江苏省如皋市2021-2022学年度高二年级第二学期 期初调研 数学答案

如皋市2021-2022 学年第二学期期初调研 高二数学答案解析 1.【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查数列的应用，属于基础题. 构造数列，得通项公式，求 即可. 【解答】 解：从上到下，设每层球的个数构成数列 由题意可知 ， ， ，…， ， … ， 故 ，即第十层球的个数为 2.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是掌握充分条件与必要条件的判断方法，属于基础题． 根据椭圆的性质结合充分、必要条件的定义判断即可. 【解答】 解：当椭圆 的焦点在x 轴上时， ，得 ； 当椭圆 的焦点在y 轴上时， ，得 故“椭圆 的离心率为 ”是“ ”的必要不充分条件． 故选： 3.【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查等比数列的通项公式与等比数列求和公式，属于基础题. 先由已知条件与等比数列的通项公式求出公比q 与首项 ，再由等比数列求和公式求解即可. 【解答】 解：由题意可得 ，解得 ， ， 所以 故选 4.【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查圆柱、圆锥的体积和结构特征，属于基础题. 求出该陀螺的总体积，利用圆柱、圆锥的体积公式即可求解. 【解答】 解：由题意，该陀螺的总体积为 ， 设底面半径为r，则 ，解得 ， 故选： 5.【答案】B 【解析】解： 直线l： ，即 直线l 过定点 ， 圆C： ， 圆心 ，半径 ， 当直线AC 垂直l 时，圆心 到直线l 的距离最长， 圆C： 上的动点P 到直线l： 的距离的最大值是 故选： 先求出直线l 的定点，再结合圆的性质，以及两点之间的距离公式，即可求解． 本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 6.【答案】D 【解析】 【分析】 本题主要考查空间中点到平面的距离，属于中档题； 根据题意建立空间直角坐标系，求出面 的法向量，再利用空间中点到平面的距离公式得出结论. 【解答】 解：如图，在堑堵 中，由 可知， 以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴， 为x 轴，建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量为： ， 则 ， 取 ，得： ， 设点P 到平面 的距离为d， 则 ， 故选 7.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查二项式展开式指定项系数的求解，属于基础题. 将题中等式左边变形为 ，再根据二项式展开式的通项即可得到答案. 【解答】 解：由题意得： ， 则 故选 8.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查双曲线的性质，属于中档题． 分两种情况讨论A，B 在y 轴的同侧和两侧，可得圆心M 在 的角平分线上，过M 作垂直于OA，AF 的垂线，由题意可得四边形MTAN 为正方形，再由题意可得 ，所以 ，由题意可得NA，ON 的值，求出外接圆的半径，由题意可得a，b 的关系求出离心率． 【解答】 解： 若A，B 在y 轴同侧，不妨设A 在第一象限，如图，设 内切圆的圆心为M，则M 在 的平分线 Ox 上，过点M 分别作 于N， 于T，由 得四边形MTAN 为正方形，由焦点到 渐近线的距离为b 得 ，又 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，从而可得 ； 若A，B 在y 轴异侧，不妨设A 在第一象限如图，易知 ， ， ，所以 的内切圆半径为 ， 所以 ，又因为 ，所以 ， ， 所以 ， ，则 ，从而可得 综上，双曲线C 的离心率为 或 故选：D 9.【答案】ACD 【解析】 【分析】 本题主要考查等差数列的通项公式、数列的单调性和等比中项，属于基础题． 由题意求得通项公式判断A，根据公差的符号判断B；利用等比中项判断C；根据数列的函数特征判断 【解答】 解：由题意得： ，因为 ，所以 ， 所以 的通项公式为 ，A 选项正确； 由于 ，所以 为递增数列，B 选项错误； 通过计算可得 ，其中 ，C 选项正确； 因为 为递增数列，且 ， ，故 在 时取得最小值， ，D 选 项正确. 故选 10.【答案】AC 【解析】 【分析】 本题主要考查排列组合的应用，分类加法与分步乘法计数原理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题. 根据题意，利用排列与排列数公式，组合与组合数公式，以及分类加法与分步乘法计数原理逐项进行判断即 可得到结果． 