 ，故正确. 故选：AD 10．BCD 由数量积的定义及面积公式求得 角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC 选项，利用 ，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D． 因为 ，所以 ， ，又 ， 所以 ，A 错； 若 ，则 ，三角形有两解，B 正确； 若 为锐角三角形，则 ， ，所以 ， ， ， ，C 正确； 若D 为 边上的中点，则 ， ， 又 ， ， 由基本不等式得 ， ，当且 仅当 时等号成立， 所以 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，D 正确． 故选：BCD． 关键点点睛：本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解 题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可 以按正常情况求得 ，然后根据 的大小关系判断 角是否有两种情况即可． 11．ABD 等差数列，用基本量代换和性质，对四个选项一一验证： 用 ，整理计算后对AB 验证； 直接计算出公差，验证C； 借助于通项公式，验证D. 根据题意，可得 ，从而可得该数列的前6 项为负数，第7 项为0，从第8 项开始为正数，因此选项A、B 正确； 对于选项C， ， ，公差 ，因此选项C 错误； 对于选项D，因为 ，所以 ，因此选项D 正确. 故选：ABD． 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质． 12．BCD 由双曲线的标准方程得出 ，然后求出离心率判断A，结合双曲线的性质判断B，然后 结合双曲线的定义判断C,D. 对于A： ，∴A 错误； 对于B： 的最小值为 ，B 正确； 对于C：如图， 的周长 （当且仅当Q，P， 三点共线时取等号），C 正确； 对于D：如图， 设 的内切圆分别与 ， ， 切于点A，B，D，则 ， ， ，∴ .又 ，∴ ，∴ ，∴M 点的纵坐标为3，D 正确. 故选：BCD. 13． 由点斜式求直线方程即可. 由题意， ，且直线过点 ， 所以直线方程为 ，即 . 故答案为： 14． 先求出 ，再求出 ，综合即得数列 的通项公式. 当 时， ； 当 时， ，适合 . 所以数列 的通项公式为 . 故答案为： 本题主要考查利用 和 的函数关系求数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握 水平. 15．x＋2y－4＝0 根据平行直线的斜率相等，利用点斜式写出入射光线的方程，求得光线与y 轴的交点，然 后结合点(2,3)关于y 轴对称点的坐标，即可确定反射光线的直线方程. 由题意得，射出的光线方程为 ，即x−2y+4=0，与y 轴交点为(0,2)， 又(2,3)关于y 轴对称点为(−2,3)， ∴反射光线所在直线过(0,2)，(−2,3)， 故方程为 ，即x+2y−4=0. 故答案：x+2y−4=0. 本题主要考查直线方程的求解，反射的性质及其应用，属于中等题. 16． 由抛物线的焦点坐标公式可得所求； 求得抛物线的准线方程，设 ，即有 ，可得 ，再令 ， 转化为t 的函数，配方即可得到所求最大值． 抛物线 的焦点F 的坐标为 ， 若M 是抛物线上的动点，设 ，即有 ， 抛物线的准线方程为 ，可得 ， 即有 ， 可令 ，可得 ， ， 当 即 时，上式取得最大值 ． 故答案为 ， ． 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查转化思想和换元法，以及化简运算能力，属于 中档题． 17．(1) 或 ； (2) . （1）由已知设直线的方程为 ，由 及弦长公式求得 得到直线方程； （2）求出 的轨迹是一个圆，由条件知此圆与圆B 要有公共点，列出半径与满足 的不等式，视为对任意 恒成求得的范围，同时注意点 这一条件的制约，最终求 得的范围. （1）圆 的标准方程为 ，所以 ，半径为2，其中 ，因 为平行于 ，所以设直线的方程为 ， 则圆心 到直线的距离 ，因为 ， 解得 或 ，所以直线的方程为 或 ； （2）设点 ， ， ，由于点 是线段 的中点，则 ， 又 在半径为的圆 上， 所以 ，即 ， 所以 的轨迹为是以 为圆心， 为半径的圆， 又 在半径为的圆 上， 所以两圆有公共点，所以 对 恒成立， 又 ，所以 且 ，解得 ， 又 在圆 外，所以 恒成立， 所以 ，即 ，所以圆 的半径的取值范围为 . 