河南省洛阳市2022-2023学年高二上学期期中考试文科数学试卷

洛阳市2022— 2023学年第一学期期中考试 高二数学试卷（ 文） 本试卷共4 页， 共150分。考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前， 考生务必将自己的姓名、 考号填写在答题卡上。 2. 考试结束， 将答题卡交回。 一、 选择题： 本大题共1 2 小题， 每小题5 分， 共6 0 分。 在每小题给出的四个选项中， 只有一 项是符合题目要求的。 1 . 直线4 — 5 = 2 在^轴上的截距是 A .5 B. — 5 C. 10 D . — 10 2. 已知A (4， 1 ， 9 ) ， 4,3)， 则线段A B 的长为 A . 39 B. 7 C. 5 D.槡 3. 已知直线（1 : )c + () + 2)；y + 2 = 0 与Z 2 ::c + )y + 1 = 0 垂直， 则实数a 的值为 A . 0 或 3 B. 0 或 + 3 C. + 3 D . 0 4. 若{a ，， c} 构成空间的一个基底， 则下列向量可以构成空间另一个基底的是 A . a + B. a + " ，a + " — c ，c C. a + " ,a — " ，c D. a a " 5. 已知直线/:3工+ ^ — 6 % 0 和圆C :： c2 + / —2；y —4 % 0 交于A ' 两点， 则弦AB 所对的圆心角的大小为 C • 2 6. 已知四面体A B C D ， £ ， F 分别是A B ， C D 的中点， 则球％ A . — 1 a " * 1 a + * 1 a " b . 1 a " * 1 a + — 2 c . D.1 A " * A+ * A " 高二数学（ 文）第1 页 （ 共4 页）（ 2022.11) 7. 已知A $ R ， 当A 变化时， 直线（ A + 3):c + ( A + l )： y + A — 1 % 0 恒过定点 A . (1,-2) B•(— 1 ， 2) C. (2, + 1 ) D. (+2,1) 8. 已知直线A B 的方向向量为a ， 平面a 的法向量为《， 给出下列命题& ① 若a • n % 0 则 直 线 // a. ② 若a / / n ， 则直线 ③记直线A E 与平面遍角的如， 则sin卜 ④若A $ a ，C $ A B ， 则点C 到平面a 的距离d % 1八 丨 。 1 ' . I n | 其中真命题的个数是 A . 4 B. 3 C. 2 D . 1 9. 圆（ ： r + 2)z + / % 5 关于直线y = — z 对称的圆的方程为 A . (x - 2 ) 2 + y2 % 5 B" 2 + ( $ — 2)2 % 5 C. ( x + 2)2 * ($ + 2)z % 5 D" 2 + ( y + 2)2 % 5 10. 已知点D 在' A B C 确定的平面内， O 是空间任意一点， 实数" ， y 满足 % x G " + 2yG " — C t ， 则 x 2 * y 2 的最小值为 C . 1 D . 2 11. R A ， ，P C 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60° ，那么直线PC 与平面P A B 所成角的余弦值是 D 槡6 12•若' RAB 是圆 C :(x — 2 )2 * (y — 2 )2 % 4 的内接三角形， 且 RA % R B ， ( ARB % 120°则A B 的中点D 的轨迹方程为 A . x 2 * y2 % 1 B. (x — 2)2 * (y — 2)2 % 2 C. (x — 2)2 * (y — 2)2 % 3 D. ( x — 2)2 * (y — 2)2 % 1 高二数学（ 文）第2 页 （ 共4 页）（ 2022.11) 二、 填空题： 本大题共4 小题， 每小题5 分， 共2 0 分。 13. 已知m % ( 3 ! — ^ ! + W(a ! $ R ) 是直线Z的方向向量，w % (1， 2 ， $)是平面a 的法向量.若^ & a ， 则以％ ________ . 14. 已知A (3， 1)， B (—1， 5)两点到直线Z: ox+ ^ + 1 % 0 的距离相等， 则a % _______ . 15. 在棱长为1 的正方体A B C D — A i B i C i A 中， M 是底面A 1 B 1 C 1 A 内动点， 且 BM % 平面AD ^ ， 当（A M D 最大时， 三棱锥M —AD ，的体积为________. 16. 方程槡一" 2 * 4" — 3 % " * a 有两个不相等的实数根， 则实数a 的取值范围 为________ . 