（教研室）山东省潍坊安丘市2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题

（北京）股份有限公司 2022 年11 月份期中检测试题 高二数学 本试卷共4 页，满分150 分 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号填写在答题卡和试 卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3. 第Ⅱ卷必须用0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位 置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、 胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4. 填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第Ⅰ卷（选择题 共60 分） 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 点 到直线 的距离为1，则 （ ） A. 0 或2 B. 1 或2 C. 0 D. 2 3. 已知向量 与 平行，则 （ ） A. 1 B. －1 C. 3 D. －3 4. 直线 ， 的斜率是方程 的两个根，则（ ） （北京）股份有限公司 A. B. C. 与 相交但不垂直 D. 与 的位置关系不确定 5. 在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论. 甲：该圆的半径为 乙：该圆经过点 丙：该圆的圆心为 丁：该圆经过点 如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 （北京）股份有限公司 6. 已知直线： 经过定点 ，直线 经过点 ，且 的方向向量 ，则 直线 的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 正四棱柱 的底面边长为2，点 ， 分别为 ， 的中点，且已知 与 所 成角的大小为 ，则直线 与平面 之间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线： ，点 是圆 ： 内一点，若过点 的圆的最短弦所在直 线为 ，则下列说法正确的是（ ） A. 与圆 相交，且 B. 与圆 相切，且 C. 与圆 相离，且 D. 与圆 相离，且 二、多项选择题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0 分. 9. 已知 ， 为不同的直线， ， 为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， ， 10. 关于直线： ，以下说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 时，直线过第二，三，四象限 C. 时，直线不过第一象限 D. 原点到直线的距离的最大值为1 11. 过点 的直线与圆 ： 相交于不同的两点 ， ，弦 的中点为 ，曲线 为点 组成的集合，则（ ） A. 的最小值为 B. 可能为等腰直角三角形 （北京）股份有限公司 C. 曲线 的方程为 D. 曲线 与圆 没有公共点 12. 如图，在四棱锥 的平面展开图中，四边形 为直角梯形， ， ， .在四棱锥 中，以下结论正确 的是（ ） （北京）股份有限公司 A. 平面 平面 B. C. 三棱锥 的外接球表面积为 D. 平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 第Ⅱ卷（非选择题 共90 分） 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 直线 的横截距与纵截距的和为_________. 14. 已知大小为 的二面角的一个面内有一点，它到二面角棱的距离为2，则这个点到另一个面的距离为____ _____. 15. 点 在圆 上运动，直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点， 面积 的最大值为_________. 16. 已知正方体 的棱长为2，点 是棱 的中点，点 是棱 上的一个动点，设点 ， ， 确定的平面为 ，当点 为 的中点时，平面 截正方体的截面的面积为_________.点 到平面 的距离的最小值为_________. 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分） 已知向量 ， ，且 . （1）求 的值； （2）若 与 互相垂直，求实数 的值. （北京）股份有限公司 18.（12 分） 已知直线过点 ，且倾斜角是直线 ： 倾斜角的 倍. （1）求直线的方程； （北京）股份有限公司 （2）设直线与直线 的交点为 ，点 在直线 上，若三角形 的面积为 ，求点 的坐标. 19.