湖北省部分省级示范高中2021-2022学年高二上学期期中测试数学试卷

高二数学试卷 第１ 页( 共４页) 湖北省部分省级示范高中２ ０ ２ １ ~ ２ ０ ２ ２学年上学期期中测试 高二数学试卷 一、 选择题: 本题共８小题, 每小题５分, 共４ ０分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题 目要求的. １ ． 下列事件:①抛掷一枚硬币, 落下后正面朝上;②从某三角形的三个顶点各画一条高线, 这三条 高线交于一点;③实数a, b 都不为０ , 但a ２＋ b ２＝ ０ ;④某地区明年７月的降雨量高于今年７月 的降雨量． 其中为随机事件的是( ) A． ①④ B ． ①②③ C． ②③④ D． ②④ ２ ． 若圆x ２＋ y ２－m x＋ ２ m y＋m ２－ ３ m＝ ０过坐标原点, 则实数m 的值为( ) A． ０或３ B ． － １或－ ２ C． ３ D． ０ ３ ． 从某班级中任意选出三名学生, 设A ＝“ 三名学生都是女生” , B ＝“ 三名学生都不是女生” , C＝“ 三名学生不都是女生” , 则下列结论不正确的是( ) A． A 与C 为互斥事件 B ． A 与B 互为对立事件 C． B 与C 存在包含关系 D． B 与C 不是对立事件 ４ ． 已知直三棱柱A B C－A１ B １ C １中, ∠A B C＝ ６ ０ °, A B＝ ２ , B C＝ C C １＝ １ , 则异面直线A B １与A１ C 所成角的余弦值为( ) A．３ ２ B ． ０ C．５ ５ D．３ ３ ５ ． 经数学家证明: “ 在平面上画有一组间距为a 的平行线, 将一根长度为ll≤ a ( ) 的针任意掷在这 个平面上, 此针与平行线中任一条相交的概率为p＝２ l π a( 其中π 为圆周率) ” ． 某试验者用一根长 度为２ c m 的针, 在画有一组间距为３ c m 平行线所在的平面上投掷了n 次, 其中有１ ８ ０次出现该 针与平行线相交, 并据此估算出π 的近似值为 １ ０ ３, 则n＝( ) A． ３ ０ ０ B ． ４ ５ ０ C． ６ ０ ０ D． ７ ５ ０ ６ ． 在空间直角坐标系O x y z 中, 已知点A( ２ , ２ , １ ) , 点A 关于平面O x y 对称的点为B, 点A 关于x 轴对称的点为C, 则Δ A B C 的面积为( ) A． ２ B ． ４ C． ８ D． １ ６ 高二数学试卷 第２ 页( 共４页) ７ ． 已知圆C １: x－ １ ( )２＋y＋ １ ( )２＝ １ , 圆C ２: x－ ４ ( )２＋y－ ５ ( )２＝ ９ , 点M 、 N 分别是圆C １、 圆C ２ 上的动点, 点P 为x 轴上的动点, 则P N －PM 的最大值是( ) A． ３５＋ ４ B ． ９ C． ７ D． ３５＋ ２ ８ ． 在棱长为１的正四面体A－B C D 中, 点M 满足 AM →＝ xA B →＋ yA C →＋( １ － x－ y) A D →, 点N 满足 DN →＝ λD B →－( λ－ １ ) D C →, 当线段AM 、 DN 的长度均最短时, AM →􀅰AN →＝( ) A． ２ ３ B ． －２ ３ C． ４ ３ D． －４ ３ 二、 选择题: 本题共４小题, 每小题５分, 共２ ０分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得５分, 部分选对的得２分, 有选错的得０分. ９ ． 小明与小华两人玩游戏, 则下列游戏公平的有( ) A． 同时抛掷两枚骰子, 向上的点数和为奇数, 小明获胜, 向上的点数和为偶数, 小华获胜 B ． 同时抛掷两枚硬币, 恰有一枚正面向上, 小明获胜, 两枚都正面向上, 小华获胜 C． 从一副不含大小王的５ ２张扑克牌中抽取一张, 抽到红心, 小明获胜, 抽到方片, 小华获胜 D． 小明、 小华两人各写一个数字０或１ , 如果两人写的数字相同, 小明获胜, 否则小华获胜 １ ０ ． 下列说法不正确的是( ) A． 经过A( ０ , ２ ) , B( － １ , ０ ) 两点的直线的方向向量为( １ , k) , 则k＝ ２ B ． “ a＝ ２或－ １ ” 是“ 直线a x＋ ２ y－ １ ＝ ０与直线x＋( a－ １ ) y＋ a ２＝ ０互相平行” 的充要条件 C． 直线x－ y s i n α＋ ２ ＝ ０的倾斜角θ 的取值范围是π ４, π ２ é ë ê ê ö ø ÷ ∪π ２, ３ π ４ æ è ç ù û ú ú D． 过( x １, y １) , ( x ２, y ２) 两点的直线方程为y－ y １ y ２－ y １＝x－ x １ x ２－ x １ １ １ ． 正方体A B C D －A１ B １ C １D１中, E, F, G 分别为B C, C C １, B B １ 的中点, 则( ) A． 直线B １D１与直线A F 垂直 B ． 直线A１ G 与平面A E F 平行 C． 