精品解析：宁夏回族自治区银川一中2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）

银川一中2021/2022 学年度（下）高一期中考试 数学试卷 一、选择题：每小题5 分，满分60 分． 1. 与2022°终边相同的角是（ ） A. B. C. 222° D. 142° 【1 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】终边相同的角，相差360°的整数倍，据此即可求解. 【详解】∵2022°＝360°×5＋222°，∴与2022°终边相同的角是222°. 故选：C. 2. 已知第二象限角 的终边上一点 ，则角 的终边在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【2 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据第二象限横纵坐标的正负值判断得 再判断角 的象限即可. 【详解】因为点 在第二象限，所以有 所以 是第三象限角. 故选：C 【点睛】本题考查各象限三角函数值的正负.属于基础题. 3. 在四边形 中，若 ，则四边形为（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 等腰梯形 D. 菱形 【3 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】依据向量相等的几何意义和向量数量积的几何意义去判断四边形的形状. 【详解】由 ，可得 ，即 ，则四边形 为平行四边形； 又由 ，可得 ，则平行四边形四边形 为菱形 故选：D 4. （ ） A. B. C. 1 D. 【4 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式和余弦的二倍角公式计算． 【详解】 ． 故选：B． 5. 已知 ，向量 与 的夹角为 ，则 （ ） A. B. C. D. 【5 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的数量积去求 的值. 【详解】 故选：D 6. 函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 【6 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】利用关于正切型函数的不等式去求函数 的定义域 【详解】由 ，可得 ，则 则函数 的定义域为 故选：C 7. 已知 ，若A、 、 三点共线，则 为（ ） A. B. C. D. 【7 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】先求得t 的值，再去求 的值 【详解】由 ，若A、 、 三点共线，可得 ，则 则 ， ， ，则 故选：A 8. 若 ,且 , ,则 A. B. C. D. 【8 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和差的正弦公式将β＝α-(α﹣β)进行转化求解即可． 【详解】β＝α-(α﹣β)， ∵ ＜α ， ＜β ， β＜ ， ∴ α ， ∵sin（ ） 0， ∴ ＜0，则cos（ ） ， ∵sinα ， ∴cosα ， 则sinβ＝sin[α-(α﹣β)]＝sinαcos（α﹣β）-cosαsin（α﹣β） （ ） ， 故选B 【点睛】本题主要考查利用两角和差的正弦公式,同角三角函数基本关系，将β＝α-(α﹣β)进行转化是解决 本题的关键，是基础题 9. 化简 的结果为（ ） A. B. C. D. 【9 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】利用给定角的 范围确定出 与 的正负，再利用二倍角的余弦公式化简变形即得. 【详解】因 ，则 ，且 ，即有 ， 所以 . 故选：A 10. 已知 是平面上不共线的三点， 是 的重心，动点 满足： ，则 一定为 的 A. 重心 B. 边中线的三等分点（非重心） C. 边中线的中点 D. 边的中点 【10 题答案】 【答案】B 【解析】 【详解】 如图所示：设 的中点是 ， 是三角形 的重心， 在 边的中线上，是中线的三等分点，不是重心 故选B 11. 17 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄 金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与 腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是 顶角为108°的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个 黄金 中， .根据这些信息，可得 （ ） A. B. C. D. 【11 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先求出 ， ，再根据二倍角余弦公式求出 ，然后根据诱导 公式求出 ． 【 详解】由题意可得： ，且 ， ，解得： ， 解得： ， 故选：B 12. 已知函数 在区间 上是增函数，且在区间 上恰好取得一次最大值，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【12 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先化简函数 的解析式，再依据题意列出关于 的不等式组，即可求得 的取值范围. 【详解】 由 ，可得 由 在区间 上恰好取得一次最大值，可得 ，解之得 又 在区间 上是增函数，则 ，解之得 综上， 的取值范围是 故选：B 二．填空题：每题5 分，共20 分. 13. 已知扇形的圆心角为 ，扇形的周长为 ，则扇形的面积为_____ . 【13 题答案】 【答案】4 【解析】 【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，根据扇形周长和弧长公式列式，解之得r＝2，l＝4，再由扇形面积 公式可得扇形的面积S． 