三、 解答题： 本大题共' 个小题， 共/ 0 分。 解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算 步骤。 17. (10 分) 已知 A A B C 的三个顶点是 A (0,4)， B (3,0)， C(5,6). (1)求边B C 的垂直平分线的方程； ( ) 求经过A B ， A C 两边中点的直线的方程. 18. (12 分) 如图， 平行六面体A E C D —A 1B C 1D: 的底面是菱形， 且 ( C1CB % ( C1CD % ( B C D % 6 0 6 CD % CC1 % 2 . (1) 求A C 1的长； (2) 求异面直线CA1 与DC1 所成的角. 19. (12 分) 已知平面直角坐标系中有A (0,2)， B (4,2)， C(3,5)， D (0,4)四点. (1)判断这四点是否共圆？ 若共圆， 求出该圆的方程;若不共圆， 说明理由* ( ) 一条光线从点M (—3 ， 2)射出， 经过" 轴反射后与' A B C 的外接圆© 0 : 相切.求 反射光线所在直线的方程. 高二数学（ 文）第3 页 （ 共4 页）（ 2022.11) 20. (12 分) 在直角梯形 A' C, 中， A, % ' C ， 'C % 2A, % 2AB % 2V! ， （A 'C % 90° ， 如图（ 1) . 把 A A' , 沿 翻 折 ， 使得平面AB, & 平面' C, ， 如图$). 图$ ) 图$ ) $ ) 求证:C, & A'* $ ) 若M 为线段' C 的中点， 求点M 到平面AC, 的距离. 21 $12 分) 有一种大型商品， A ' 两地都有出售， 且价格相同， 某地居民从两地之一购得商品后 运回的费用是： 每单位距离A 地的运费是' 地的运费的3 倍.已知A ' 两地相距4 0 公 里， 顾客选择A 地或' 地购买这种商品的标准是:包括运费和商品价格的总费用较低.求 A ' 两地的售货区域的分界线的形状， 并指出曲线上、 曲线内、 曲线外的居民应如何选择 购货地点. 22 (12 分) 如图， 长方体A' C, —A ' C % A 中， AB % 2 ' 点E 在棱C, 上且A %E & 平面A' 1 , 1 $ ) 求^ 的值； EC $ ) 求平面A B i A 与平面' ' % - 夹角的余弦值 高二数学（ 文）第4 页 （ 共4 页）（ 2022.11) 洛阳市2022— 2023学年第一学期期中考试 高二数学试卷(文） 参考答案 一、 选择题 1 一 5 DBBCC 6 - 1 0 AACBA 11 + 12 CD 二、 填空题 13.27 1 $ 1 或一$ 15. 1 16.[0,槡 6 4 三、 解答题 17• 解& 1 ) 7 % % 3,边B C 的中点为£(4,3)， ……3 分 5 一 3 • • • 边B C 的垂直平分线的方程为y — 3 % — 3(尤一 4)， 即工+ 3；y — 13 = 0. ... 5 分 $ ) 设经过， A C 中点的直线为Z， 7 经过A5 ， A C 中点的直线Z 平行B C , • • 5 % k 'c . 又7 的中点为F ( 3 ,2)， ……8 分 • ( 的直线方程为y — 2 % 3(尤一2)， 即经过A B ， A C 中点的直线的方程6^ — 2^ — 5 % 0. ... 1 0 分 18.解& 1 ) 设C" % a ， C" % fc， C" % c ， {a ，， c} 构成空间的一个基底. 因为 % c — (a * fo ) ， ... 2 分 所以 I 7C " |2 % SC "2 % [ — $ + fc)]2 % c2 * a2 * b2 一 2a • c 一 2b • c * 2a • b % 12 — 2 X 2 X 2 X cos60〇 % 8 ， ... 5 分 所以S C 1 = 2 V2 ……6 分 (2 ) 又 C S ! % a * fo * c ，, C 丄 ％c — a ， ... 8 分 所以C " • I C " % (a * fo* c) • $ —a) % c2 一 a2 * fo*c 一 a*fo % 0 • C " 丄I C ". … 1 1 分 • 异面直线C S 1 与DC1 所成的角为9 0 ° . ……1 2 分 19.解&1)设经过S ' , 三点的圆的标准方程是（：r —a )2 * ( y — W2 % r2, 将S ' ， , 三点坐标分别代人（ 工一 a )2 * 〇 — 6)2 % r2， 高二数学（ 文） 答案第1 页 （ 共3 页）（ 2022.11) fa2 * $ — b )2 % r2 , +) % 2 ， 得* ( 4 —))2 + ( 2 —3% % r2 ， 8 *b % 3, ……3 分 [a2 * (4 —b)2 % r2. 