【解答】 解：若A、B 两人在一起，则有 种方法，故A 正确； 若A、B 两人不相邻，先将A，B 之外的3 人全排列，产生4 个空，再将A，B 两元素插空，所以共有 种，所以B 不正确； 因为A 不是在B 的左边就是在B 的右边，若A 在B 左边有 种方法，故C 正确； 因为A 在最左边的站法有 种，B 站最右边站法有 种，且A 站在最左边，B 站最右边有 种， 故若A 不站在最左边，B 不站在最右边共有 种方法，故D 错误. 故选 11.【答案】BCD 【解析】 【分析】 本题考查了简单组合体及其结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积，平面的基本性质及应用， 线面平行的判定，线面平行的性质，面面平行的判定和空间中的距离，属于较难题. 利用线面平行的性质得若 平面 ，则点 M 不在棱 上，对A 进行判断，利用线面平行的判定 得 平面 ，再利用空间距离把问题转化为求点 到平面 的距离，再利用三棱锥体积等量对 B 进行判断，再利用面面平行的判定得过 且与面 平行的平面截正方体所得截面为四边形 ， 再利用平面几何知识计算，对C 进行判断，利用正方体的外接球结构特征得过PQ 的平面截正方体的外接球 所得截面面积最小时，截面圆的圆心是PQ 的中点E，再利用平面几何知识得截面圆的半径，最后计算对D 进行判断，从而得结论. 【解答】 解：对于 如图：在正方体 中. 因为点M 在棱 上，所以直线 平面 设 因为Q 是BC 的中点，所以 ，而P 是AB 的中点， 因此取 的中点为S，连接AS，则 因为若 平面 ，而平面 平面 ， 所以AM 与AS 重合，而此时点M 不在棱 上，故A 不正确; 对于 如图：在正方体 中. 连接AC 与 因为P，Q 分别为棱AB，BC 的中点，所以 ， 而 ，因此 又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 因此直线 到平面 的距离就是点 到平面 的距离. 设点 到平面 的距离为d，而正方体 的棱长为1， 则 ， ，因此 ， 而 ，点P 到平面 的距离为 ， 所以由 得 ，解得 ，故B 正确; 对于 如图：在正方体 中. 取AD 的中点H，CD 的中点G，连接 ， ， 则四边形 是过 的正方体的一个截面. 又因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 又因为由选项B 知： 平面 ，而 ， 、 平面 ， 所以平面 平面 ， 即过 且与面 平行的平面截正方体所得截面为四边形 又因为四边形 的面积为 ， 所以过 且与面 平行的平面截正方体所得截面面积为 ，故C 正确; 对于 如图：在正方体 中. 连接 ，则 的中点O 是正方体外接球球心，且外接球半径为 因为由对称性知：过PQ 的平面截正方体的外接球所得截面面积最小时， 截面圆的圆心是PQ 的中点E， 所以连接OP，OQ，OE，则 ，因此 所以截面圆的半径为 ， 因此截面圆的面积为 ，故D 正确. 12.【答案】BC 【解析】 【分析】 本题主要考查抛物线的性质及几何意义，直线与抛物线的位置关系，抛物线的概念及标准方程，难度较大， 属于困难题. 首先求出抛物线的解析式，设出M、N 坐标联立进行求解，当 时， ，进而判断选项A， 再根据韦达定理和基本不等式进行判断选项B，画出大致图像过点M 作准线的垂线，垂足为 ，交y 轴于 ，结合抛物线定义判断选项C，过G 作GH 垂直于准线，垂足为H，结合 的周长为 进而进行判断选项D 即可. 【解答】 解：由题意得点 在抛物线C： 上， 所以 ，解得 ，所以C： ，则 ， 设直线l： ，与 联立得 ， 设 ， ，所以 ， ， 所以 ， 当 时， ，A 项错误； ， 则 ， 当且仅当 ， 时等号成立，B 项正确； 如图， 过点M 作准线的垂线，垂足为 ，交y 轴于 ， 取MF 的中点为D，过点D 作y 轴的垂线，垂足为 ， 则 ， 是梯形 的中位线， 由抛物线的定义可得 ， 所以 ，所以以MF 为直径的圆与y 轴相切， 所以 为圆与y 轴的切点，所以点D 的纵坐标为 ， 又D 为MF 的中点，所以点M 的纵坐标为 ， 又点M 在抛物线上，所以点M 的横坐标为 ，C 项正确； 过G 作GH 垂直于准线，垂足为H， 所以 的周长为 ， 当且仅当点M 的坐标为 时取等号，D 项错误. 故选 13.【答案】36 【解析】 【分析】 本题考查排列与组合的应用，属于基础题. 根据题意，将5 人分成3 组，有1，1，3 和2，2，1 两种分组方法，再分别计算每组的安排方法，即可得解. 【解答】 解：由题设，5 名北京冬奥会志愿者分配到3 个项目进行培训的有两类分组： 1、各组人数以 分组，共有 种； 2、各组人数以 分组，共有 种； 共有36 种分配方式. 故答案为： 14.【答案】 【解析】解：由直线AB 与双曲线左右支均有交点，则直线AB 与渐近线 必交于第二象限． 直线AB 的斜率必大于渐近线 的斜率，即 ，即 ，又 ， ， 双曲线的离心率 ， 双曲线的离心率的取值范围 ， 故答案为： 由题意可知：直线AB 的斜率必大于渐近线 的斜率，根据双曲线的离心率公式，即可求得答案． 