山东省泰安第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题

泰安一中新校区2022-2023 学年高一下学期期中考试 数学试题 2023.5 一､单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 若复数  1 i 1 i z  ，则z  A. 2 2 B. 1 C. 2 D. 2 2. 若 , m n 表示两条不重合的直线, , , αβγ表示三个不重合的平面,下列命题正确的是 A．若 m     , n    ,且 / / m n ,则 / /   B．若 , m n 相交且都在 , 外, / / m , / / n , / / m , / / n ,则 / /   C．若 / / m n , n   ,则 / / m  D．若 / / m , / / n ,则 / / m n 3. 如图，一个水平放置的三角形ABO的斜二测直观图是等腰直角三角形A B O ，若 1 B A B O      ，那么原三角形ABO的周长是 A．2 2 1  B．1 2+ 3  C．2 2 2  D．2 2 4  4. 已知 1 2 a   ， 1 3 b   ．若a b a b        ，则2 3 a b     A. 2 B. 2 2 C. 4 2 D. 4 5. 某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）．现测量其中一个屋 顶，得到圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ，母线SA长为18m（如图2 ）．若C 是母线SA 的一个三等分点（靠近点S），从点A 到点C 绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最 小长度为 A. 6 7m B. 16m C. 6 13m D. 12m 6. 如图所示，在ABC  中，点O是BC 的中点，过点O的直线分别交直线AB 、AC 于不同 的两点M 、N ，若AB mAM      ， ( , 0) AC nAN m n      ，则m n  的值为 A．2 B．3 C．9 2 D．5 7. 已知 4 sin 4 5           ， , 4 2         ，则cos A. 2 10 B. 3 2 10 C. 2 2 D. 7 2 10 8. 函数    sin 0,0 2 f x x                 在区间 5 , 6 6          上的图象如图所示，将 该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移  0  个单 位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值为 A. 3  B. 6  C. 12  D. 7 24  二､多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 下列有关复数的说法中（其中i 为虚数单位），正确的是 A．22 i 1  B．复数 3 2i z   的共轭复数的虚部为2 C．若1 3i  是关于x 的方程   2 0 , x px q p q    R 的一个根，则 8 q  D．若复数z 满足 i 1 z  ，则z 的最大值为2 10. 下列说法正确的是 A．已知向量   1, 3 a   ，   cos ,sin b     ，若a b   ，则 3 tan 3  B．已知向量   2,3 a   ，   ,2 b x   ，则“a ，b 的夹角为锐角”是“ 3 x ”的充要条件 C．若向量     4,3 1,3 a b     ， ，则a 在b 方向上的投影向量坐标为1 3 , 2 2       D．在ABC  中，向量AB  与AC  满足 0 AB AC BC AB AC                      ，且 1 2 BA BC BA BC           ，则ABC  为 等边三角形 11. ABC  中，角A、B、C 对边分别为a、b、c， 2 cos cos c B b C a   ，下列说法正确的是 A．若B+C=2A，则ABC  面积的最大值为 3 4 B．若 π 4 A  ，且ABC  只有一解，则b 的取值范围为  0,1 C．若C=2A，且ABC  为锐角三角形，则c 的取值范围为  2, 3 D．O为ABC  的外心，则 1 2 BC BO      12. 《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.如图， 底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面PAC 将一个“堑堵”截成两部分，其三棱 锥称为“鳖臑”.在鳖臑  P ABC 中， PA AB  ， 2 AB  ， O 为PC 中点， 其外接球的体积为108π 3 ， 当此鳖臑的体积V 最大时，下列结论正确的是 A． 4 PA BC = = B． 32 3 V  C．三棱锥C ABO  体积为8 3 D．  P ABC 内切球的半径为 5 1 2  三､填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 已知复数 2 ( 4) ( 2) i m m    ( R) m 是纯虚数，则m ___________. 14. 需要测量某塔的高度，选取与塔底D 在同一个水平面内的两个测量基点A 与B ，现测得 75 DAB   ， 45 ABD   ， 96 AB  米，在点A 处测得 塔顶C 的仰角为30，则塔高CD 为__________米. 15. 公元前6 世纪，毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割 值，这一数值近似可以表示为 2sin18 m  ,若 2 4 m n   ，则 cos27 m n    ______. 16. 已知ABC  是边长为 3 的正三角形， 点P 是ABC  的外接圆上一点， 则   PA PB PC         的 最大值是______． 四､解答题：本题6 小题，共70 分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 17.（10 分）已知, , a b c  是同一平面内的三个向量，   1,2 a   . (1) 若 2 5 c   ，且// c a  ，求c  的坐标； (2) 若 5 2 b   ，且 2 a b    与2a b    垂直，求a  与b  的夹角. 18.（12 分）已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为2 3 ． (1) 求圆锥的表面积； (2) 如图，过AO 的中点 1 O 作平行于底面的截面，以 该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积． 19.（12 分）已知ABC  中，D 是AC 边的中点． 3 BA  ， 7 BC  ， 7 BD  ． (1) 求AC 的长； (2) BAC  的平分线交BC 于点E，求AE 的长． 20. （12 分）已知函数  5 sin 2 2cos sin 6 4 4 f x x x x                           ． (1) 求函数  f x 的单调递增区间； (2) 若函数  y f x k   在 11 , 6 12          上有且仅有两个零点，求实数k 的取值范围． 21.（12 分）已知：①2 2 cos a b c B   ；②2 sin cos sin 2 2 3 cos a A B b A a C   ； ③ 2 3sin 3 2cos 2 C C   .从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 问题：在ABC  中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足：___________. (1) 求角C 的大小； (2) 若 2 3 c  ， ABC  与 BAC  的平分线交于点I ，求 ABI △ 周长的最大值. 22. （12 分） 几何体E ABCD  是四棱锥， ABD △ 为正三角形， 2 BC CD   ， 120 BCD   ， M 为线段AE 的中点. (1) 求证： / / DM 平面BEC ； (2) 线段EB 上是否存在一点N ，使得 , , , D M N C 四点共面？ 若存在，请求出BN BE 的值；若不存在，请说明理由.