湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高二上学期入学考试数学试题

长郡中学2022 年高二暑假作业检测试卷 数 学 得分： 本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8 页。时量120 分钟。满 分150 分。 第 Ⅰ 卷 一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．已知i 是虚数单位，复数 是纯虚数，则实数x 的值为（ ） A．2 B． C． D．4 2．若 ，则下列不等式成立的是（ ） A ． B． C． D． 3．在平面四边形中，满足 ， ，则四边形ABCD 是（ ） A．矩形 В．正方形 C．菱形 D．梯形 4．《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭， 下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈 上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（ ） A． B． C． D． 5．已知a，b 是两条不重合直线， ， 是两个不重合平面，则下列说法正确的是（ ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则 6．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 ，则 △ABC 的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 7．设 ，若 是 的最小值，则a 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠 最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于 今日的足球．2006 年5 月20 日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家 非物质文化遗产名录．已知某鞠（球的表面上有四个点A，B，C，P，且球心O 在PC 上， AC=BC=4 ，AC⊥BC ， ，则该鞠（球）的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分） 9．下列选项中，与sin30°的值相等的有（ ） A ． B． C． D． 10．某同学在研究函数 ，（ ）时，分别得出下面几个结论，其中正确 的结论是（ ） A．等式 在 时恒成立 B．函数 的值域为 C．若 ，则一定有 D．方程 在R 上有三个根 11 ． 已 知 ， ， ， ，且 的图象的对称中心与对称轴的最小距离为 ，则下列说法正 确的是（ ） A． B． 的图象关于直线 对称 C．把 图象向左平移 单位，所得图象关于y 轴对称 D．保持 图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2 倍，然后把图象向左平移 个单位，得到函数 的图象 12．已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，如图，点F，G，M 分别为CC1，BB1，B1C1 的中点，则下列说法正确的是（ ） A．平面AD1F∥平面A1MG B．直线AD1与直线A1G 所成角的余弦值为 C．平面AFD1截正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面的面积为 D．点C1与点G 到平面AFD1的距离相等 第 Ⅱ 卷 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13．欧拉公式 （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将 指数函数的定义域扩大到复数集，则复数 的共轭复数为________． 14．已知 ，则 ________． 15．已知函数 在 内是减函数，则 的取值范围是________． 16．已知三角形的三边长，其面积是固定的，而已知平面凸四边形的四边长，其面积是不 确定的．现有一平面凸四边形ABCD，AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，则其面积最大值为 ________． 四、解答题（本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10 分） 如图所示，三棱柱 ABC−A1B1C1 中， ， ， ， CA=CB=CC1=1， ， ，N 是AB 中点． （1）用a，b，c 表示向量 ； （2）在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥A1N？若存在，求出M 的位置，若不存在， 说明理由． 18．（本小题满分12 分） 已知函数 ． （1）若函数 在 上有且仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）是否存在实数m，使得函数 （ ）在 上的值域 为 ，若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由． 19．（本小题满分12 分） 如图所示，已知DOE 是半径为 ，中心角为 的扇形，P 为弧 上一动点，四边 形PQMN 是矩形，∠POD=x（ ）． （1）求矩形PQMN 的面积 的最大值及取得最大值时的x 值； （2）在△ABC 中， ， ，其面积 ，求△ABC 的周长． 20．（本小题满分12 分） 如图所示，四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2， AD= ，点E 是PB 的中点． （1）证明：AE⊥PC； （2）求二面角C−AE−D 的大小． 21．（本小题满分12 分） 向量 （2，2），向量b 与向量a 的夹角为 ，且 （1）求向量b； （2）若 （1，0），且 ， （ ， ），其中A，B，C 是△ABC 的 内角，且 ，试求 的取值范围． 22．（本小题满分12 分） 如图①所示，长方形ABCD 中，AD=1，AB=2，点M 是边CD 的中点，将△ADM 沿 AM 翻折到△PAM，连结PB，PC，得到图②的四棱锥P–ABCM． （1）若棱PB 的中点为N，求CN 的长； （2）设P−AM−D 的大小为 ，若 ，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最 小值．