2022年湖北省新高考联考协作体高一五月考试数学试卷参考答案

湖北省新高考联考体高一数学试卷参考答案（共2 页）第页 1 2022 年湖北省新高考联考协作体高一五月考试 高一数学试卷 参考答案 1.C 2.D 3.D 4.D 5.B 6.C 7.B 8.B 9.������ 10.������ 11.��������� 12.������ 13. 2 14.− 4 3 15.3 + 2 3 16. 3 17.解：(1) ∵��� � �//��� � �，设��� � �= ������ � �，则��� � �= (���, 2���)，又|��� � �| = 2 5，∴���2 + 4���2 = 20,解得���=± 2， ∴��� � �= (2,4)或( −2, −4)； ……5 分 (2)平面内向量夹角的���的取值范围是���∈[0, ���]．∵(��� � �+ 2��� � �) ⊥(2��� � �−��� � �)，∴(��� � �+ 2��� � �) ⋅(2��� � �−��� � �) = 0， 又∵|��� � �| = 5，|��� � �| = 5 2 ，∴2 × ( 5)2 + 3��� � �⋅��� � �−2��� � �2 = 0，解得��� � �⋅��� � �=− 5 2； ……8 分 ∴������������= ��� � �⋅��� � � |��� � �|×|��� � �| = −5 2 5× 5 2 =−1，∴��� � �与��� � �的夹角为 ． ……10 分 18.解：(1) ∵圆柱������1的底面直径������= 6，母线长������= 8， ∴圆柱的体积���= ������2ℎ= ���× 32 × 8 = 72���， ……2 分 圆柱的侧面积���侧= 2������ℎ= 2���× 3 × 8 = 48���； ……5 分 (2)因为������是圆柱的底面直径，所以������⊥������， 因为������是圆柱的母线，所以������⊥平面���������，又因为������⊂平面���������，所以������⊥������， 又因为������∩������= ���，所以������⊥平面���������，因为������⊂平面���������，所以������⊥������， 所以∠���������即为二面角���−������−���的平面角． ……8 分 在������△���������中，������= 6，∠���������= 30°，所以������= 3， 由勾股定理得������= 82 + 32 = 73，在������△���������中，sin∠���������= ������ ������= 8 73 = 8 73 73 ． ……12 分 19.解：(1)���(���) = ������������������������+ 3cos2���− 3 2 = 1 2 ���������2���+ 3 2 (1 + ���������2���) − 3 2 = sin(2���+ ��� 3 )， ……3 分 ∵���= 2��� 2 = ���，∴���(���)的最小正周期为���， ……6 分 (2) ∵���∈[0, ��� 2 ]，∴2���∈[0, ���]，2���+ ��� 3 ∈[ ��� 3 , 4��� 3 ]， ……8 分 则当2���+ ��� 3 = ��� 2时，���(���)取得最大值1，此时���= ��� 12， 所以，当���= ��� 12时，���(���)取最大值为1； ……12 分 20.解：(1) ∵2���−���= 2���cos ���，∴2���−���= 2���· ���2+���2−���2 2������ ，∴���2 + ���2 −���2 = ������， ……3 分 ∴cos ���= ���2+���2−���2 2������ = 1 2，∵���∈(0, ���)，∴���= ��� 3； ……6 分 湖北省新高考联考体高一数学试卷参考答案（共2 页）第页 2 (2) ∵���2 = ���2 + ���2 −2������cos ���，���= 3，���= ��� 3，∴���2 + ���2 −������= 3 ①， ……8 分 因为 的面积为3 2 ，所以1 2 ������sin ���= 1 2 ������· 3 2 = 3 2 ，∴������= 2②， ……10 分 由①②得���+ ���= 3，所以 的周长为3 + 3． ……12 分 21. (1)证明：由已知得，������= 1，������= 2，∠���= 60°．由余弦定理得，������= 3， ∴������2 + ������2 = ������2，∴������⊥������，∴������⊥���'���，������⊥������． ……2 分 又∵������∩���'���= ���，������⊂平面���'������，���'���⊂平面���'������，∴������⊥平面���'������． ……4 分 ∵������⊂平面������������，∴平面���'������⊥平面������������． ……6 分 (2) ∵���'���⊥������，由(1)得，���'���⊥������，又������和������是平面������������内两条相交直线， ∴���'���⊥平面������������，������⊂平面������������，∴���'���⊥������， ……8 分 ．易得等边三角形���������的高为3 3 2 ， ∴三棱锥���' −���������的体积为���三棱锥���−���'������= 1 3 ���▵���'������⋅ 3 3 2 = 3 2 > 3 4， ……10 分 ∴在线段���'���上存在点���满足题目条件，此时 ���​ '��� ���​ '���= ���三棱锥���−���'������ ���三棱锥���−���'������ = 3 4 3 2 = 3 2 ． ……12 分 22.解：(1) ∵���(���)是奇函数，���(���)是偶函数，∴���( −���) =−���(���)，���( −���) = ���(���)， ∵���(���) + ���(���) = 2���������2(1 −���)， ① ……1 分 ∴令���取−���，代入上式得���( −���) + ���( −���) = 2���������2(1 + ���)， 即−���(���) + ���(���) = 2���������2(1 + ���)， ② ……2 分 联立①②可得，���(���) = log2(1 −���) −log2 = ���������2 1−��� 1+���，−1 < ���< 1， ���(���) = log2(1 −���) + log2(1 + ���) = log2(1 −���2)，−1 < ���< 1； ……5 分 (2)���(���) = 1 −���2, ���∈( −1,1)，∴−1 < |2���−1| < 1, ���∈( −∞, 1)， ……6 分 设���= |2���−1| ∈[0,1)，∴���=−���2 −3������+ 2���+ 1，���∈[0,1)， ∵当���∈(0,1)时，���= ���与���= |2���−1|有两个交点， ……7 分 要使函数���= ���(|2���−1|) −3���|2���−1| + 2���有两个零点， 即使得函数���=−���2 −3������+ 2���+ 1，在���∈(0,1)有一个零点，(���= 0 时���= 0，���只有一个零点) 即方程���2 + 3������−2���−1 = 0 在(0,1)内只有一个实根， ……9 分 ∵△> 0，令���(���) = ���2 + 3������−2���−1,则使���(0)·���(1) < 0 即可，∴���<− 1 2 或���> 0 ∴实数���的取值范围���∈( −∞, − 1 2 ) ∪(0, + ∞)． ……12 分