黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题

（北京）股份有限公司 2022-2023 年度哈九中高一下学期3 月月考考试 数学学科试卷 （考试时间：120 分钟满分：150 分） I 卷 一､单选题，本大题共有8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 2.函数 一部分图象如下图所示，此函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 3.函数 图象的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. （北京）股份有限公司 4.已知 ，则向量 在向量 方向上的投影向量的长度为（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 5.已知函数 的图像如图所示，则 的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 6.已知 是边长为1 的正三角形， ，则 （ ） A. B. C. D.1 7.记某时钟的中心点为 ，分针针尖对应的端点为 .已知分针长 ，且分针从12 点位置开始绕中 心点 顺时针匀速转动.若以中心点 为原点，3 点和12 点方向分别为 轴和 轴正方向建立平面直角坐标 系，则点 到 轴的距离 （单位： ）与时间（单位： ）的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 8.设 ，且 ，若向量 满足 ，则 的最大值是（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 二､多选题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分） 9.下列不等式中成立的是（ ） A. B. （北京）股份有限公司 C. D. 10.已知向量 和实数 ，下列说法正确的是（ ） A.若 ，则 或 B. C.若 则 与 共线同向 D.若 ，则 为钝角三角形 11.已知函数 ，对任意 均有 ，且 在 上单调递减，则下列说法正确的有（ ） A.函数 图像关于 对称 B.函数 的最小正周期为 C.函数 的图像可由函数 的图象向左平移 个单位长度得到 D.若 在 上恒成立.，则 的最大值为 12.由倍角公式 ，可知 可以表示为 的二次多项式.一般地，存在一个 次多项式 ，使得 ，这些多项式 称为切比雪夫（ .L.Tschebyscheff）多项式.运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ） A. B. C. D. （北京）股份有限公司 II 卷 二､填空题（本大题共有4 小题，每小题5 分，共20 分） 13. __________. 14.已知向量 与 的夹角为 ，则实数 __________. 15.在 中， ，若 均大于0 ，则 的值为________ __. 16.已知函数 满足： .若函数 在区间 上单调，且 ，则当 取得最小值时， __________. 三、解答题（本大题共有6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17.（本小题满分10 分） 设两个非零向量 与 不共线. （1）若 ， ， 求证 三点共线. （2）试确定实数 ，使 和 共线. 18.（本小题满分12 分） 知 . （1）若 为第一象限角，求 ； （2）求 的值. 19.（本小题满分12 分） 已知向量 与 的夹角 ，且 ， . （北京）股份有限公司 （1）求 ， ； （2）求 ； （3） 与 的夹角的余弦值. 20.（本小题满分12 分） 已知函数 . （1）求函数 的单调增区间； （2）已知 ，且 ，求 的值. 21.（本小题满分12 分） 已知函数 ，且当 时， 的最大值为 . （1）求a 的值； （2）设函数 ，若对任意的 ，总存在 ，使得 ， 求实数b 的取值范围. 22.（本小题满分12 分） 定义非零向量 的“相伴函数”为 ，向量 称为函数 的“相伴向量”（其中 为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数” 构成的集合为 . （1）设 ，请问函数 是否存在相伴向量 ，若存在， 求出与 共线的单位向量；若不存在，请说明理由. （2）已知点 满足： ，向量 的“相伴函数” 在 处取得最大值，求 （北京）股份有限公司 的取值范围. 参考答案 1.B 2.A 3.C 4.B 5.A 6.A 7.D 8.B 9.AD 10.BD 11.ACD 12.BC 13.1 14.-2 15.15 16. 17.（1）因为 ， 所以 所以 ， 共线， 又因为它们有公共点 ， 所以 三点共线； （2）因为 和 共线， 所以存在实数 ，使 ， 所以 ， 即 . 又 ， 是两个不共线的非零向量， 所以 所以 ， 所以 或 . 18.（1）因为 ， 所以 ，则 . （北京）股份有限公司 因为 为第一象限角，所以 ， （2）由（1）知 ， 所以 ， 所以 19.（1）已知向量 与 的夹角 ，且 ， ，则 ， 所以 ； （2） （3） 与 的夹角的余弦值为 . 20.（1） . 所以函数 的单调递增区间是 （北京）股份有限公司 （2） 21.（1） ， 令 ，则 在 上的最大值为 ， 当 时， 的开口向下，对称轴为 ， 故当 时，即 时， 在 取到最大值 ， 则 ，解得 或 (舍去). （北京）股份有限公司 当 时，即 时， 在 取到最大值 则 ，解得 (舍) 所以 （2）由（1）可得： ， 令 ，则 的开口向下，对称轴为 ， 故当 或 时， 取到最小值 ， 故 在 上的值域 ， 又∵ ，则 ，故 ， 设 在 上的值域为 ， 若对任意的 ，总存在 ，使得 ，则 ， 当 时，则 ，显然不成立， 不合题意，舍去； 当 时，则 ，可得 ，解得 ； 当 时，则 ，可得 ，解得 ； （北京）股份有限公司 综上所述：实数b 的取值范围为 . 22.（1）因为 ， 所以，函数 存在相伴向量， ， 所以，与 共线的单位向量为 或 . （2） 的“相伴函数” ， 因为 在 处取得最大值， 所以，当 ，即 时， 有最大值 ， 所以 ， ， 所以 ， 因为 ， ， 所以 ， （北京）股份有限公司 所以 ， 令 ，则 ， 因为 均为 上的单调递减函数， 所以 在 上单调递减， 所以 ， 所以， ， 所以， 的取值范围为 . （北京）股份有限公司