湖南省五市十校教研教改共同体、三湘名校教育联盟、湖湘名校教育联合体2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题(1)

（北京）股份有限公司 绝密★启用前 五市十校教研教改共同体 三湘名校教育联盟 湖湘名校教育联合体 2022 年下学期高二期中考试 数学 命题：双峰一中数学备课组 审题：南县一中 郭劲松 永州一中数学备课组 本试卷共4 页。全卷满分150 分，考试时间120 分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.已知圆C 的圆心坐标为 ，且过坐标原点，则圆C 的方程为（ ） A. B. C. D. 3.党的十八大报告指出，必须坚持在发展中保障和改善民生，不断实现人民对美好生活的向往，为响应中央 号召，某社区决定在现有的休闲广场内修建一个半径为4m 的圆形水池来规划喷泉景观.设计如下：在水池中 心竖直安装一根高出水面为2m 的喷水管（水管半径忽略不计），它喷出的水柱呈抛物线型，要求水柱在与 水池中心水平距离为 处达到最高，且水柱刚好落在池内，则水柱的最大高度为（ ） （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 4.已知 是等比数列 的前n 项和， ， ， 成等差数列，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5.已知幂函数 的图象是等轴双曲线C，且它的焦点在直线 上，则下列曲线中，与曲线C 的实轴 长相等的双曲线是（ ） A. B. C. D. （北京）股份有限公司 6.已知函数 ，下列说法正确的是（ ） A.函数 的最小正周期是 B.函数 的最大值为 C.函数 的图象关于点 对称 D.函数 在区间 上单调递增 7.如图水平放置的边长为1 的正方形 沿x 轴正向滚动，初始时顶点A 在坐标原点，（沿x 轴正向滚动 指的是先以顶点B 为中心顺时针旋转，再以顶点C 为中心顺时针旋转，如此继续），设顶点 的轨迹 方程式 ，则 （ ） A.0 B.1 C. D. 8.已知三棱锥 中， ， ， ，若二面角 的大 小为120°，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9.下列说法正确的是（ ） A.命题“ ， ”的否定为“ ， ” B.在 中，若“ ”，则“ ” （北京）股份有限公司 C.若 ，则 的充要条件是 D.若直线 与 平行，则 或2 10.已知各项均为正数的等差数列 单调递增，且 ，则（ ） A.公差d 的取值范围是 B. （北京）股份有限公司 C. D. 的最小值为1 11.已知直线l 与抛物线 （ ）交于A，B 两点， ， ，则下列说法正确的是 （ ） A.若点D 的坐标为 ，则 B.直线 过定点 C.D 点的轨迹方程为 （原点除外） D.设 与x 轴交于点M，则 的面积最大时，直线 的斜率为1 12.在正方体 中， ，点M 在正方体内部及表面上运动，下列说法正确的是（ ） A.若M 为棱 的中点，则直线 平面 B.若M 在线段 上运动，则 的最小值为 C.当M 与 重合时，以M 为球心， 为半径的球与侧面 的交线长为 D.若M 在线段 上运动，则M 到直线 的最短距离为 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. （北京）股份有限公司 13.某中学高一年级有600 人，高二年级有480 人，高三年级有420 人，因新冠疫情防控的需要，现用分层抽 样从中抽取一个容量为300 人的样本进行核酸检测，则高三年级被抽取的人数为___________. 14.设双曲线C： （ ， ）的左、右焦点分别为 、 ，P 是渐近线上一点，且满足 （北京）股份有限公司 ， ，则双曲线C 的离心率为___________. 15. 已知动点 在运动过程中总满足关系式 ，记 ， ，则 面积的最大值为___________. 16.意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列1，1，2，3，5，8，13，…，数列中的每一项被 称为斐波那契数，用符号 表示（ ），已知 ， ， （ ）. （1）若 ，则 ___________（2 分）； （2）若 ，则 ___________（3 分）. 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.（本小题满分10 分） 已知双曲线C： （ ， ）的左右焦点分别为 ， ，点M 在双曲线C 的右支上，且 ，离心率 . （1）求双曲线C 的标准方程； （2）若 ，求 的面积. 18.（本小题满分12 分） 10 月9 日晚，2022 年世界乒乓球团体锦标赛在中国成都落幕.中国队女团与男团分别完成了五连冠与十连冠的 霸业.乒乓球运动在我国一直有着光荣历史，始终领先世界水平，被国人称为“国球”，在某次团体选拔赛中， 甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制（即先胜三局的团队获得比赛的胜利），假设在一局比赛中，甲队获胜 的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛结果相对独立. （1）求这场选拔赛三局结束的概率； （2）若第一局比赛乙队获胜，求比赛进入第五局的概率. 19.（本小题满分12 分） 已知锐角三角形 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，向量 ， ，且 . （1）求角B 的大小； （北京）股份有限公司 （2）若 ，求 面积的取值范围. 20.（本小题满分12 分） 已知数列 满足 ，且 ，数列 是各项均为正数的等比数列， 为 的前n 项和，满足 ， . （北京）股份有限公司 （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，记数列 的前n 项和为 ，求 的取值范围. 21.（本小题满分12 分） 如图，在四棱锥 中， ， ， ， 平面 平面 ，E 为 中点. （1）求证： 面 ； （2）求证： 面 ； （3）点Q 在棱 上，设 （ ），若二面角 的余弦值为 ，求 . 