直线D１ G 与平面A E F 所成角的余弦值为４ ９ D． 点C 和点G 到平面A E F 的距离相等 １ ２ ． 已知曲线C 的方程为x ２＋ y ２＝ | x＋ ２ y | , 圆M : ( x－ ５ ) ２＋ y ２＝ r ２( r＞ ０ ) , 则( ) A． C 表示一条直线 B ． 当r＝ ４时, C 与圆M 有３个公共点 C． 当r＝ ２时, 存在圆N, 使得圆N 与圆M 相切, 且圆N 与C 有２个公共点 D． 当C 与圆M 的公共点最多时, r 的取值范围是( ４ , ＋∞) 高二数学试卷 第３ 页( 共４页) 三、 填空题: 本题共４小题, 每小题５分, 共２ ０分. １ ３ ． 已知两条平行直线l １: ４ x－ ３ y＋ ６ ＝ ０与l ２: ４ x－ ３ y＋ C＝ ０间的距离为１ , 则C＝ ． １ ４ ． 从长度为２ , ４ , ５ , ７ , ９的五条线段中任取三条( 抽取不分先后) , 设事件A＝“ 取出的三条线段能 构成一个三角形” , 则事件A 包含的样本点个数为 个． １ ５ ． 甲、 乙两位同学参加１ ０ ０米达标训练, 下面分别是这两位同学５次训练的成绩( 单位: 秒) 甲: １ １ ． ６ ; １ ２ ． ２ ; １ ３ ． ２ ; １ ３ ． ９ ; １ ２ ． ６ 乙: １ ２ ． １ ; １ １ ． ３ ; １ ２ ． ０ ; １ ２ ． ９ ; １ ２ ． ７ 从甲、 乙５次训练成绩中各抽取一次, 则抽取的成绩中仅有一次比１ ２ ． ８秒强的概率为 ． １ ６ ． 已知正四面体A－B C D 的棱长为３ , 底面B C D 所在平面上一动点 P 满足A P＝ ２２, 则点P 运动轨迹的长度为 ; 直线A P 与直线C D 所成的角的取值范围为 ． ( 本题第一空２分, 第二空３分． ) 四、 解答题: 本题共６小题, 共７ ０分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. １ ７ ． ( １ ０分) 已知点P １ , － ２ ( ) ． ( １ ) 求过点P 且与原点的距离为１的直线的方程; ( ２ ) 是否存在过点P 且与原点的距离为４的直线? 若存在, 求出该直线的方程; 若不存在, 请说 明理由． １ ８ ． ( １ ２分) 已知平行六面体A B C D －A１ B １ C １D１, 底面A B C D 是正方形, A D＝A B＝ １ , A A１＝２ , ∠A１ A B ＝∠D A A１＝６ ０ °, A１ C １ →＝３N C １ →, D１ B →＝ ２MB →, 设A B →＝ a →, A D →＝ b →, A A１ →＝ c →． ( １ ) 试用 a →、 b →、 c →表示 AN →; ( ２ ) 求MN 的长度． １ ９ ． ( １ ２分) 已知有五个大小相同的小球, 其中３个红色, ２个黑色． 现将这五个小球随机编号为１ , ２ , ３ , ４ , ５ , 红色小球的编号之和为A, 黑色小球的编号之和为B． ( １ ) 求A＝ ８时的概率; ( ２ ) 记X＝A－B , 求X≥ ３时的概率． 高二数学试卷 第４ 页( 共４页) ２ ０ ． ( １ ２分) 如图, 在四棱锥B－A C D E 中, A B＝A C＝５, A E∥C D, ２ A E＝C D ＝ B C＝ ２ , A E⊥平面A B C, 点F 在线段B D 上运动． ( １ ) 若E F∥平面A B C, 请确定点F 的位置并说明理由; ( ２ ) 若点F 满足 D B →＝ ４D F →, 求平面A B C 与平面A F C 的夹角的余弦值． ２ １ ． ( １ ２分) 如图所示, 用４个电子元件组成一个电路系统, 有两种连接方案可供选择, 当且仅当从A 到B 的电路为通路状态时, 系统正常工作, 系统正常工作的概率称为该系统的可靠性． 这４个电子元 件中, 每个元件正常工作的概率均为p( ０ ＜ p＜ １ ) , 且能否正常工作相互独立, 当某元件不能正 常工作时, 该元件在电路中将形成断路． ( １ ) 求方案①中从A 到C 的电路为通路的概率P０( 用p 表示) ; ( ２ ) 分别求出按方案①和方案②建立的电路系统正常工作的概率P１、 P２( 用p 表示) ; 比较P１ 与P２的大小, 并说明哪种连接方案更稳定可靠． ２ ２ ． ( １ ２分) 在平面直角坐标系x O y 中, 已知点A( － １ , －１ ) , 以原点O 为圆心的圆截直线３ x＋ y－１＝０ 所得线段的长度为３． ( １ ) 求圆O 的方程; ( ２ ) 若直线l: y＝－ x＋ t ( t∈R) 与圆O 相交于M , N 两点, 且O M →􀅰O N →＝－１ ２, 求t的值; ( ３ ) 在直线A O 上是否存在异于A 的定点Q, 使得对圆O 上任意一点P, 都有P A P Q ＝ λ( λ 为正 常数) ? 若存在, 求出点Q 的坐标及λ 的值; 若不存在, 请说明理由．