河北省唐山市一中2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题

唐山一中2021—2022 学年度第一学期期中考试 高二年级 数学试卷 命题人：刘月洁 审核人：王倩倩 说明： 1.考试时间120 分钟，满分150 分。2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答 案用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上。 卷Ⅰ(选择题 共60 分) 一．选择题（共12 小题，每小题5 分，计60 分。1-8 题为单选，每小题5 分；9-12 题 为多选，全对得5 分，部分正确得2 分，选错得0 分） 1．“ ”是“直线： 与直线： 垂直”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．方程 表示圆，则k 的取值范围是（ ） A．k 或k>4 B．k= 或k=4 C． <k<4 D． 3．椭圆 的焦距是2，则 的值为（ ） A．5 B．3 C．5 或3 D．20 4．直线y=x+b 与曲线 有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是（ ） A．b=± B． 或 C． D．以上都不对 5．如果抛物线 的准线是直线 ，那么它的焦点坐标为（ ） A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D． 6．一条光线从点 射出，经轴反射后与圆 相切，则反射光 线所在直线的斜率为（ ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 7．已知是椭圆： 的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于 两 点，若 ，且 ，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为 ， ，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2 倍，则 的值不可能为（ ） A. B.1 C. D.2 9．（多选题）设直线 ，其中 且 .给出下列结 论其中真命题有（ ） A．的斜率是 B．的倾斜角是 C．的方向向量与向量 平行 D．的法向量与向量 平行. 10．（多选题）已知直线 和圆 ，则（ ） A．直线l 恒过定点 B．存在k 使得直线l 与直线 垂直 C．直线l 与圆O 相交 D．若 ，直线l 被圆O 截得的弦长为4 11．（多选题）已知曲线 ，则下列结论正确的是（ ） A．若曲线C 是椭圆，则其长轴长为 B．若 ，则曲线C 表示双曲线 C．曲线C 可能表示一个圆 D．若 ，则曲线C 中过焦点的最短弦长为 12．（多选题）过抛物线 的焦点的直线与相交于 ， 两点.若 的最小值为，则（ ） A．抛物线的方程为 B． 的中点到准线的距离的最小值为3 C． D．当直线 的倾斜角为 时，为 的一个四等分点 卷Ⅱ(非选择题 共90 分) 二．填空题（共4 小题，共20 分） 13．已知点 ， ，直线l 过定点（-2,0），且直线l 与线段AB 有公共点，则直 线l 的斜率k 的取值范围是 14．已知双曲线 ： ，与 共渐近线的双曲线 过 ，则 的方程是_______ 15．已知圆C 的圆心 ,其中 ，圆C 与x 轴相切且半径为1，直线过（-2,0）点 且倾斜角为 ，直线与圆C 交于 两点，则 的面积为 16．设O 为坐标原点，抛物线 ，焦点坐标为 ，过N（0,2）的直线与抛物线的 第一象限的交点为M，若点Q 满足 ，则直线OQ 斜率的最小值为 三．解答题（共6 小题，17 题10 分，其他题目每题12 分） 17．（10 分）已知 的三个顶点 、 、 . （1）求 边所在直线的方程； （2） 边上中线 的方程为 ， 边上高线 过原点，求点A 的坐标. 18．（12 分）已知点 ，圆 ． （1）若过点 的直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线 与圆相交于A，两点，弦 的长为 ，求的值． 19．已知椭圆 ： 的离心率为 ，左焦点 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）若直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，且线段 的中点 在圆 上，求 的值. 20．（12 分）已知曲线C：x2－y2＝1 和直线l：y＝kx－1． （1）若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围； （2）若l 与C 交于A、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为 ，求实数k 的值． 21．（12 分）在平面直角坐标系 中，抛物线： 上一点 到焦点的距离 .不经过点的直线与交于，. （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线 ， 的斜率之和为2，证明：直线过定点. 22．（12 分）已知抛物线： 和椭圆： ，过抛物线的焦点 的直线交抛物线于，两点，线段 的中垂线交椭圆于 ，两点． （1）若恰是椭圆的焦点，求的值； （2）若 恰好被 平分，求 面积的最大值． 高二期中数学试卷答案 一．选择1-8 AACBD DAC 9-12 AD BD BC ABD 二．填空 13. 或 14. 15. 16.(0,1) 17． （1） ；（2）点A 坐标( ) 解：（1）由 、 得 边所在直线方程为 ， 即 ； （2）∵A 在AD 上，2m-3n+6=0,又∵BC 高过原点，∴k=2, n=2m ∴ ，综上A( ) 18．（1） 或 ；（2） ． 解：（1）由题意知圆心的坐标为 ，半径 ， 当过点 的直线斜率不存在时，方程为 ， 由圆心 到直线 的距离 知，直线 与圆相切， 当过点 的直线存在斜率 时， 设方程为 ，即 ． 由题意知 ， 解得 ， 直线的方程为 ． 故过点 的圆的切线方程为 或 ． （2） 圆心 到直线 的距离为 ， ， 解得 ． 19. （1） ；（2） . 解：（1）由题意得 ，解得 ， ∴椭圆 的标准方程为 ； （2）设点 、 的坐标分别为 ， ，线段 的中点为 ， 联立 ，消 得 ， 由韦达定理得： ， ∴ ， ， ∵点 在圆 上，∴ ， ∴ ，满足 ，∴ . 20．（1） ；（2）0， ， ． （1）由 ，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0． ∵直线与双曲线有两个不同的交点， ∴ 解得 ，且 ， ∴k 的取值范围为 ． （2）结合（1），设A(x1，y1)、B(x2，y2)． 则x1＋x2＝ ，x1x2＝ ， ∴ ， ∵点O 到直线l 的距离d＝ ， ∴ ， 即 ， 解得 或 ，检验符合． 故实数k 的值为0， ， ． 21．（1） ；（2）证明见解析. （1）抛物线 ： 的焦点 ，准线方程为 ， 因为抛物线上一点 到焦点 的距离 ， 由抛物线的定义得 ，所以 . 所以抛物线 的标准方程是 ； （2）将 代入 可得 或 （舍），所以点坐标为 ， 因为直线的斜率不等于，设直线的方程是 ， ， ， 联立 ，得 ， 因为直线与 有两个交点，所以 ，即 . 由韦达定理得 ， 因为直线 ， 的斜率之和为2， 所以 ， 所以 ， 将 代入上式可得： ，即 ， 所以直线的方程是 ，它过定点 . 22．（1） ；（2） ． 解：（1）在椭圆中， ，所以 ，因为 恰是椭圆 的焦点， 所以 ，所以 ； （2）设直线： ， ， 联立 ，得 ，则 ，则 ， 故 的中点坐标为 ，又因为 恰好被 平分，则 ， ，直线 的斜率等于 ，将M、N 的坐标代入椭圆方程得： ， ，两式相减得： ， 故 ，即直线 的斜率等于 ， 所以 ，解得 ， 由 的中点在椭圆内，得 ，解得 ， 因为 ，所以 的最大值是2， ， 则 面积 ， 所以，当 时， 面积的最大值是 ．