8 % 槡 5. 所以经过A ， B ， , 三点的圆的标准方程是（X — 2)2 + G — 3)2 % 5 ， ……4 分 将C(3,5)代入上面方程左边得$ — 2)2 * $ — 3)2 % 5 . 所以点C 在经过A ， B ， , 三点的圆上， 即A ， B ， C ， , 四点共圆. 过A ， B ， C ， , 四点的圆的方程为（x — 2)2 * 〇 — 3)2 % 5 . ……6 分 $ ) 根据光的反射原理， 作与点M (— 3 2 ) 关于x 轴对称的点M % (— 3 — 2)， 从M 点发出的光线经x 轴反射后， 反射光线所在直线就是由M: 向圆C% 所作的两条切 线， 设切线方程为^ * 2 % 々 （ x * 3)， 即X —y *3々一2 % 0. ……8 分 所以1 ^ 3 — 2* 5 — 3 1 % 槡5， 解得5% % 备， 或々 2 % 2 ， ……1 0 分 v m 2 2 所以反射光线所在直线的方程为^ * 2 % 2 ( x * 3 ) 或^ * 2 % 2(x * 3 ) ， 艮 P x — 2$ — 1 % 0 或 2x — $ * 4 % 0 . 1 2 分 20. (1)证明： 在 A B ,C 中， % C, % 2 ，BC % 2槡2， • • • BD2 * CD2 % BC2， 8 C, & … 2 分 • • • 平面AB, & 平面BC, ， 平面AB, - 平面BC, % B, ， C, 匚平面BC, ， • C, & 平面 AB,. 又• • • AB 匚平面 AB, ， • • • C, & A B . … 5 分 (2)解： 以D 为原点， ， D C 所在直线为:r 轴， ^ 轴， 建立空间 直角坐标系， 如图， 由条件可得，(0,0,0)， A (1， 0 ， 1)， C(0,2,0)， M (1， 1 ， 0). • • • C" % (0， — 2 ， 0) ， A" % (— 1 ， 0 ， 一 1). ... / 分 设平面AC, 的法向量w % (X ， $ ，） ， 则 w， A" & W ， • $ % 0 ， • ($ % 0 ， • w % 0 ， [X * 9 % 0 . 令X % 1 ， 得平面AC, 的一个法向量为$ % (1， 0, 一1)， ……9 分 又MC % (— 1 ， 1 ， 0)， • ㈣ 到平面A C , 的距离0 % …… 12 分 21.解： 如图所示建立平面直角坐标系. • | AB | % 40 • A (— 20，） ， B (20， 0). ... 2 分 设某地P 的坐标为( x ， $ ) ， 且P 地居民选择A 地购买商品便 宜， 并设A 地的运费为3)元/ 公里， B 地的运费为） 元/ 公 里.因为P 地居民购货总费用满足条件： 价格十A 地运费/ 价格* B 地的运费. 高二数学（ 文） 答案第2 页 （ 共3 页）（ 2022.11) 即 3 < 2 槡$x * 20)2 * $2 a 槡$" — 20)2 * $2 ! 7 a 0 0 ! 5 分 • • 3 槡$x * 20)2 * $2 / 槡$" — 20)2 * $2 ! 化简整理得"*25)2 * $ 2 / 152. … 8 分 8 以（ 一25,0)为圆心！5 为半径的圆是两地购货的分界线. ……9 分 圆内的居民从A 地购货便宜， 圆外的居民从B 地购货便宜， 圆上的居民从A ， B 两 地购货的总费用相等， 因此可随意从A ， B 两地之一购货. ……1 2 分 22.解& 1 ) 如图， 以D 为原点， 以D A ， D C， DL> i 所在直线为"轴、 $ 轴#轴建立空间 直角坐标系， 不妨设BC % 1 ， 则AB % 2 ， CCi % 1 ， 设DE % a ， (2 ) 由（ 1 ) 可知A " % $— 1 ， 1 ， 一 1 ) 为平面A B 1D 1的法向量， 又E " % $— 1 ， 一3 ,0)， M 1 (0,0， 1) 设平面B B iE 的法向量为w % ("， $ ，） 则* n • ^ B 1 n • B " 0 0 令 $ % 2 可得 n % (— 3,2,0)， < A 1- , n 0 A 1 - • A 1 - I I 4 3 x 槡13 槡 13 3 9 丨 9分 8 平面A B ^ i 与平面B B — 夹角的余弦值为8槡3 1!分 高二数学（ 文） 答案第3 页 （ 共3 页）（ 2022.11)