湖北省荆州市沙市中学2021-2022学年高一下学期第一次双周考（半月考）数学试题

2021—2022 学年度下学期2021 级 第一次周练数学试卷 考试时间：2022 年3 月1 日 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1．已知命题p： ， ，则 为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2．若 ， ，则（ ） A. B. C. D. 3．已知角 的终边过点 ,其中 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．已知 为锐角且 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 5．已知扇形的面积为 ，当扇形的周长最小时，扇形的圆心角为（ ） A．1 B． 2 C．4 D．8 6．设 ， ， ，则 ， 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7． 技术的数学原理之一是著名的香农公式： .它表示：在受噪声干扰的信 道中，最大信息传递速度 取决于信道带宽 ，信道内信号的平均功率 ，信道内部的高 斯噪声功率 的大小，其中 叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不 计.假设目前信噪比为1600，若不改变带宽 ，而将最大信息传播速度 提升50% ，那么信噪比 要扩大到原来的约（ ） A．10倍 B．20倍 C．30倍 D．40倍 8．已知 ，将 的图象向右平移 个单位，再向 上平移2个单位，得到 的图象.若对 ，都有 成立， 则 （ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．已知集合 ， ，若 ，则实数a的值可能是（ ） A．−1 B．1 C．−2 D．2 10．若 是第二象限的角，则下列各式中成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正数 满足 ，则下列结论正确的是（ ） A . B. C. D. 12 ．函数 （其中 ， ， ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．函数 在 单调递减 B．函数 图象关于 中心对称 C．若实数m使得方程 在 上恰好有两个实数解 ，则 D．若 在区间 上的值域为 ，则实数 的取值范围为 三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.（第16题第一空2分，第二空3分） 13．已知函数 在 上单调递增，则实数 的最大值是 14． = 15．在 中， ， 边上的高等于 ，则 16 ．已知函数 的图像向右平移θ （ ）个单位得到函数 的图像，则 ；tanθ＝ . 四、解答题：共6小题，70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知集合A＝{x|y＝ }，B＝{x|x2－2mx＋m2－1≥0}. （1）求集合A； （2）若p：x∈A，q：x∈B，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 18. （本题满分10分）已知 ， . （1）求 ； （2）若 ， ，求 . 19. 给定函数 ， ， ，用 表示 ， 中的较大者，记为 . （1）求函数 的解析式并画出其图象； （2）对于任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 20. 已知函数 ，其中 . （1）若函数 的周期为 ，求函数 的对称中心； （2）若 在区间 上为增函数，求 的取值范围. 21. 如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA＝2 km的扇形AOB是某地的一名胜古迹 区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P(点P不与 A，B重合)，并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P.当新建的两 条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA＝θ，公路MB，MN的总长为f(θ)． （1）求f(θ)关于θ的函数关系式，并写出函数的定义域； （2）当θ为何值时，投资费用最低？并求出f(θ)的最小值． 22. 若函数 与 满足： 有解，则称函数 与 具备“相融关系”. （1）若 ， ，判断 与 是否具备 “相融关系”，请说明理由； （2 ）若 与 在 具备“ 相融关 系”，求实数 的范围； （3）若 ，且 与 不具备“相融关系”， 求整数 的最大值. 高一年级第一次周练数学答案 1.D 2.A 3.C 4.C 5.B 【详解】设扇形的圆心角为 ，半径为 ， 则由题意可得 ∴ ， 当且仅当 时 , 即 时取等号， ∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值32. 故选：B. 6．C 7．D 8．C 9.ABC 10.BC 11.BD 【详解】设 ， 是正数，于是 ，两边同时取自然底的对数， 得到 ，也即 ， 不一定成立， A选项错误； ， ，B选项正 确； ，故只需比较 的大小即可，而 ，又 ，于是 ，C选项错误； ，而根据基本不等式可得 ，即 ，故 ，故 ，D选项正确. 故选：BD 12. AD 13. 40 4. 15. 16. -1 2 17. 解(1)∵ ∴ ， ……………… 2分 则 ，∴ ， ∴ . ……………… 5分 (2)∵ ∴由 可得 ， ∴ ……………… 6分 ∵ ： ， ： ，且 是 的充分不必要条件， ∴ ， ……………… 10分 ∴ ， ∴实数 的取值范围是 ． ……………… 12分 18.（1） （2） 19.【答案】（1） ，作图见解析； （2） . 【小问1详解】 ①当 即 时， ，则 ， ②当 即 或 时， ， 则 ， 故 图象如右： 【小问2详解】 由（1）得，当 时， ， 则 在 上恒成立等价于 在 上恒成立. 令 ， ， 原问题等价于 在 上的最小值 . ①当 即 时， 在 上单调递增， 则 ，故 . ②当 即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， 则 ，由 时， ，故不合题意. 综上所述，实数 的取值范围为 . 20.【答案】（1） （2）最大值为 【小问1详解】 由 ， 由 周期为 且 ，得 ，解得 ，即 ， 所以函数 的对称中心是（ ） 【小问2详解】 因为 在区间 上单调递增， 故 在区间 上为单调递增． 由题知，存在 使得 成立，则必有 则 ，解得 ，故 ，所以 的取值范围是为 21.解 (1)连接OM(图略)，在Rt△OPN中，OP＝2，∠POA＝θ，故NP＝2tan θ. 根据平面几何知识可知，MB＝MP，∠BOM＝ 1 2∠BOP＝ 1 2 π －θ＝ π 4－ θ 2. 在Rt△BOM中，OB＝2，∠BOM＝ π 4－ θ 2，故BM＝2tan θ 2. 所以f(θ)＝NP＋2BM＝2tan θ＋4tan θ 2. 显然θ∈ π 2，所以函