宁夏回族自治区银川一中2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题

银川一中2022-2023 学年（上）高一期中考试 数学试题 本试卷满分150 分，考试时间120 分钟 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.全称量词命题“ ， ”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3.下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4.已知幂函数 的图象经过点 ，则 的值为（ ） A.3 B. C.9 D. 5.函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6.已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，若点 的坐标满足关于 ， 的方程 ，则 的最小值为（ ） A.9 B.24 C.6 D.4 7.已知函数 ，满足对任意 ，都有 成立，则 的取值 范围是（ ） A. B. C. D. 8.对于函数 ，若存在 ，使 ，则称点 是曲线 的“优美点”， 已知 ，若曲线 存在“优美点”，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。 9.满足 的集合 可能是（ ） A. B. C. D. 10.已知 ，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 11.下列命题中为真命题的是（ ） A.“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件 B.“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件 C.“关于 的方程 有实数根”的充要条件是“ ” D.若集合 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件 12.若正实数 ， 满足 ，则下列选项中正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最小值4 D. 有最小值 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13.函数 的定义域是______. 14.已知不等式 的解为 ，则 ______. 15.奇函数 在区间 上单调递减，则不等式 的解集为______. 16. 已知函数 ， ，若对任意的 ，总存在 使得 成立，则实数 的取值范围为______. 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分） 计算： （1） ； （2） . 18.（12 分） 已知集合 ， . （1）若 ，求 ； （2）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围. 19.（12 分） 已知定义域为 的函数 是奇函数. （1）求实数 的值； （2）判断函数 的单调性，并用定义加以证明； 20.（12 分） 二次函数 满足 ，且 . （1）求 的解析式； （2）求 在 上的最小值. 21.（12 分） 第四届中国国际进出口博览会于2021 年11 月5 日至10 日在上海举行.本届进博会有4000 多项新产品、新技 术、新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022 年与该跨国公司 合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260 万元，生产 千台空调，需另投入资金 万元， 且 .经测算，当生产10 千台空调时需另投入的资金 万元.现每 台空调售价为0.9 万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完. （1）求2022 年该企业年利润 （万元）关于年产量 （千台）的函数关系式； （2）2022 年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？（注：利润=销售额-成本） 22.（12 分） 已知函数 . （1）若函数 为偶函数，求 的值； （2）若 ，直接写出函数 的单调递增区间； （3）当 时，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 参考答案 1.C 2.B 3.C 4.A 5.A 6.D 7.C 8.B 9.ABD 10.CD 11.AC 12.AC 13. 14.5 15. 16. 【解析】若对任意的 ，总存在 使得 成立，则 ， 当 时， ， 当 时， ，满足 ，符合题意； 当 时， 在 上单调递减，故 ，解得 ； 当 时， 在 上单调递增，故 ，解得 ； 综上， 的取值范围为 . 17.【解析】（1）原式 ； （2）原式 . 18.【解析】（1） ， 当 时， ，故 ； （2）若 是 的充分条件，则 ， ①当 时，即 ，即 ，符合题意 ②当 时，即 ， 若 ，则 ， 综上，若 是 的充分条件，则实数 的取值范围为 . 19.【解析】（1）因为 为 上的奇函数，则 ，解得 ； （2）函数 在 上单调递增，证明如下： ， ，且 ， ， 因为 ，则 ， ， ，所以 ， 即证 在 上单调递增. 20.【解析】（1）设 ，因为 ，所以 ，即 ， 根据 ，即 ， 解得 ， ，所以 ； （2）函数 ，其对称轴为 ， 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 综上，当 时， ； 当 时， ； 当 时， . 21.【解析】（1）由题意知，当 时， ，解得 ， 所以 ； （2）当 时， ， 即当 时， 取得最大值为8740； 当 时， ， 根据基本不等式， ，当且仅当 时，等号成立， 所以当 时， 取得最大值为8990， 综上，2022 年产量为100 千台时，企业所获年利润最大为8990 万元. 22.【解析】（1）若函数 为偶函数，则 ， 即 ，解得 ； （2）若 ，则 ， 故函数 的单调递增区间为 和 ； （3）不等式 恒成立，即 ， 即 恒成立，其中 ， 即 恒成立，其中 ， 不妨设 ， 当 时， ，解得 ， 当 ，因为 ，则 ， 所以 在 上单调递减， 故 ，即 ，解得 或 ， 当 ， ， 因为 在 上单调递增， 所以 ，即 ，解得 或 ， 综上，实数 的取值范围为 .