铁人中学2020级高二学年上学期期中考试数学——答案

铁人中学2020 级高二学年上学期期中考试 数学试题（参考答案） 第Ⅰ卷 选择题部分 一、选择题（每小题只有一个选项正确，共12 小题，每小题5 分，共60 分。） 1. 【答案】A 2. 【答案】A 3. 【答案】C 4. 【答案】B 5. 【答案】D 6. 【答案】D 7. 【答案】C 8. 【答案】D 9. 【答案】C 10. 【答案】A 11. 【答案】B 12. 【答案】D 第ⅠⅠ卷 填空题、解答题部分 二、填空题（共4 小题，每小题5 分，共20 分。） 13.【答案】 14.【答案】 15.【答案】 16.【答案】 三、解答题（共6 小题，共70 分。） 17.【解析】（1）圆 ： 的圆心 （ ）关于直线 对称的点 为 （ ），所以圆 的标准方程为 . （2）因为 ，且直线 的方程为 ， 点 （ ）到直线 ： 的距离为 . 又因为点 为圆 上的动点，所以点 到直线 的距离h 的取值范围是 ， 所以 ，所以 ，所以 面积的取值范围是 . 18. 【解析】（1）证明：因为 ，且 ，所以四边形 为平行四边形， 所以 ， 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （2）以 为原点， 、 、 所在的直线分别为、 、轴建立如图所示的空间直角坐标 系，由正方体的棱长为，则 （ ）， （ ）， （ ）， （ ）， 所以 ， ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ， 令 ，则 ， ，所以 ， 设直线 与平面 所成角为，则 ， 故直线 与平面 所成角的正弦值为 . （3）因为 （ ），所以 ，由（2）知，平面 的法向量为 ， 所以点 到平面 的距离 . 19.【解析】（1）因为 ， 为椭圆的上顶点， 所以 ， ，所以 ，所以 ， 又因为 ，所以离心率 . ……………………（5 分） （2）因为椭圆的焦距为 ，所以 ，所以 的坐标为（ ）. 设 （ ），易知 （ ），所以 ， . 又 ， 所以 ，解得 …………（8 分） 又点 在椭圆上，所以 ，所以 ， 又 ，所以 ， 所以椭圆的标准方程为 .…………（12 分） 20. 【解析】（1）因为 ，所以 . 因为 是公差为 的等差数列，所以 ，所以 . 当 时， ， 当 时， ，符合上式，所以 . （2）由（1）知 ， 化简得 ， 所以 = = = . 因为 ， 所以数列 是递增数列，因此 . 又 ，所以 ，所以 . 21.【解析】（1）设点 （ ），则 . 当 时， ，即 （ ），整理得 ； 当 时， ，即 （ ），整理得 ； 由 ，知 ，与 矛盾，舍去， 因此动点 的轨迹方程为 . （2）证明：设直线 ： ， 且 （ ）， （ ），则 （ ）. 由 ， ， 三点共线知 ， 即 ，即 ， 所以 .① 由 ，可得 （ ），所以 ② 由①②得 ， 即 ，此表达式对任意恒成立， 所以 ，即直线 过定点，定点坐标为（ ）. 22. 【解析】（1）依题意可得： ①， ②，且 ③， 由①②③可得： ， ， ，则解得： ， ， ， 所以椭圆 的方程为 .……………………（4 分） （2）由（1）可知 （ ）， 所以由题设 不与轴重合，所以设 ： ， 联立方程组： ，化简得： .……………………（5 分） 设 （ ）， （ ）， 所以 ，且 ， ， 所以 .……… （8 分） 因为 ，所以四边形 为平行四边形， 设四边形 面积为， 则 ，……………………（9 分） 记 （ ）， 则 .……………………（10 分） 因为当 ，函数 单调递增， 所以当 时， 有最小值 ， 此时有最大值 ，……………………（11 分） 此时 ，所以直线的方程为 .……………………（12 分）