四川省成都市蓉城名校联盟2021-2022学年高二下学期期末联考试题 数学（文）

蓉城名校联盟2021~2022 学年度下期高中2020 级期末联考 文科数学 考试时间120 分钟，满分150 分 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．设集合 ， ，则 （） A． B． C． D． 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足 ，则 （） A． B． C． D． 3．命题“ ， ”的否定是（） A． ， B． ， C． ， D． ， 4．在等差数列 中，已知 ， ，则数列 的公差为（） A．－1 B．0 C．1 D．2 5．设x，y 满足约束条件 则z＝x＋2y 的最大值为（） A．3 B．5 C．7 D．9 6．若函数 则 （） A．3 B． C． D．8 7．执行如图所示的程序框图，如果输入n＝5，则输出的S＝（） A． B． C． D． 8．在含有3 个白球，2 个黑球（它们除颜色外，其余均相同）的箱子里不放回地抽取2 个球，恰好一个为黑 球的概率为（） A． B． C． D． 9．若 ，则（） A． B． C． D． 10．如图，已知三棱锥P－ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球O 的直径，若平面PCA⊥平面 PCB，PA＝AC，PB＝BC，三棱锥P－ABC 的体积为 ，则球O 的表面积为（） A． B． C． D． 11．已知函数 在区间 上有最小值，则a 的取值范围为（） A． B． C． D． 12．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，若双曲线的左支上存在一点P，使 得 与双曲线的一条渐近线垂直于点Q，且 ，则双曲线的渐近线方程为（） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 ，a＝1，b＝5，则c＝______． 14．已知 ， 是单位向量，若 ，则 ， 的夹角为______． 15．经过抛物线C： 的焦点F 的直线l 与抛物线交于不同的两点A，B，若 （其中O 为 坐标原点），则直线l 的斜率为______． 16．记定义在R 上的可导函数 的导函数为 ，且 ， ，则不等式 的解集为______． 三、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12 分） 新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献．日前公布的《“十四五”中医药 发展规划》提出，提升中医药参与新发突发传染病防治和公共卫生事件的应急处置能力．某中药企业决定加 大中药产品的科研投入，根据市场调研和模拟，得到科研投入x（亿元）与产品的收益y（亿元）的数据统计 如下： 投入x（亿元） 2 3 4 5 6 产品收益y（亿元） 3 7 9 10 11 （1）是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请用相关系数r 加以说明（当 时，变量x，y 有 较强的线性相关关系）； （2）利用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程，并预测当科研投入为10 亿元时产品的收益． 参考公式：相关系数 ，回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式 分别为： ， ． 本题相关数据： ， ． 18．（12 分） 已知函数 在x＝1 处取得极值0，其中a， ． （1）求函数 在点 处的切线方程； （2）求函数 在 上的最大值和最小值． 19．（12 分） 如图，点O 是正方形ABCD 的中心，CD⊥DE， ，CD＝2EF＝2，DE＝1，AC⊥OE． （1）证明：DE⊥平面ABCD； （2）求点B 到平面AFC 的距离． 20．（12 分） 已知函数 ． （1）求 的单调区间； （2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数a 的取值范围． 21．（12 分） 椭圆C： 的离心率为 ，其左，右焦点分别为 ， ，上顶点为B，且 ． （1）求椭圆C 的方程； （2）过点 作关于x 轴对称的两条不同的直线 和 ， 交椭圆于点 ， 交椭圆于点 ，且 ，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标． 22．（10 分） 在直角坐标系xOy 中，曲线 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程； （2）若曲线 与 交于A，B 两点，且点 ，求 的值．