江苏省扬州市2021-2022学年高二下学期期初调研测试数学试卷

2021—2022 学年度第二学期期初调研测试试题 高 二 数 学 2022.2 分 （全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟） 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中 只有一项符合要求) 1. 在等比数列{an}中，若a1= 3 q =−2 ，则a3= ( ). A. −6 B. −12 C. 6 D. 12 2. 双曲线x 2 8 −y 2 4 =1的焦点坐标为( ). A. ( −2, 0) ，(2, 0) B. ( −2❑ √3, 0) ， (2❑ √3, 0) C. (0, −2)， (0, 2) D. (0, −2❑ √3) ， (0, 2❑ √3) 3. 圆C1 x 2+ y 2−4=0和圆C2 x 2+ y 2−6 x−8 y+9=0的位置关系为( ). A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 4. 下列函数中，在 (1, +∞ )上为增函数的是( ). A. y=x3-3x B.y=lnx-x C.y=x+4 x D.y=x 2-3x+1 5. 在等差数列 { an}中，若a5=2，a9=10则S10= ( ). A. 68 B. 78 C. 156 D. 136 6. 若抛物线的顶点为坐标原点，焦点 F 为椭圆x 2 4 + y 2 3 =1 的右焦点， P 为抛物线上的 动点，Q (5,3) ，则 PF +PQ 的最小值为( ). A. 4 B. 5 C. 6 D. 2 17 7. 意大利数学家斐波那契在 1202 年著的《计算之书》中记载了斐波那契数列 { Fn} ，此数列满足：F1=F2=1，且从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即Fn+2= Fn+1+Fn(n∈N ∗) ，则在该数列的前 2022 项中，奇数的个数为( ). A. 672 B. 674 C. 1348 D. 2022 8. 已知直线l : x+ ay−a−1=0 与圆 C:( x −2)2 +y2 =4 交于 A､B 两点，点 M 在圆 C 上，则 △MAB 面积的最大值为( ) A.3 ❑ √3 B.4 ❑ √2 C.2❑ √2+2 D. 2❑ √2+ 2❑ √6 3 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分) 9. 经过点M ( −2, −4) 且在两坐标轴上截距相等的直线可以是( ). A. 2x-y=0 B.x-2y=0 C.x+y+6=0 D.x-y-2=0 10. 若数列 {an}为等差数列，则下列说法中正确的有( ). A. 数列2a1,2a2,2a32an,为等差数列 B. 数列a2,a4,a6a2n,为等差数列 C. 数列{anan+1}为等差数列 D. 数列{an+an+1}为等差数列 11. 已知函数 f( x) =ae x+sinx(a∈R)，则下列说法中正确的有( ). A. 当a =−2 时，f( x) 在 x = 0 处的切线方程为 y =−x−2 B. 当 a =1 时，f( x)在(−3 π 2 , π 2) 上恰有 2 个零点 C. 当 a <0 时，f( x) 在(−3 π 2 ,−π 2) 上单调递减 D. 当 a >0 时，f( x)≥0在(−3 π 2 , π 2) 上恒成立 12. 对于椭圆C1：x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 ( a>b >0 )，定义双曲线C：x 2 a 2 −y 2 b 2 =1为其伴随双曲 线，则下列说法中正确的有( ). A. 椭圆C1 与其伴随双曲线C2 有四个公共点 B. 若椭圆C1 的离心率是其伴随双曲线C2 的离心率的1/3,则伴随双曲线C2的渐近线方 程y=± 2❑ √5 5 x C. 若椭圆C1的左、右顶点分别为 A 、 B ，直线l : x = t (0< t <a)与椭圆C1相交于 P 、 Q 两点，则直线 AP 与直线BQ 的交点在伴随双曲线C2上 D. 若椭圆C1 的右焦点为 F ，其伴随双曲线C2 的右焦点为F ,, 过F ,,作C2的一条渐近线 的垂线，垂足为H ，且△HFF ,为等腰三角形，则椭圆C1 的离心率为 ❑ √5 5 或 ❑ √10 5 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 过点A ( −1,2)作圆C:(x −1) 2+( y −2) 2 =1 的切线，切点为 B，则线段 AB 的长为 ___________ 14. 函数f(x)=lnx x 的单调递减区间为_______________ 15. 已知双曲线: C：x2 −y2 = 1，过 (2,1) P 作直线 l 与双曲线 C 交于 A 、 B 两点，且 P 为弦 AB 的中点，则直线 l 的方程为 _________ . 16. 已知数列 {an } 满足a1 =1 an+1+an=-3n(n∈N ∗N ，记数列 { an} 的前 n 项和为 Sn ，若 Sn=−192 ，则 n = ___________ . 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤） 17．（本小题满分 10 分） 已知直线11 ：x-2y=0，直线l2 过点A (2,4). (1) 若l1∥l2 ，求直线l2的方程； (2) 若l1⊥l2 ，求直线l2的方程. 18．（本小题满分 12 分） 已知数列 { an} 满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N ∗),令 bn=an+1 (1) 证明：数列 {bn} 是等比数列； (2) 求数列_________ 的前 n 项和Sn 从条件① {bn+log2 bn} ②{ 1 log1log2bn+1}  ③ {nbn}中任选一个，补充在上述横线中，并给予解答，若有多个解答，则按照第一个 解答评分. 19．（本小题满分 12 分） 已知函数f (x )= x 3+ax2 +bx +c 在点P (1,2)处的切线斜率为 4，且在x = −1 处取得 极值. (1) 求函数f (x )的解析式； (2) 当x∈ [ −2,2]时，求函数 ( ) f x 的最大值. 20.（本小题满分 12 分） 已知直线 l 过点 (−2,0) A ，点 P 在圆C: x 2+( y+2❑ √3) 2=4 上. (1) 若直线 l 与圆 C 相切，求直线 l 的倾斜角； (2) 已知 B (1,0) ，点 Q 满足 QA =2QB ，求点 Q 的轨迹方程，并求线段 PQ 长的最 大值. 21．（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系中，椭圆C：x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 = ( a>b >0 )的离心率为❑ √3 2 ，且点(❑ √2, ❑ √2 2 )在椭圆 C 上. (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 若直线l :y = kx + m 交椭圆 C 于 A 、 B 两点，弦 AB 的中点为 M ，直线 OA 与 OB 的斜率之积为−1 4 且D1（-t,0）、D2(t, 0) (t>0)记直线MD1 与MD2 的斜率分别 为, k1 k2 ，请探究：是否存在正实数 t ，使得k1 k2为定值？若存在，请求出 t 及k1 k2 的值；若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)= ln x- ax ( aϵR ) (1) 若函数 (f x ) 的最大值为 −1，求实数 a 的值； (2) 若不等式f(x)≤e x−x−a在xϵ [1, ∞) 上恒成立，求实数 a 的取值范围