18．(1) ； (2) . （1）先根据 得到 ，然后利用 与 之间的关系求得数列 的通项公式， 注意对 的验证； （2）由（1）得到 ，然后利用分组求和法即可得到 . (1) 当 时， ，解得 ， 即 ， 当 时， ， 易知 满足上式， 所以 . (2) 由（1）可知， ， 易知等比数列 的前n 项和为 ， 等差数列数列 的前n 项和为 ， 所以数列 的前n 项和 . 19．(1)证明见解析 (2) （1）可分别以 ， ， 为 ， ，轴，建立空间直角坐标系，从而得出 ，0， ， ，1， ， ，2， ， ，2， ， ，2， ，进而可求出 的坐标， 只需求出 即可； （2）根据 即可求出点 的坐标，从而得出向量 的坐标，根据 即可求出 的值． 分别以三直线DA，DC，DD1为x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则：E（0，0，1），F（1，1，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），C1（0，2，2）， （1）证明：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴EF⊥B1C； （2）∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ． 本题主要考查了利用坐标解决向量问题和线线垂直问题的方法，向量夹角的余弦公式，向 量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于中档题． 20．（1） ； （2）四边形ABCD 的周长的最小值为 ，最大值为20．. （1）由题意可得a＝4，运用离心率公式可得c，再由a，b，c 的关系可得b，进而得到椭 圆方程； （2）由题意的对称性可得四边形ABCD 为平行四边形，运用向量的数量积的性质，可得 2 2，即有四边形ABCD 为菱形，即有AC⊥BD，讨论直线AC 的斜率为0 ，可得最大值；不为0，设出直线AC 的方程为y＝kx，（k＞0），则BD 的方程为y x，代入椭圆方程，求得A，D 的坐标，运用两点的距离公式，化简整理，由二次函数的最 值求法，可得最小值． 由题意可得 ，即 ， 由 ，可得 ， ， 即有椭圆的方程为 ； 由题意的对称性可得四边形ABCD 为平行四边形， 由 ，可得 ， 即 ， 可得 ，即有四边形ABCD 为菱形， 即有 ， 设直线AC 的方程为 ， ，则BD 的方程为 ， 代入椭圆方程可得 ， 可设 ， 同理可得 ， 即有 ， 令 ， 即有 ， 由 ， 即有 ，即 时， 取得最小值，且为 ； 又当AC 的斜率为0 时，BD 为短轴，即有ABCD 的周长取得最大值，且为20． 综上可得四边形ABCD 的周长的最小值为 ，最大值为20． 熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程求交点、 数量积的运算性质、二次函数的最值求法等是解题的关键． 21．(1) (2) （1）根据题意得公差 为整数，且 ， ，分析求出 即可；（2） ，再利用裂项相消法求和即可. （1）由 ， 为整数知，等差数列 的公差 为整数.又 ，故 ， . 于是 ， ，解得 ，因此 ，故数列 的通项公式为 . （2） ，于是 . 22．(1) (2)证明见解析 （1）设直线方程为 ，与抛物线联立得到 ，进而得到 ， 代入即可求出点 的轨迹 的方程 ； （2）设直线 的方程为： ，与抛物线联立，由 与抛物线 相切，即 推得 ，再通过联立 与 求得 ，推导 即可. （1） 依题意可得，直线的斜率 存在，故设其方程为： ，设点 ， 动点 ，则 ， 所以 ， ， 由 ，消去 得： ，因此 ， 又由 ，得 ，即点 的轨迹方程为 . （2） 由题意知直线 的斜率 存在，设其方程为： ， 由 ，消去 得： ，因此 ， 因为 与抛物线 相切，所以 ，即 ，代入上式，得 ， 即 ，故 ，所以 ，故 ， 又由 得到 ，即 ， 所以 ， 所以 ，因此以线段 为直径的圆过点