本题考查双曲线的渐近线方程及离心率公式，考查转化思想，属于基础题． 15.【答案】298 【解析】 【分析】 本题考查数列的递推关系，数列的求和，属于中档题. 当n 为偶数时，可求出前12 项中偶数项的和;当n 为奇数时，可用 表示出前12 项中奇数项的和，即可求解. 【解答】 解：当n 为偶数时， ， 所以 ， ， 所以 当n 为奇数时， ，即 ， 所以 ， ， ， ， ， 所以前12 项的和 16.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查切点弦方程，属于中档题。 根据题意求出AB 的方程，即可求出定点；设 ，由于D 是弦AB 的中点，所以 ，即可求得 点D 的轨迹方程。 【解答】 解：设 ，圆C 的圆心为 ，半径 ， 则 ， 故以P 为圆心，半径为 的圆的方程为： ， 即 ， ①， 圆 ②， ②-①并化简得直线AB 的方程为： ， 也即 ， 所以 ，所以定点坐标为 设 ，由于D 是弦AB 的中点，所以 ， 设定点为 ， 则 ， 即 ， 化简得 ， 所以D 点的轨迹方程为 故答案为： ； 17.【答案】解： 当 时， ，故 ； 故 ，则 ，又 满足 ， ， 由 可得： ， 故 【解析】本题考查数列的通项公式与前n 项和公式、“裂项相消法求和”，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题． 利用递推关系即可得出； 利用裂项相消法求和，即可得出． 18.【答案】 证明： 平面 平面ABCD， ， ，有 且ABCD 是直角梯形， ，即 ， ， ，AC， 平面PAC， 平面 解：由 知， 平面PAC， 即为其线PB 与平面PAC 所成角， ，则 ， 【解析】本题主要考查线面垂直的判定及三棱锥的体积公式，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题. 由题意，推导出 ， ，由此可证直线 平面PAC； 由题意，得 即为其线PB 与平面PAC 所成角，从而可求出PB，PC，进而利用三棱锥的体积公式 求解即可. 19.【答案】解： ， ， 依题意， ， 而 ， 所以数列 是以1 为首项， 为公比的等比数列， ， 【解析】本题主要考查数列的递推式，等比数列的判定，是基础题． 由数列的递推关系得 的值； 由数列的递推关系得数列 是以1 为首项， 为公比的等比数列， 20.【答案】 解：抛物线C 的准线方程为 ，所以 ， 又 ，即 ，所以 ，所以 ， 所以抛物线C 的方程为 ； 证明：设点 ，由题意切线不为y 轴，设直线EA 的方程为 ， 与抛物线方程联立，消去y，可得 ，① 因为直线EA 与抛物线C 相切， 所以 ，即 ， 代入①可得 ，所以 ，即 设切点 ，则点O、B 关于直线EF： 对称， 则 ，解得 ， 即 当 时，直线AF 的斜率为 ，直线BF 的斜率为 ， 所以 ，即A，B，F 三点共线． 当 时， ， ，此时A，B，F 三点共线． 所以A，B，F 三点共线. 【解析】 本题考查抛物线的标准方程和直线与圆、直线与抛物线的交点问题 ，直线过定点问题，直线过定点 问题，关键是联立方程，求解. 由抛物线的定义 ， ，将点M 代入抛物线方程得， ，联立方程求得 ， 所以抛物线 C 的方程为 设 ，由题意知切线不为y 轴，设直线EA： ，与抛物线联立，由 得 ，进而得 A 的坐标； 则由几何性质可以判断点O、B 关于直线EF： 对称，得B 的坐标；由A，B，F 三点共线，可知 直线 AB 过定点 21.【答案】解： 设O 是AD 中点， 为正三角形，则 因为平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面PAD，所以 面 又因为 ， ， 所以 为正三角形，所以 建立如图所示空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， 于是 ， ， 设平面PEC 的法向量为 ， 由 即 可取 平面EBC 的一个法向量为 ，所以 ， 又由图可得二面角 为钝角， 所以二面角 的余弦值为 设 ，则 ， ， ， 所以 ， ， 解得 或 舍， 所以线段PB 上存在点M 满足 ， 使得异面直线DM 和PE 所成的角的余弦值为 【解析】本题考查利用向量求二面角以及异面直线所成的角，涉及面面垂直的性质，属于中档题. 由题意建立适当的空间直角坐标系，利用法向量求二面角的平面角大小； 利用向量求出异面直线所成的角，进而求出 即可. 22.【答案】解： 因为 ，所以 ， 又因为 ，所以 ， ，所以椭圆C 的标准方程为： 设点 、 ，且 ， ， 因为 ，所以MN 的方程为 ， 联立 得： ， 所以 ， 又 ， 因为 所以原式 假设存在常数 使 成立，设直线l 的方程为 ， 由 消去y 得 ， ， ， 又 ， 因此， ，故 【解析】本题考查椭圆的性质与方程，考查三角形面积的求法，考查设而不求法的应用，考查非对称韦达问 题的处理，属于难题． 先求出椭圆的方程，设点 、 ，再利用 即可求 的值； 设直线l 的方程为 ，则 ，再结合韦达定理即可求得