【详解】设扇形的半径为r，弧长为l， 则 解得r＝2，l＝4 由扇形面积公式可得扇形面积S lr 2×4＝4 故答案为4 【点睛】本题给出扇形的周长和圆心角的大小，求扇形的面积，着重考查了扇形的面积公式和弧长公式等 知识，属于基础题． 14. 已知 ， ，则 的值为_______． 【14 题答案】 【答案】3 【解析】 【分析】由两角和差的正弦公式，即可得出结果. 【详解】由题可得 所以 故答案为：3 15. 已知当 时函数 取得最大值，则 __________. 【15 题答案】 【答案】 【解析】 【分析】 ， 为锐角，由两角和的正弦公式变形函数式，利用正弦函数的最大值 可得结论． 【详解】 ， 令 ， 为锐角， 则 ， 是最大值，所以 ， ， ， ， 所以 ． 故答案为： ． 16. 已知 为等边三角形， ， 所在平面内的点 满足 的最小 值为____________． 【16 题答案】 【答案】 【解析】 【分析】构造不等式去求 的最小值 【详解】 则 （当且仅当 与 方向相反时等号成立） 故答案为： 三．解答题：（共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 若角 的终边上有一点 ，且 . （1）求 的值； （2）求 的值. 【17 题答案】 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的概念，由题中条件，列出方程组求解，即可得出结果； （2）先将原式化简，再由三角函数的定义求出 ，进而可得出结果. 【详解】（1）点 到原点的距离为 ， 根据三角函数的概念可得 ，解得 ， （舍去）. （2）原式 ， 由（1）可得 ， ， 所以原式 . 【点睛】本题主要考查由三角函数的定义求参数，以及根据诱导公式化简求值，属于常考题型. 18. 已知函数 . （1）求的 最小正周期； （2）若 ，且 ，求 的值. 【18 题答案】 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】（1）直接化简函数，再利用三角函数的 周期公式求解. (2)先解方程 得到 的值，再 求 的值. 【 详 解 】 （ 1 ） ． 所以 的最小正周期 ． （2）因为 ， 所以 ， 又 ， 所以 ， 解得 ， 所以 ． 【点睛】把形如y＝asin x＋bcos x 的函数化为 的形式，可进一步研究函数的周期、 单调性、最值与对称性，这是解决类似问题的必备步骤．根据三角函数值求角时，必须先求出角的范围， 然后在该范围内求解． 19. 已知向量 ,其中 . (1)若的 ,求 的值; (2)若 与 垂直,求实数 的取值范围. 【19 题答案】 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【分析】(1)根据平面向量的数量积列方程求出 的值，再根据 的范围确定 的值； (2)根据平面向量的数量积和模长公式求出 的解析式，再求 的取值范围. 【详解】(1)因为 , 即 , 所以 , 所以 ,即 或 . 因为 ,所以 ,即 ； (2)因为 与 垂直, ， , 所以 ,因为 , 所以 , 即 . 【点睛】本题考查了平面向量的数量积与模长应用问题，也考查了三角函数的应用问题，是中档题. 20. 如图，在平面直角坐标系 中，以x 轴的非负半轴为始边的锐角 和钝角 的终边与单位圆分别交 于点A，B，单位圆与x 轴的正半轴交于点M，且 ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的取值范围． 【20 题答案】 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】（Ⅰ）由三角形面积，结合三角形面积公式得 ，而 ，即可求值. （Ⅱ）由题设，应用辅助角公式可得 ，根据 ，即可求范围. 【详解】（Ⅰ）由题设知， ，即 ，又 为钝角， ∴ ， ∴ . （Ⅱ） ，由 ， ， ∴ ， ∵ ，即 ， ∴ . 21. 已知函数 的部分图象如图所示． （1）求函数 在 上的单调递减区间； （2）若函数 在区间 上恰有 个零点，求 的取值范围． 【21 题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得 解析式，再去求函数 在 上的单调递减区间； （2）依据函数 的周期性及对称性去求 的取值范围． 【小问1 详解】 由题可得 ， ，则 ， 当 时， 取得最大值，则 ， 所以 ，又因为 ，故 ∴ ，令 ， ， 则 ， ，故 的单调递减区间为 ， 则 在 上的单调递减区间为 ； 【小问2 详解】 因为 周期为 ，若函数 在区间 上恰有 个零点， 则 ，解得 的取值范围为 ． 23. 某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形 草坪如下图所示，已知： 米， 米，拟在这块草坪内铺设三条小路 、 和 ，要求点 是 的中点，点 在边 上，点 在边 时上，且 . （1）设 ，试求 的 周长关于 的函数解析式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条路每米铺设费用均为 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总 费用. 【23 题答案】 【答案】（1） ，定义域为 ； （2）当 米时，铺路总费用最低，最低总费用为 元． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理通过 ，得出 ，结合实际情况得出 该函数的定义域； （2）设 ，由题意知，要使得铺路总费用最低，即为求 的周长 最小，求出 的取值范围，根据该函数的单调性可得出的最小值. 【详解】（1）由题意，在 中， ， ， ， ， 中， ， ， ，又 ， ， 所以 ，即 . 当点 在点 时，这时角 最小，求得此时 ； 当点 在 点时，这时角 最大，求得此时 . 故此函数的定义域为 ； （2）由题意知，要求铺路总费用最低，只需要求 的周长的最小值即可． 由（1）得 ， ， 设 ， ， 则 ， 由 ，得 ， ，则 ， 从而 ，当 ，即当 时， ， 答：当 米时，铺路总费用最低，最低总费用为 元． 【点睛】本题考查三角函数模型的实际应用，同时也考查了正弦定理、勾股定理的应用，要根据题意构建 函数解析式，并利用合适的方法求解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.