河南省鹤壁市高中2022-2023学年高二下学期第一次段考数学试题

2024 届高二年级下学期第一次段考数学试卷 命题人 一、选择题：（本大题共12 小题，每小题5 分） 1．已知等差数列 的前n 项和为 ，若 ， ，则公差为（ ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 2．英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世．在数学中，泰勒级数 用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式： ，其中 ， ， ，则 的近似 值为（精确到0.01）（ ） A．1.63 B．1.64 C．1.65 D．1.66 3．已知等差数列 的前n 项和为 满足 ， ，则数列 的前8 项和为（ ） A． B． C． D． 4．在等比数列 中， ，公比 ，且 ，又 与 的 等比中项为2， ，数列 的前n 项和为 ，则当 最大时，n 的值等于（ ） A．8 B．8 或9 C．16 或17 D．17 5．定义在R 上的函数 满足 ，且 ， 是 的导函数，则不等式 （其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A． B． C． D． 6．已知等差数列 的前n 项和为 ， ， ，则当 取得最小值时，n 的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．给出定义：设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若方程 有实数解 ，则称 为函数 的“拐点”．经研究发现所有的三次函数 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 的图像的对称中心．若 函数 ，则 （ ） A．-8080 B．-8082 C．8084 D．8088 8．已知数列 中， ， ，则数列 的前n 项和 （ ） A． B． C． D． 9．设 有三个不同的零点，则a 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．已知a，b 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数 ， ，若 成立，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 12．关于函数 ，下列说法错误的是（ ） A． 是 的极小值点 B．函数 有且只有1 个零点 C．存在正实数k，使得 恒成立 D．对任意两个正实数 ， ，且 ，若 ，则 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分． 13．若各项均为正数的数列 中， ，前n 项和为 ，对于任意的正整数n 满足 ， 则数列 的通项公式 ______． 14．在等差数列 中，若 ，则 ______． 15．已知函数 ， （e 是自然对数的底数），对任意的 ，存在 ，有 ，则a 的取值范围为______． 16．已知函数 ，若关于x 的方程 有3 个不同的实数根，则a 的 取值范围为______． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10 分） 已知函数 ． （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）求函数 在区间 上的最大值与最小值． 18．（本小题满分12 分） 已知数列 的前n 项和 ． （1）求 的通项公式； （2）求数列 的前n 项和 . 19．（本小题满分12 分） 已知函数 ， . （1）求函数 的值域； （2）设 ，当 时，函数 有两个零点，求实数k 的取值范围. 20．（本小题满分12 分） 如图，AB 是过抛物线 焦点F 的弦，M 是AB 的中点，l 是抛物线的准线， ，N 为垂 足，点N 坐标为 ． （1）求抛物线的方程； （2）求 的面积（O 为坐标系原点）． 21．（本小题满分12 分） 如图，在四棱锥 中，四边形ABCD 是边长为4 的正方形，平面 平面ABCD， ， ． （1）求证： 平面CDP； （2）若点E 在线段AC 上，直线PE 与直线DC 所成的角为 ，求平面PDE 与平面PAC 夹角的余弦值． 22.（本小题满分12 分） 已知函数 ， ． （1）若 在 上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若 恒成立，求实数a 的取值范围． 2024 届高二年级下学期第一次段考数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B B A C B B D C D C 13． 14．5 15． 16． 17．（1） ，∴ ，又 ， ∴曲线 在点 处的切线方程为 ，即 （2） ，令 ，解得 或 ， 又 ∴当x 变化时， ， 的变化情况如下表所示： x -1 1 0 - 0 + + 1 单调递减 单调递增 1 ∴ 在区间 上的最大值是1，最小值是 ． 18．（1）当 时， ，即 ， 当 时， ， 时， ，与 不符， 所以 ； （2）由 得 ，而 ， 所以当 时， ，当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 所以 19．（1）由 可知 令 则 ， x -1 - 0 + 减 极小值 增 所以 ， 无最大值，所以 的值域为 ． （2）当 时， ， 令 ，则 有两个零点等价于 有两个零点， 对函数 求导得： ， 当 时， 在 上恒成立，于是 在 上单调递增. 所以 ，因此 在 上没有零点 即 在 上没有零点，不符合题意 当 时，令 得 ，在 上 ，在 上 所以 在 上单调递减，在 上单调递增 所以 的最小值为 由于 在 上有两个零点， 所以 ， 因为 ， ， 对于函数 ， ， 所以在区间 上 ，函数 单调递减；在区间 ， ，函数 单 调递增； 所以 所以 所以由零点存在性定理得 时， 在 上有两个零点， 综上，可得k 的取值范围是 ． 20．解：（1）点 ，在准线l 上，所以准线l 方程为： ， 则 ，解得 所以抛物线的方程为： ． （2）设 ， ，由A、B 在抛物线 上， 所以，则 ， 又 ，可知点M 纵坐标为-3，M 是AB 的中点，所以 ， 所以 ，又知焦点F 坐标为 ，则直线AB 的方程为： 联立抛物线的方程 ，可得 ， 解法1：直接解得 或 ，所以 ； 所以 ． 解法2：由韦达定理得 ． 所以 ． 21．【解析】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴ ， 又平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面ABCD， ∴ 平面ADP，又 平面ADP，∴ ， ∴ ，．∴ ，∴ ； ∵ ，∴ ，又 ，PD， 平面CDP，∴ 平面CDP． （2）作 ，垂足为O，作 ，交BC 于F， ∵平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面ADP， ∴ 平面ABCD，由（1）知： ， ， ， ∴ ，∴ ， ，∴ ， 以O 为坐标原点， ， ， 正方向为x，y，z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ∴ ， ， ， ， 设 ，则 ，∴ ， ∴ ， 解： ，∴ ，设平面PDE 的法向量 ， 则 ，令 ，解得： ， ，∴ ； 设平面PAC 的法向量 ， 则 ，令 ，解得： 即平面PDE 与平面PAC 夹角的余弦值为 ． 22．（1） ，因为 在 上单调递增， 所以 ， 恒成立，即 恒成立， 因为 在 上单调递减，所以 ，则 ． 故实数a 的取值范围为 ； （2）因为 恒成立，所以 恒成立， 设 ， ， 则 ， 设 ， ，则 ，所以 在 上单调递减， 且 ， ，则 ，使 ， 即 ，且 ， ， 列表得 x + 0 - 极大值 所以 ，则 ． 解法二： 恒成立，即 恒成立， 令 ， ，则 ，所以 在 上单调递增， 因为 时， ，所以 在 上的值域为 ． 因为 ， 所以 ， 恒成立， 设 ， ，则 ，令 得 ，列表得 t 1 + 0 - 极大值 所以 ，则 ． 解法三： 恒成立，即 恒成立， 令 ， ，则 在 上单调递增， 的值域为R． 因为 ，所以 ， 恒成立， 设 ， ，则 ，令 得 ，列表得 t 0 + 0 - 极大值 所以 ，则 ． 故实数a 的取值范围是 ．