（12 分） 已知圆 ： ，圆 过点 且与圆 相切于点 . （1）求圆 的标准方程； （2）若 是圆 上异于点 的动点， ， 是圆 的两条切线， ， 是切点，求四边形 面积 的最大值. 20.（12 分） 在三棱锥 中， 为等边三角形， 平面 ，将三角形 绕 逆时针旋转至 位置（如图），且二面角 的大小为 . （1）证明： ， ， ， 四点共面，且 ； （2）若 ，设 为 的中点，求 与平面 所成角的正弦值. 21.（12 分） 在边长为 的正方体 上选择四个顶点，然后将它们两两相连，且这四个顶点组成的几何图 形为每个面都是等边三角形的四面体，记为四面体 . （1）请在给出的正方体中画出该四面体，并证明； （北京）股份有限公司 （2）设 的中心为 ， 关于点 的对称的四面体记为 ，求 与 的公共部分的体积.（注：到各个 顶点距离相等的点称为四面体的中心） 22.（12 分） 已知曲线 是到两个定点 ， 的距离之比等于常数 的点组成的集合. （1）求曲线 的方程； （北京）股份有限公司 （2）设过点 的直线与 交于 ， 两点，问在 轴上是否存在定点 ，使得 为定值？ 若存在，求出点 的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 高二数学试题答案 第Ⅰ卷（选择题 共60 分） 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1-5：DABBD 6-8：BCD 二、多项选择题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5 分，选对但不全的得3 分，有选错的得0 分. 9. BC 10. AB 11. BCD 12. ABD 第Ⅱ卷（非选择题 共90 分） 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 14. 15. 6 16. ， 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 解：（1）因为向量 ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 ； （2）当 时， ， ， 因为 与 互相垂直， 所以 ， 得 ， （北京）股份有限公司 得 ； 当 时， ， ， 因为 与 互相垂直， （北京）股份有限公司 所以 ， 得 ， 得 ； 综上所述 . 18. 解：（1）由题意知直线 的倾斜角为 ， 所以直线的倾斜角为 ， 所以直线的斜率为 ， 所以直线的方程为 ， 即 ； （2）联立 ， 得交点坐标为 ， 所以得 ， 设点 到直线的距离为 ， 因为三角形 的面积为 ，所以 ， 得 ， 设 ，则 ， 得 ， （北京）股份有限公司 所以 或 ， 所以 或 . 19. 解：（1）设线段 的垂直平分线为，则圆心 既在直线上，又在直线： 上， （北京）股份有限公司 因为直线 的斜率为 ，所以直线的斜率为－2， 所以直线的方程为 ， 联立 ， 得交点坐标为 ， 所以圆 的圆心坐标为 ，半径为 ， 所以圆 的标准方程为 . （2）由题意得 ， 因为 ， 所以当点 在两圆心的连线上时， 取得最大值或最小值，且最大值为 ， 所以四边形 面积的最大值 . 20. 证明：因为 平面 ， 所以 ， 所以 ，又 ， 所以 平面 ， 假设 四点不共面， 因为 平面 ， 平面 ， 所以平面 平面 ， （北京）股份有限公司 与平面 平面 矛盾， 故 四点共面， 又因为 ， ， 所以 为二面角 的平面角， 所以 ， 即 ， 又 ， 且 ， 所以 平面 ； （北京）股份有限公司 又 平面 ，所以 . （2）以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 ， ， 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系 ； 则 ， ， ， ，得 ， ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，即 ， 令 ，得 ， ； . 21.（1）如图，取 ， ， ， 四点并顺次连接四点， 构成四面体 ， 设正方体 的边长为 ， 则该四面体的每一条边长为 ， 所以证得四面体 为正四面体； （2）连接 ， 交于点 ， 则 为正方体 的中心， 所以 到正方体 的各个顶点的距离相等， 故 为四面体 的中心， 可得 关于 的对称点为 ， 关于 的对称点为 ， 关于 的对称点为 ， 关于 的对称点为 ， （北京）股份有限公司 如图所示，得到四面体 为 ， ， （北京）股份有限公司 设 、 、 分别为 ， ， 的中点， 所以 . 22. 解：（1）由题意得 ， 化简可得 . （2）假设在 轴上存在定点 ，使得 恒为定值； 由直线与曲线 交于 ， 两点，设 ， ， 当直线的斜率存在时，设的方程为 ， 联立 ，得 ， 由韦达定理得， ， 所以 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 ， 由 为定值，得 ，即 ，此时 ， 当直线的斜率不存在时， ， 当 时， ， 所以，在 轴上存在定点 ，使 为定值.