22.（本小题满分12 分） 已知椭圆C： （ ）过点 ，A 为左顶点，且直线 的斜率为 . （1）求椭圆C 的标准方程； （2）设 在椭圆内部， 在椭圆外部，过Ｍ作斜率不为0 的直线交椭圆C 于P，Q 两点，若 ，求证： 为定值，并求出这个定值. （北京）股份有限公司 五市十校教研教改共同体 三湘名校教育联盟 湖湘名校教育联合体 2022 年下学期高二期中考试 数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的） 1.【答案】C 【解析】∵ ，∴ . 2.【答案】B 【解析】圆心 ，半径 ， 故圆C 方程为 . 3.【答案】C 【解析】取一截面建系如图，设抛物线方程为 （ ），记最大高度为h ，如图： ， 在抛物线上，故 ， 两式相除有 ，解得 . 4.【答案】AB 【解析】若公比 有 ， ， ，此时 ，故公比 ，由题意 （北京）股份有限公司 ，化简有 ，故有 或 ，选答案AB. 5.【答案】B （北京）股份有限公司 【解析】由双曲线几何性质知，双曲线的焦点在实轴上，实轴与双曲线的交点 ， 是双曲线 的顶点，故双曲线C 的实轴长 ，选答案B. 6.【答案】D 【解析】由 知A ，B 错误. 由 ，所以C 错误.当 时， ，所以D 正确. 7.【答案】D 【解析】A 点运动轨迹最终构成图象如图： 由图可知 .故 ， 在B→D 段时，A 点的轨迹方程为 （ ），∴ . 8.【答案】C 【解析】由题意，取 中点 ， 中点 ，连接 ， 则 ， 分别是 与 的外 心，且 ，分别过 ， 作 面 ， 面 ，记 ，则O 为外接球球心， 在 中， ，∴ ，故 ，选C. （北京）股份有限公司 二、多选题（本题共4 小题，每小题5 分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得5 分， 有选错的得0 分，部分选对的得2 分） （北京）股份有限公司 9.【答案】BC 【解析】对A：否定为： ， ，所以A 错误； 对D，当 时，两直线重合，所以D 错误. 10.【答案】AB 【解析】由题意得 ， ，∴ ，故A 正确； 由 ，故B 正确； 由 ，知 故C 错误； 由 有 ， 当且仅当 时取到等号，但 ，故不能取“=”，所以D 错. 11.【答案】ABC 【解析】 ，由 知 方程为 ，联立 ， 消去x 有 ，记 ， ， 则 ，由 ，∴ ，故A 正确； 对选项BCD，可设 ： ，代入 有 ， 则 ，由 ， 故直线 为 ，过定点 ，即 ，故B 正确； 由 ，得D 在以 为直径的圆： 上运动（原点除外），故C 正确； 当 时， 面积最大，此时，有 ，故D 错误. 12.【答案】ACD 【解析】易知A，D 正确； 对选项B：展开 与 到同一平面上如图. （北京）股份有限公司 知 ，故B 错误； 对选项C：M 与 重合时，在侧面 上的射影为 ，故交线是以 为圆心的一段圆弧（ 个圆）， 且圆半径 ，故圆弧长 ，所以C 正确. 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13.【答案】84 【解析】由分层抽样易得. 14.【答案】 【解析】不妨设P 在第一象限，则 ， 依题意： ， ∴离线率 . 15.【答案】18 【解析】易得M 在椭圆 上运动，且B 在椭圆上，A 为左顶点，由 方程： ， 设直线l： 与椭圆相切于点M. 联立 ，消去x 得 ， （北京）股份有限公司 由 ，依题意， 时， 面积最大， 此时直线l 与 距离为 ，又 ， ∴ . （北京）股份有限公司 16.【答案】（1）11（2 分） （2） （3 分） 【解析】（1） ，∴ ； （2 ） . 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.【答案】（1） （2） 【解析】（1）由题意 ，··················································································1 分 ∴ ，················································································································2 分 又 ，···········································································································3 分 ∴ ，···············································································································4 分 故双曲线C 的方程为 ；····························································································5 分 （2） ， ， 则由双曲线定义可得 ①， 由三角形余弦定理得 ②，·························································7 分 有 ，············································································································9 分 ∴ 的面积 .··············································································10 分 18.