江苏省扬州市2021-2022学年高二下学期期初调研测试数学答案

高二数学期初调研测试参考答案 第1 页（共4 页） 2021—2022 学年度第二学期期初调研测试参考答案 高 二 数 学 2022.2 1. D 2. B 3. C 4. A 5. B 6. C 7. C 8. A 9. AC 10. ABD 11. ABC 12.BCD 13. 3 14. (,) e  15. 230 x y  16. 16 17．解：(1) 因为1 :20 lxy   ，且1 2 l l ∥， 所以直线2 l 的斜率为1 2 ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2 分 又直线2 l 过点 (2,4) A ， 所以直线2 l 的方程为 1 4(2)2 y x  ，即 1 3 2 y x   . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5 分 (2) 因为1 :20 lxy   ，且1 2 l l  ， 所以直线2 l 的斜率为2 ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7 分 又直线2 l 过点 (2,4) A ， 所以直线2 l 的方程为 2 8 y x   .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 18．解：(1) 由条件 1 1 a ， * 1 21() n n aan  N ，得 1 12(1) n n a a  ， ….2 分 因为 1 120 a  ，所以 * 1 1 2, 1 n n a n a     N ，即 * 1 2, n n b n b  N · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4 分 所以数列{ } n b 是以2 为首项，2 为公比的等比数列； · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6 分 (2) 由(1)知，数列{ } n b 的通项公式为： 1 * 222, n n n b n   N 选①： 2 log2 n n n bbn  ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7 分       123 212223...2 n n S n  2 (2 2 ... 2 ) (1 2 ... ) n n         · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9 分     212 1 1 2 n n n      2 1 4 2 2 n n n      . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 选②： 221 1111 loglog(1)1 n n bbnnnn    ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9 分 则 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 2 2 3 3 4 1 n n S a a a n n                                       1 1 1 1 n n n    .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 选③： 2n n nbn  ， 则 1 2 1 2 2 2 ... 2n n S n       ， 231 21222...(1)22 n n n Snn   ， · · · · · · · · · · · · 9 分 两式相减得，   2 1 2 2 ... 2 2 n n n S n          1 2122 n n n   1 ( 1)2 +2 n n    . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 19．解：(1) 2 ( ) 3 2 f x x ax b     ，由题意得 (1) 2, (1) 4, ( 1) 0, f f f         即 1 2, 3 2 4, 3 2 0, a b c a b a b              ……..3 分 解得 1 a ， 1 b ， 1 c ．所以 3 2 ( ) 1 f x x x x    ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5 分 高二数学期初调研测试参考答案 第2 页（共4 页） 经检验，符合要求． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6 分 (2) 2 ()321 fxxx   ，令  0 f x   ，得 1 x 或 1 3 x  ． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8 分 x 2  (2,1)   1  1 (1,) 3  1 3 1 (,1) 3 2 ( ) f x   0  0  ( ) f x 1  ↗ 2 ↘ 22 27 ↗ 11 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 所以 max (2 ) )11 ( f f x   ． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 20．解：(1) ① 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为： 2 x ，满足条件， 此时直线l 的倾斜角为 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2 分 ② 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为： ( 2) y k x   ， 由直线l 与圆   2 2 : 2 3 4 C x y    相切， 则圆心到直线的距离 2 |223| 2 1 k d k     ，解得 3 3 k  ，则直线l 的倾斜角为5 6 . 综上得：直线l 的倾斜角为 2 或5 6 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6 分 [注：若漏掉l 的倾斜角为 2 ，则扣2 分] (2) 设 (,) Qxy ，由 2 QAQB  得    2 2 2 2 221 xyxy  ， 化简得  2 2 2 4 x y  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9 分 由题意知点P 在圆   2 2 :234 Cxy  上，点Q 在圆  2 2 2 4 x y    上， 则两圆圆心距离为4 ，所以PQ 的最大值为8. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 21．解：(1) 因为离心率为 3 2 ，所以 3 2 c a  ，即 2 2 3 4 a c  ， 因为 222 cab   ，所以 2 2 2 3 4( ) a a b   ，即 2 2 4 a b  ①. 因为点 2 (2,) 2 在椭圆C 上，所以 2 2 2 1 1 2 a b   ②. 联列①②解得 2 1 b ， 2 4 a  . 所以椭圆C 的标准方程为 2 2 1 4 x y  . · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4 分 (2) 方法一：由 2 2 , 4 4, y kx m x y        得 222 (14)8440 kxkmxm  ， 当 22222 (8)4(14)(44)16(41)0 kmkmkm  时， 设 1 1 (,) Axy ， 2 2 (,) Bxy ，则 1 2 2 2 1 2 2 8 , 1 4 4 4 , 1 4 km x x k m x x k               · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6 分 因为直线OA与直线OB 的斜率之积为 1 4  ，所以 1 2 1 2 1 4 y y x x  ，即 1 2 1 2 4 0 x x y y   ， 高二数学期初调研测试参考答案 第3 页（共4 页） 所以 1212 4()()0 xxkxmkxm  ，即 2 2 1212 (14)4()40 kxxkmxxm  ， 所以 2 2 2 2 2 32 4440 1 4 k m m m k    ，化简得 2 2 241 m k  . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8 分 思路1：因为弦AB 的中点为M ， 所以 2 4 1 4 M km x k    ， 2 2 2 2 4 4 1414 M M kmmkmm ykxm k k     ， 又 2 2 241 m k  ，所以 2 1 (,) 2 k M m m  . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9 分 假设存在正实数t ，使得 1 2 k k   ，即 1 1 2 2 2 2 m m k k t t m m     对任意的符合条件的, k m 恒成立， 则 2 2 2 2 1 4 ( ) 4 k t m m    ，即 222 1 4 4 ktm   ，即 2 2 1 (2)10 4 t m   对任意的符合条件的m 恒成立， 所以 2 20, 1 10, 4 t        又 0 t  ，所以 2 t  ， 1 4  . 故存在正实数 2 t  ，使得 1 2 1 4 k k  . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 思路2：同思路1 可得 2 1 (,) 2 k M m m  ，即 2 1 2 M M k x m y m          ，所以 , 4 1 . 2 M M M x k y m y         又 2 2 241 m k  ，所以 2 2 1 2()4()1 2 4 M M M x y y  ，即 2 2 1(0) 1 2 2 M M M x y y  . 假设存在正实数t ，使得 1 2 k k   ，即 M M M M y y xtxt      对任意的(,) M M x y 恒成立， 即 222 ( ) M M yxt    恒成立，所以 2 2 2 1 (1)() 2 2 M M x x t   对任意的 M x 恒成立， 即 2 2 1 1 ()0 4 2 M x t    对任意的 M x 恒成立，所以 2 1 0 4 1 + 0 2 t             ，又 0 t  ，解之得 1 , 4 2. t        故存在正实数 2 t  ，使得 1 2 1 4 k k  . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 思路3：同思路2 得 2 2 1(0) 1 2 2 M M M x y y  . 取 2 t  ，即 1( 2,0) D  ， 2(2,0) D ， 则 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 (1 ) ( 2) 1 2 2 4 2 2 2 4 2 2 M M M M M M M M M M x x y y y k k x x x x x               ， 故存在正实数 2 t  ，使得 1 2 1 4 k k  . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 方法二：设 1 1 (,) Axy ， 2 2 (,) Bxy ，AB 的中点 ( , ) M M M x y . 高二数学期初调研测试参考答案 第4 页（共4 页） 因为A 、B 在椭圆C 上，且直线OA与直线OB 的斜率之积为 1 4  ， 所以 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 44, 44, 1 , 4