铁人中学2020级高二学年上学期期中考试数学——试题

铁人中学2020 级高二学年上学期期中考试 数学试题 试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。 第Ⅰ卷 选择题部分 一、选择题（每小题只有一个选项正确，共12 小题，每小题5 分，共60 分。） 1.若某抛物线过点（ ），且关于轴对称，则该抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. 或 D. 2.过点（ ）且与直线 垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 3.《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝 才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走 里路，第一天健 步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了六天后到达目的地，求每天走的 路程.”在这个问题中，此人第五天走的路程为（ ） A. 里 B. 里 C. 里 D. 里 4.双曲线 （ ）的左、右两个焦点分别是 与 ，焦距为； 是双曲线左支上的 一点，且 ，则 的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5.设 是等差数列 的前项和，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 6.过点 （ ）作圆 ： 的切线，则切线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7.如图，在棱长为的正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 的中 点， 则直线 到直线 的距离为（ ） A. B. C. D. 8.已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，直线的斜率为 且经过点 ，与抛物线 交 于 ， 两点（点 在第一象限），与抛物线 的准线交于点 ，若 ，则下列说法正确 的是（ ） ① ；② 为 的中点；③ ；④ . A. ①② B.②③ C. ③④ D. ①②③ 9.过双曲线 （ ， ）的左焦点 作圆 ： 的两条切线，切点分别为 ， ，双曲线的左顶点为 ，若 ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 10.已知直线 与椭圆 ： （ ）相交于 ， 两点， 且线段 的中点 在直线： 上，则椭圆 的离心率为（ ） A. B. C. D. 11.已知正三棱柱 的棱长均为 ， 是侧棱 的中点，则平面 与平面 的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 12.已知双曲线 ： （ ， ）右支上非顶点的一点 关于原点 的对称点为 ， 为其右焦点，若 ，设 ，且 ，则双曲线 离心率的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 第ⅠⅠ卷 填空题、解答题部分 二、填空题（共4 小题，每小题5 分，共20 分。） 13.圆 被直线 所截得的弦长为 . 14.设 是抛物线 上的一个动点， 为抛物线的焦点，若点 （ ），则 的 最小值为 . 15.若等比数列 的各项均为正数，且 ，则 . 16.已知 、 是椭圆 （ ）长轴的两个端点， 、 是椭圆上关于轴对称的两 点，直线 ， 的斜率分别为 ， （ ）.若椭圆的离心率为 ，则 的最小 值为 . 三、解答题（共6 小题，共70 分。） 17.已知圆 与圆 ： 关于直线： 对称. （1）求圆 的标准方程； （2）若点 的坐标为（ ）， 为坐标原点，点 为圆 上的动点，求 面积的取值 范围. 18.如图，在棱长为的正方体 中， 为 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）求点 到平面 的距离. 19.如图，已知椭圆 （ ）， ， 分别为椭圆的左、右焦点， 为椭圆的 上顶点，直线 交椭圆于另一点 . （1）若 ，求椭圆的离心率； （2）若椭圆的焦距为，且 ，求椭圆的方程. 20.已知数列 中， ， 的前项和为 ，且数列 是公差为 的等差数列. （1）求 ； （2）若 ，数列 的前项和为 ，求证： . 21.已知在平面直角坐标系 中，动点 到直线： 的距离比到定点 （ ）的距离多 . （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）若 为（1）中曲线 上一点，过点 作直线的垂线，垂足为 ，过坐标原点 的直线 交曲线 于另外一点 ，证明：直线 过定点，并求出定点坐标. 22.已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆上运动， 面积的最大值为 ，左顶点为 ，上顶点为 ， . （1）求椭圆 的方程； （2）过点 的直线与椭圆 相交于 ， 两点，若 ，求四边形 面积的 最大值及此时直线的方程.