【答案】（1）0.28 （2）0.432 【解析】设“第i 局甲胜”为事件 ，“第j 局乙胜”为事件 （i， ，2，3，4，5）， （1）记 “三局结束比赛”，则 ，····························································2 分 （北京）股份有限公司 ∴ ；······························································································································6 分 （2）记 “决胜局进入第五局比赛”，则 ，···································8 分 ∴ （北京）股份有限公司 .·····························································································································12 分 19.【答案】（1） （2） 【解析】（1）由 ，··································2 分 由正弦定理得 ，·························································································4 分 又 ，∴ ，·······································································································6 分 （2）解法一：在锐角 中，由（1）知， ，有 ，令 ，则 ， ， 由正弦定理得 ， 的面积 ·····················8 分 ，···································10 分 由 得 ， ，则 ， 于是得 ， 所以 面积的取值范围是 .·············································································12 分 解法二：由（1）可知， ，故 ， （北京）股份有限公司 又因为 ， 所以 ，··········································8 分 又因为 ， ， （北京）股份有限公司 所以 ， 故 ， 即有 ，则 ，·······················································································10 分 又由 ， 即 ， 所以 面积的取值范围是 .·············································································12 分 20【答案】（1） （2） 【解析】（1）由 ，·······························································1 分 ∴ （常数），······································································································2 分 故数列 是以 为公差的等差数列， 且首项为 ，·················································································································3 分 ∴ ，······································································································4 分 故 ；··························································································································5 分 （2）设 公比为q（ ），由题意： ， （北京）股份有限公司 ∴ ， 解得 或 （舍）， ∴ ， （北京）股份有限公司 ∴ ，················································································································7 分 ∴ ， 有 ， 两式相减得 ，·······················································································································9 分 ∴ ，················································································································10 分 由 ，知 在 上单调递增，···································································11 分 ∴ .······················································································································12 分 21.【答案】（1）略 （2）略 （3） 【解析】（1）证明：取 中点F，连接 ， ， 则 ，又 ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， （北京）股份有限公司 ∴ ， 又 面 ， 面 ， ∴ 面 ；················································································································4 分 （2）证明：由题意： ， ， ∴ ，同理 ， 又 ，∴ ，