河南省洛阳市2022-2023学年高二上学期期中考试理科数学试卷

（北京）股份有限公司 洛阳市2022——2023 学年第一学期期中考试 高二数学试卷（理） 本试卷共4 页，共150 分。考试时间120 分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。 2.考试结束，将答题卡交回。 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合 题目要求的。 1．直线x 4 −y 5 = 2 在y轴上的截距是 A. 5 B. - 5 C. 10 D. -10 2.已知A（4,1,9)，B(2,4,3)，则线段AB的长为 A. 39 B.7 C. 5 D.❑ √5 3．已知直线l1:ax+(a+2) y+2=0与l2:x+ay+1=0垂直，则实数a的值为 A. 0 或 3 B. 0 或-3 C. - 3 D. 0 4. 若{a，b,c}构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间另一个基底的是 A. a+b,a−b，b B.a+b,a+b−c ,c C. a+b,a−b,c D.a – c ,b,c−a−b 5. 已知直线l:3 x+ y −6=0和圆C:x 2+ y 2−2 y −4=0交于A ，B两点，则弦AB 所对的圆心角的大小 为 A.π 4 B. π 3 C. π 2 D. 2π 3 6. 已知四面体ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，则⃗ EF= A. -1 2⃗ AB + 1 2⃗ AC +1 2⃗ AD B. 1 2⃗ AB + 1 2⃗ AC -1 2⃗ AD C. 1 2⃗ AB + 1 2⃗ AC +1 2⃗ AD D. 1 2⃗ AB + ⃗ AC +⃗ AD 7. 已知λ∈R，当λ变化时，直线(λ+ 3)x+(λ+ 1) y+λ-1 = 0 恒过定点 A. (1,-2) B. (-1,2) C. (2, -1) D. (-2,1) 8. 已知直线AB的方向向量为a,平面α的法向量为n，给出下列命题： （北京）股份有限公司 ①若a • n = 0 则直线AB // α. ②若a//n，则直线AB⊥α. ③记直线AB与平面α所成角为θ，则sinθ= a•n ¿a∨•∨n∨¿ ¿ ④若A ∈α ，C ∈AB，则点A到平面α的距离d =¿⃗ AC •n∨ ¿ ¿n∨¿¿ ¿ 其中真命题的个数是 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 圆( x+2) 2+y 2= 5 关于直线y=−x对称的圆的方程为 A. ( x−2) 2+y 2= 5 B. x 2+( y −2) 2= 5 C. ( x+2) 2+( y+2) 2= 5 D. x 2+( y+2) 2= 5 10. 已知点D在△ABC确定的平面内，O是空间任意一点，实数x , y满足⃗ OD=x⃗ OA + 2 y⃗ OB -⃗ OC，则 x 2+y 2的最小值为 A. 4 5 B. 2❑ √5 5 C. 1 D. 2 11. 在四面体A — BCD中，平面ABC ⊥平面DBC，且AB=BC=BD,∠CBD = 60°，则直线BC 与 平面ABD所成角的余弦值为 A. ❑ √6 3 B. ❑ √3 3 C. ❑ √15 5 D. ❑ √10 5 12. 若圆x 2+y 2−4 x−4 y −10=0至少有三个不同的点到直线l: y=kx的距离为2❑ √2，则直线l的倾斜角 的取值范围是 A.[ π 12 , π 4 ] B. [ π 12 , 5 π 12 ] C. [ π 6 , π 3 ] D. [ 0, π 2 ] 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13. 已知u =(3，a−b，a+b)(a，b∈R)是直线l的方向向量，n = (1,2,4)是平面α的法向量.若 l⊥α，则ab=¿ . 14. 已知A(3，1)，B(-1，5)两点到直线l:ax+ y+1=0的距离相等，则a= . 15. 在棱长为1 的正方体ABCD — A1B1C1 D1中，M是底面A1B1C1 D1内动点，且B M//平面AD1C， 当∠D1 MD最大时，三棱锥M −AD1C的体积为 . 16. 若点P在直线y=x上移动，过P作圆: x 2+( y −3) 2= 2 的切线，切点分别为A ，B，则| AB |的最小 值为 . （北京）股份有限公司 三、解答题：本大题共6 个小题，共70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤。 17. (10 分) 已知 △ABC 的三个顶点是 A(0,4)，B(3,0)，C(5,6). (1) 求边BC的垂直平分线的方程； (2) 求经过AB，AC两边中点的直线的方程. 18. (12 分） 如图，平行六面体ABCD−A1B1C1 D1的底面是菱形，且∠C1CB = ∠ C1CD = ∠BCD = 60 0,CD = C C1= 2 (1) 求A C1的长；^^ (2) 求异面直线C A1与DC1所成的角. 19. (12 分） 已知平面直角坐标系中有A(0,2)，B(4,2)，C(3,5)，D(0,4)四点. (1) 判断这四点是否共圆？若共圆，求出该圆的方程；若不共圆，说明理由； (2) 一条光线从点M(-3，2)射出，经过x轴反射后与△ABC的外接圆☉O1相切.求 反射光线所在直线的方程. 20. (12 分) 在直角梯形ABCD 中，AD/¿ BC，BC=2 AD=2 AB =2❑ √2，∠ABC = 90 0如图（1). 把△ABD 沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD，如图（2). (1) 求证:CD⊥AB; (2) 若M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离. （北京）股份有限公司 21. ( 12 分） 已知两定点 A(-4,0) ，B(-1 ，0) ，动点 P满足¿ PA∨¿2∨PB∨¿，直线l: (2m+1)x+(m+1) y −5m−3=0. (1) 求动点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2) 记动点P的轨迹为曲线E，把曲线E向右平移1 个单位长度，向上平移1 个单位长度后得到曲线E '， 求直线l被曲线E '截得的最短的弦长； (3) 已知点M的坐标为（5,3)，点N在曲线E '上运动，求线段M N的中点H的轨迹方程. 22. (12 分） 如图，长方体 ABCD — A1B1C1 D1中，AB=2BC=2C C1， 点E在棱CD上且A1 E丄平面A B1 D1 (1)求DE EC 的值 (2)求平面A B1 D1与平面B B1 E夹角的余弦值.